Approches locale et non locale en plasticité cristalline
4.2 Grandes transformations
Cette partie constitue un rappel de la théorie des grandes transformations. Le modèles que nous utiliserons, comme ceux que nous décrirons à titre d’exemple, étant écrits selon ce forma-lisme, cette partie permettra de figer les notations utilisées dans la suite de ce mémoire et rendra ainsi plus claire la description des différents modèles.
4.2.1 Cin´ematique des milieux continus
Considérons un élément de volumeV0 à l’instantt0 dans la configuration initialeC0 (aussi nommée configuration non déformée) qui devient à l’instantt, après transformation, l’élément de volumeV dans la configuration actuelleCt(aussi appelée configuration déformée). Soient
~
x0 et~xles vecteurs position d’un point matérielM, respectivement dans les configurationsC0 etCt. Les vecteurs position~x, vitesse~x˙ et accélération~x¨ à l’instanttsont alors définis par les relations suivantes :
~x=~x(x~0, t),
~x˙ = ∂~x(∂tx~0,t),
~x¨= ∂2~x(∂tx~20,t).
(4.7)
Si l’élément de volumeV a subi une transformation finie entre l’instantt0et l’instantt, alors les tenseurs du gradient de cette transformationF et du gradient de la vitesse de cette transforma-tionLs’écrivent à l’instantt:
Notons que le déterminantJ deF définit le rapport entre la masse volumique,ρ, de l’élément de volumeV et celle,ρ0, de l’élément de volumeV0 :
J =det(F) = ρ ρ0
. (4.9)
En combinant les équations(4.7)et(4.8), le tenseur du gradient de la vitesse de transformation peut se décomposer de la manière suivante :
L(~x, t) = ∂~x(˙ x~0, t)
F est la dérivée partielle temporelle du tenseur du gradient de la transformation F. Le tenseurLpeut également se décomposer en partie symétrique et antisymétrique. Ces parties définissent respectivement le tenseur du gradient de la vitesse de déformation Det celui du gradient de la vitesse de rotationW :
L=D+W , (4.11)
Appelons d ~f l’effort s’exerçant sur un élément de surfaceds de normale~r repérée dans la configuration actuelleCt. Le tenseur des contraintes de Cauchyσest défini de telle sorte que :
σ·~r= d ~f
ds. (4.13)
Cette définition des contraintes est une définition eulérienne, puisque définie entièrement dans la configuration actuelleCt. Cet effort peut être associé à un effort fictifd ~f0défini dans la confi-guration initiale C0 où la normale à l’élément de surface ds0 est r~0. L’équation (4.13) s’écrit alors :
Π·r~0 = d ~f0
ds0, (4.14)
oùΠest le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff. Cette définition est une définition lagran-gienne, puisque définie entièrement dans la configuration initialeC0. Le vecteurr~0ds0 dansC0 s’écrivant dansCt:
~rds=J F−T ·r~0, (4.15) ces deux tenseurs de contraintes sont liés par la relation la suivante :
Π =J F−1·σ·F−T. (4.16)
4.2.3 Equations d’´´ equilibre
Soit un solide occupant un domaineV de frontièreΣ, les équations locales d’équilibre en un point repéré par le vecteur~xsont :
(divσ~ +ρ ~f =ρ~x,¨
σ=σT. (4.17)
Au contourΣsont imposées les conditions aux limites : (~x˙ = ˙x~isurΣ~x˙,
σ·~n=t~isurΣσ, (4.18)
oùx~˙iet~tisont les champs de vitesse et de tension imposés au contourΣ.
4.2.4 Cin´ematique en grandes transformations du monocristal
Le formalisme le plus utilisé actuellement se base sur la décomposition de Lee (1969) du tenseur du gradient de la transformationF. Cette décomposition fait apparaître une partie élas-tiqueFeet une partie plastiqueFp:
F =Fe·Fp. (4.19)
La figure 4.2 donne une représentation de cette décomposition pour un monocristal. La configurationC0 se caractérise par un cristal occupant le volume V0 à l’instantt0. Ce dernier est libre de toutes forces surfaciques ou volumiques. En effet, les contraintes engendrées par l’histoire thermomécanique du matériau ne sont pas prises en compte. En toute rigueur, il serait nécessaire pour intégrer les transformations thermomécaniques antérieures au chargement de faire intervenir une configuration supplémentaire comme l’ont proposé Teodosiu et al. (1993).
Nous nous en affranchirons en considérant le matériau sans contrainte résiduelle.
Le passage de la configuration initialeC0à la configuration actuelleCtse fait via une confi-guration intermédiaire nommée conficonfi-guration isoclineC∗. Cette configuration se déduit de la configuration initiale par l’intermédiaire de la transformation plastiqueFp, représentant le glis-sement plastique entre plans cristallins. Cette configuration se déduit également de la confi-guration actuelle par l’intermédiaire de la transformation élastiqueFe−1, correspondant aux dilatations élastiques et aux rotations de réseau. Le passage de la configuration initiale à la configuration actuelle se fait par la composition de la transformation plastiqueFpet de la trans-formation élastiqueFe.
Figure 4.2 – Repr´esentation du principe de d´ecomposition du tenseurF en partie ´elastique Fe et plastiqueFp.
Avec cette décomposition, le tenseur du gradient de la vitesse de transformation L s’ex-prime :
L= ˙
F ·F−1= ˙
Fe·Fe−1+Fe· ˙
Fp·Fp−1·Fe−1. (4.20) L correspond à la somme d’une composante élastique Le et d’une composante plastique Lp∗ définie dans la configuration isoclineC∗et transposée dans la configuration actuelleCt:
L=Le+Lp =Le+Fe·Lp∗·Fe−1. (4.21) Soientm~s∗ etn~s∗ les vecteurs unitaires définissant respectivement la direction de glissement et la normale au plan de glissement associées à chaque systèmes dans la configuration C∗ (ils correspondent aux vecteurs m~s0 et n~s0, ces derniers étant invariants lors d’une transformation Fp).Lp∗peut s’exprimer en fonction du taux de glissementγsassocié à chaque systèmes:
Lp∗ =X
s
γ˙sLs∗, avecLs∗ =m~s∗⊗n~s∗, (4.22)
où Ls∗ est le tenseur de Schmid du système de glissement s dans la configuration C∗. De la même manière queL, les tenseurs du gradient de la vitesse de déformationDet du gradient de la vitesse de rotationW peuvent eux aussi être décomposés en parties élastique et plastique :
(D=De+Dp,
W =We+Wp. (4.23)
Leur partie plastique peut aussi d’exprimer en fonction du taux de glissement γs associé à chaque système de glissements:
D∗p=P
sγ˙sDs∗, avecDs∗=m~s∗⊗Sn~s∗, W∗p =P
sγ˙sW∗s, avecW∗s=m~s∗⊗An~s∗, (4.24)
oùD∗setW∗sreprésentent respectivement la partie symétrique et antisymétrique du tenseur de Schmid associé au systèmesdans la configurationC∗.Dp∗etW∗ps’expriment dans la configura-tion actuelleCtde la manière suivante :
(Dp =P
sγ˙sDs, avecDs=m~s⊗Sn~s, Wp =P
sγ˙sWs, avecWs=m~s⊗An~s, (4.25) et :
m~s =Fe·m~s∗,
n~s=Fe−1·n~s∗. (4.26)
Ds et Ws représentent respectivement la partie symétrique et antisymétrique du tenseur de Schmid associé au systèmesdans la configurationCt.
4.2.5 Loi de comportement et pr´evision de la rotation
Dans la plupart des modèles, les lois de comportement relient la dérivée temporelle des contraintes à celles des déformations. En grandes transformations, c’est le formalisme précé-demment décrit qui est utilisé pour écrire et implémenté ces lois. Dans le but de simplifier ce travail, certaines hypothèses peuvent être posées. Cette partie reprend les formulations et les hypothèses émises par Peirce et al. (1983), Tabourot (1992) et Teodosiu et al. (1993). Ces der-nières seront décrites, d’une part, à titre d’exemple et, d’autre part, parce qu’elles sont celles sur lesquelles nous nous sommes appuyés, les modèles utilisés dans le cadre de nos travaux étant basés sur ceux de ces auteurs.
Les hypothèses émises sont celles de petites déformations élastiques et de grandes rotations du réseau cristallin.
Le tenseur de déformation de Green LagrangeEs’exprime de la manière suivante : E = 1
2(F·FT −I). (4.27)
Ce tenseur est lagrangien, puisque étant uniquement défini dans la configurationC0. Le com-portement élastique du matériau peut être décrit par la loi hyperélastique générale suivante :
Π = ∂W(E)
∂E . (4.28)
Rappelons queΠ est le tenseur des contraintes de Piola Kirchhoff associé à la configuration initialeC0.W est un potentiel d’énergie élastique également défini dansC0. À l’aide de la dé-composition de Lee (1969), cette expression reste valable pour la transformation élastique reliant C∗àCt:
Π∗= ∂W(Ee)
∂Ee , (4.29)
oùΠ∗est le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff transporté dans la configuration isocline C∗ etW(Ee)la densité d’énergie par unité de volume non déformé.Π∗ peut d’ailleurs être lié au tenseur des contraintes de Cauchyσpar la relation suivante :
Π∗=det(Fe)Fe−1·σ·Fe−T. (4.30) Il résulte de la combinaison de ces deux dernières équations ((4.29)et(4.30)) :
σ=det(Fe)−1 Fe·∂W(Ee)
∂Ee ·FeT. (4.31)
Nous nous plaçons maintenant dans l’hypothèse des petites déformations élastiques et des grandes rotations du réseau cristallin. La décomposition polaire du tenseur du gradient de la transformation élastiqueFes’écrit :
Fe=Ve·Re, (4.32)
où Ve et Re représentent respectivement une dilatation et une rotation du réseau cristallin.
L’hypothèse des petites déformations permet d’exprimerVede la manière suivante :
Ve =I+ǫe, avecǫe<<1. (4.33) Cette forme particulière deVe permet de simplifier la loi de comportement qui lie la dérivée de Jaumann du tenseur des contraintes de Cauchyσ au tenseur du gradient de la vitesse de déformation élastiqueDe:
σˆ =Ke:De. (4.34)
En utilisant la dérivée de Jaumann, il nous est également possible d’écrire :
σˆ= ˙σ−We·σ+σ·We, (4.35) oùWe est le gradient de la vitesse de rotation élastique entre la configuration isoclineC∗et la configuration actuelleCt.
Dans le cas général, le tenseurKeest symétrique et peut être défini par rapport à la densité d’énergie par unité de volume non déforméW(Ee):
Ke =det(Fe)−1Fe· Fe·∂W(Ee)
∂Ee ·FeT
!
·FeT. (4.36)
L’équation(4.33)permet de simplifier l’équation(4.36)en réalisant un développement Taylor.
Lorsque ǫ
tend vers zéro, Peirce et al. (1983) et Teodosiu et al. (1993) ont montré que :
Ke=Ceavec Cijkle =RipRjqRkmRlnC∗eijkl, (4.37) oùC∗eest le tenseur des constantes élastiques dans la configurationC∗. Ainsi comme :
σˇ=Ce :De, (4.38) l’équation(4.35)s’écrit :
σ˙ =Ce:De+We·σ−σ·We. (4.39) Les équations(4.23)et(4.25)permettent d’exprimerσ˙ sous la forme suivante :
σ˙ =Ce :D+W ·σ−σ·W −X
s
γ˙sRs, (4.40)
avec :
Rs=Ce:Ds+Ws·σ−σ·Ws. (4.41) Le tenseur des contraintes de Kirchhoffτ associé à la configuration actuelleCtest lié au tenseur de Cauchyσpar la relation suivante :
τ =det(F)σ. (4.42)
L’hypothèse émise, à savoir celle des petites déformations élastiques (det(F) ≈ det(Fp) = 1), permet la réécriture des équations(4.40)et(4.41)comme suit :
τ˙ =Ce:D+W ·τ−τ·W −X
s
γ˙sRs, (4.43)
avec :
Rs=Ce:Ds+Ws·τ −τ ·Ws, (4.44) car :
τ ≈σ. (4.45)
Cette même hypothèse permet aussi d’accéder à l’évolution des rotations du réseau cristallin : R˙e=Re· W −X
s
γ˙sWs
!
. (4.46)