Grand nombre de Reynolds

Dans l’oc´ean le nombre de Reynolds des ´ecoulements consid´er´es est bien plus grands que ceux que nous pouvons atteindre avec la cuve tournante de l’ENSTA. C’est pourquoi

nous avons r´ealis´e une s´erie d’exp´eriences sur la plaque Coriolis, au LEGI `a Grenoble. La plateforme de Coriolis est un dispositif unique en Europe par ses dimensions : une cuve circulaire de 13 m`etres de diam`etres est mont´ee sur 23 galets dont 10 sont motoris´es. La vitesse de rotation peut varier de Ω = 0.06 − 3.33tr/min. Contrairement `a la cuve de l’ENSTA, le sens de rotation est celui de l’h´emisph`ere nord. De telles dimensions permettent d’atteindre des param`etres impossibles `a atteindre autrement.

Dispositif exp´erimental

Le fluide est stratifi´e `a deux couches d’´epaisseur H = 55 cm pour la couche inf´erieure et

h0 = 5 cm pour la couche sup´erieure. La deuxi`eme couche est inject´ee `a l’aide de flotteurs

dispos´es tout autour de la cuve. Il faut environ 6 heures pour injecter la deuxi`eme couche et encore 12 heures pour que les deux couches soient en rotation solide. Le cylindre est mont´e sur un chariot tract´e le long d’un diam`etre de la cuve. Deux cylindres de diam`etre

D = 50 cm et D = 1 m ont ´et´e utilis´es. Le rayon de d´eformation barocline R∗

d varie

entre 16 cm et 71 cm. Les param`etres adimensionn´es sont r´esum´es dans le tableau 4.3. Nous avons r´ealis´e des exp´eriences avec du colorant pour visualiser l’aspect g´en´eral de

manip Ro = V0 DΩ Bu = _2R∗ d D 2 λ = Ro_Bu Re = V0D ν 1 0.4 8 0.05 5 000 2 0.24 1 0.24 8 500 3 0.24 0.8 0.30 17 000 4 0.07 0.18 0.39 10 000 5 0.07 0.09 0.78 10 000 6 0.14 0.09 1.56 20 000 7 0.21 0.09 2.33 30 000 8 0.35 0.09 3.89 50 000

Tab._{4.3 – Param`etres des exp´eriences r´ealis´ees sur la plateforme Coriolis.}

l’´ecoulement. Deux injecteurs sont install´es `a 30˚en amont du cylindre, le colorant inject´e du cˆot´e cyclonique est rouge et celui du cˆot´e anticyclonique est bleu, on a ainsi le mˆeme code couleur que celui utilis´e pour l’analyse PIV. Pour une mˆeme stratification et vitesse de rotation, plusieurs exp´eriences ont ´et´e r´ealis´ees en variant la vitesse de translation du cylindre pour faire varier le nombre de Rossby. Entre chaque exp´erience, le colorant est dissous avec de l’eau de javel pour ´eviter de vidanger la cuve qui contient 260 tonnes d’eau (Fig. 4.15(b)).

Observations

La Figure 4.16 montre l’´ecoulement juste derri`ere le cylindre et plus loin dans le sillage

pour l’exp´erience no_{5 dans un r´egime frontal. On retrouve l’aspect g´en´eral des sillages en}

r´egime frontal : une couche de cisaillement assez longue derri`ere le cylindre et les tour- billons anticycloniques sont plus circulaires et plus gros que les tourbillons cycloniques. Cependant le nombre de Reynolds ´etant tr`es grand, la couche limite est turbulente et la couche de cisaillement est affect´e par une instabilit´e de type Kelvin-Helmotz. La Fi-

gure 4.17 montre la couche limite cyclonique pour l’exp´erience no_{7 et la couche de ci-}

Fig. _{4.15 – (a) Photo du cylindre. (b) Dissipation du colorant. A droite de l’image on} peut observer le chariot qui permet de tirer le cylindre.

Fig. _{4.16 – Couche de cisaillement (a) et all´ee tourbillonaire (b) derri`ere le cylindre pour}

que la partie anticyclonique soit affect´ee par des instabilit´es 3D de type inertielle qui d´estabilise l’´ecoulement lorsque la vorticit´e absolue ω + f devient n´egative. Le cisaille- ment de l’´ecoulement anticyclonique peut devenir plus faible et affecter la production d’anticyclones.

Fig. _{4.17 – Couche limite cyclonique (a) et couche de cisaillement derri`ere le cylindre (b)}

Chapitre 5

Stabilit´e de sillages parall`eles

5.1

R´esum´e

Les exp´eriences de laboratoire pr´esent´ees au chapitre pr´ec´edent ont permis de mettre en ´evidence une structure peu commune de sillages, en r´egime frontal, i. e. petit nombre de Rossby et large d´eviation de la surface de la couche fluide. En aval du cylindre, deux couches de cisaillement parall`eles s’´etendent sur une distance de deux `a trois fois le diam`etre. Au del`a, apparaˆıt une all´ee de tourbillons compos´ee uniquement d’anticy- clones. Cette structure de sillage ressemble davantage `a une instabilit´e de type couche de m´elange qu’`a une instabilit´e de type von Karman. Cette observation a motiv´e l’´etude de stabilit´e pr´esent´ee ici et qui fait l’objet d’un papier en pr´eparation pour Physics of Fluid. De plus nous avons observ´e que le profil de vitesse dans les couches de cisaillement est asym´etrique. Comme nous savons ´egalement que les cyclones et les anticyclones ne suivent pas la mˆeme dynamique en r´egime frontal, aussi bien l’asym´etrie du sillage parall`ele en amont que le r´egime dynamique pourrait ˆetre responsable, `a priori, de la pr´edominance des anticyclones.

Pour d´eterminer quels sont les m´ecanismes responsables de l’asym´etrie cyclone an- ticyclone dans l’all´ee de tourbillons, nous ´etudions la stabilit´e lin´eaire et la dynamique non lin´eaire d’´ecoulements parall`eles correspondant `a deux profils de sillages mesur´es en laboratoire juste en aval de l’obstacle. On effectue ainsi une analyse de stabilit´e locale de l’´ecoulement de sillage `a une distance fixe du cylindre. Cette approche est pertinente lorsque le sillage derri`ere l’obstacle varie lentement dans la direction longitudinale (ap- proximation WKB). Le premier profil est sym´etrique et mesur´e juste derri`ere le cylindre, pour une exp´erience r´ealis´ee en r´egime quasi-g´eostrophique. Le sillage dans ce r´egime est une all´ee de tourbillons de type von Karman. Le deuxi`eme profil est asym´etrique et mesur´e dans la zone de cisaillement parall`ele, en r´egime frontal. Pour chacun de ces profils, la sta- bilit´e des ´ecoulements parall`eles correspondant est ´etudi´ee en r´egime quasi-g´eostrophique et frontal.

Un deuxi`eme objectif est de d´eterminer la nature de l’instabilit´e du sillage en r´egime frontal. La perturbation ajout´ee `a l’´ecoulement ´etant une perturbation tr`es localis´ee, une analyse spatio-temporelle nous permet de d´ecrire son ´evolution et de d´eterminer le caract`ere absolu ou convectif de l’instabilit´e. Cette analyse spatio-temporelle est r´ealis´ee sur les cas correspondant `a des exp´eriences de laboratoire, `a savoir l’´ecoulement sym´etrique dans un r´egime quasi-g´eostrophique et l’´ecoulement asym´etrique dans un r´egime frontal. L’analyse de stabilit´e temporelle lin´eaire, fait apparaˆıtre deux principaux modes in- stables. Le mode le plus instable se d´eveloppe principalement dans la partie anticyclonique

de l’´ecoulement et le second dans la partie cyclonique. Pour le profil de sillage sym´etrique, on montre qu’en r´egime quasi-g´eostrophique les deux modes ont des taux de croissance tr`es proches. Par contre, le taux de croissance du mode cyclonique est tr`es fortement diminu´e en r´egime frontal. De plus, dans ce r´egime, les deux modes sont localis´es uniquement dans la partie anticyclonique pour l’un et cyclonique pour l’autre. Donc le r´egime frontal tend `a s´electionner le mode anticyclonique. Pour le profil de sillage asym´etrique, les taux de croissances des deux modes sont d´ej`a tr`es diff´erents en r´egime quasi-g´eostrophique. Ce- pendant, cette diff´erence est accrue en r´egime frontal. L’´evolution non lin´eaire du sillage asym´etrique montre une asym´etrie cyclone-anticyclone en r´egime QG et FG. Cependant, les cyclones sont tr`es elliptiques et ´etir´es en r´egime frontal uniquement. De plus, on re- trouve dans ce r´egime la mˆeme structure d’all´ee tourbillonnaire que celle observ´ee dans l’exp´erience de laboratoire, et un nombre de Strouhal tr`es proche.

L’analyse spatio-temporelle du d´eveloppement lin´eaire d’un paquet d’onde localis´e montre que les profils sont instables convectifs, c’est-`a-dire que les perturbations ne remontent pas l’´ecoulement mais se propagent en aval du cylindre. Cette analyse est coh´erente avec l’observation des sillages en r´egime frontal dans les exp´eriences de labora- toire. En effet, derri`ere le cylindre, l’´ecoulement de sillage parall`ele reste stable sur une zone relativement grande. Les tourbillons se forment `a une distance de plusieurs diam`etres en aval du cylindre, ce qui indique que les perturbations ne remontent pas vers celui-ci. Par cons´equent, ce r´esultat met en ´evidence une transition dans la nature de l’instabilit´e des sillages. Dans le cas bi-dimensionnel classique, une all´ee de von Karman est la mani- festation d’un mode global d’instabilit´e provoqu´e par la pr´esence d’une zone d’instabilit´e absolue dans l’´ecoulement moyen derri`ere l’obstacle. En r´egime frontal, l’´ecoulement de sillage en aval du cylindre est instable convectif. Ainsi une perturbation form´ee au voisi- nage de l’obstacle va croitre exponentiellement tout en ´etant advect´ee par l’´ecoulement. Lorsque son amplitude sera suffisamment grande, des m´eandres ou tourbillons vont se former. L’instabilit´e de mode global a disparu et une analyse de stabilit´e locale donne une pr´ediction correcte du nombre de Strouhal observ´e.

5.2

Article : Stability of parallel wake flows in quasi-