7.5.1
cas quasi-g´eostrophique
Nous avons r´ealis´e une simulation dans les mˆemes conditions que les exp´eriences d´ecrites au chapitre 3, dans un r´egime quasi-g´eostrophique. On se place dans le r´ef´erentiel de la cuve. Le domaine est rectangulaire de dimensions 128 × 48cm, identiques `a celles
de la cuve. Le cylindre, de diam`etre D = 7cm, est translat´e `a vitesse constante ~V0. Les
conditions aux limites sont des conditions de non p´en´etration sur les quatre cˆot´es de la cuve, impos´ees avec la m´ethode de p´enalisation.
Dans l’exp´erience, les champs de vitesse sont obtenus par une m´ethode de Particle Image Velocimetry (PIV). Les champs de vorticit´e sont d´eriv´es des champs de vitesse.
La premi`ere simulation est r´ealis´ee dans un r´egime quasi-g´eostrophique, Bu = 2, Ro = 0.06 et Re = 200. La figure 7.14 repr´esente l’´evolution temporelle du champ de vorticit´e. Apr`es une phase transitoire au cours de laquelle une cellule de recirculation se forme et s’´etire, cette cellule se d´estabilise et une all´ee de tourbillons de type von Karman apparaˆıt. Les cyclones et les anticyclones sont ´emis alternativement de chaque cˆot´e du cylindre.
La figure 7.15 montre l’´evolution du champ de vorticit´e dans les simulations num´eriques et l’exp´erience de laboratoire, dans une zone de la cuve qui correspond `a la zone d’obser- vation de la cam´era dans l’exp´erience. La palette de couleur et la taille de la zone sont identiques. Le temps d’´evolution, la taille des structures, la distance entre chaque structure et l’ordre de grandeur de la vorticit´e sont tr`es proches dans les simulations num´eriques et dans les exp´eriences de laboratoire. Cependant, les tourbillons form´es juste derri`ere l’obs- tacle sont plus allong´es dans l’exp´erience que dans les simulations. Cette diff´erence peut ˆetre expliqu´ee par le fait que l’interface passe en dessous du cylindre dans les exp´eriences et peut modifier l’´ecoulement proche du cylindre.
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 50 100 150 200 250 300 350 ω/f −0.2 0 0.2 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 50 100 150 200 250 300 350 ω/f −0.2 0 0.2 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 50 100 150 200 250 300 350 ω/f
Fig. 7.14 – Evolution temporelle de la vorticit´e pour Re = 200, Ro = 0.06 et Bu = 2,
aux temps T = 0τ , T = 14τ et T = 29τ . −0.2 0 0.2 1 2 3 4 5 6 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −0.2 0 0.2 1 2 3 4 5 6 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −0.2 0 0.2 1 2 3 4 5 6 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Fig. 7.15 – Comparaison des simulations num´eriques et exp´eriences de laboratoire pour
7.5.2
cas frontal
Nous avons ´egalement r´ealis´e des simulations num´eriques dans des r´egimes frontaux. La r´esolution est de 1024 × 256 pour une taille de boˆıte de 2π × π/2. On se place dans le
r´ef´erentiel de la cuve et l’obstacle est translat´e `a vitesse constante V0. Les conditions aux
limites sont p´eriodiques.
On observe ´egalement, dans les simulations num´eriques, une forte asym´etrie cyclone- anticyclone dans le sillage. Lorsque la d´eviation de l’interface augmente, les cyclones deviennent plus ´etir´es et plus d´eform´es que les anticyclones et les tourbillons se d´etachent plus en aval du cylindre. Cependant pour observer une allure de sillage tr`es proche de celle pr´esent´ee sur la figure 7.16, on est oblig´e de consid´erer des d´eviations de l’interface plus importantes encore.
− 0.5 0.5 w/f
0
Fig. 7.16 – Champ de vorticit´e mesur´e par PIV pour Bu = 0.11, Ro = 0.19 et Re = 800.
La figure 7.17 montre le champ de vorticit´e d’une simulation r´ealis´ee `a Bu = 0.1, Ro = 0.24 et Re = 250, donc la d´eviation de la surface λ = Ro/Bu = 2.4. Une forte asym´etrie cyclone-anticyclone apparaˆıt dans le sillage, les anticyclones sont bien circulaires alors que les cyclones sont tr`es d´eform´es. Comme dans les exp´eriences, les tourbillons se d´etachent `a une distance d’environ deux diam`etres du cylindre et des ondes se forment
dans la zone de cisaillement. En consid´erant la distance entre les anticyclones, Lx, on
estime un nombre de Strouhal :
St = D
Lx(1 −
Vd V0
) = 0.65
o`u D est le diam`etre du cylindre et Vd la vitesse de d´erive des tourbillons. La p´eriode de
formation des tourbillons est donc du mˆeme ordre que celle mesur´ee dans les exp´eriences, St = 0.6 pour une d´eviation de la surface λ = Ro/Bu = 1.7.
−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 50 100 150 200 250 ω/f
Fig. 7.17 – Champ de vorticit´e d’une simulation num´erique pour Bu = 0.1, Ro = 0.24 et
Re = 250.
Par contre, le profil de vitesse derri`ere l’obstacle diff`ere. La figure 7.18 pr´esente le profil de vitesse derri`ere le cylindre, filtr´e en temps pour ´eliminer les ondes, pour la simulation
−3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y/R Vx /V 0 profil numérique profil expérimental
Fig. 7.18 – Comparaison des profils de vitesse derri`ere l’obstacle pour une simulation
num´erique r´ealis´ee `a Bu = 0.1, Ro = 0.24 et Re = 250 et une exp´erience de laboratoire `a Bu = 0.11, Ro = 0.19 et Re = 800.
num´erique et les exp´eriences de laboratoire. Le cisaillement est plus important dans les simulations num´eriques et la partie cyclonique de l’´ecoulement est diff´erente.
Le fait de ne pas retrouver exactement la mˆeme structure de sillage pour des pa- ram`etres identiques peut ˆetre expliqu´e par la configuration bi-couche de l’exp´erience. En effet, dans des r´egimes frontaux, on a vu au chapitre 4 que l’interface entre la couche sup´erieure et inf´erieure, dans l’exp´erience, passe sous le cylindre et provoque de fortes vitesses verticales. L’´ecoulement n’est plus hydrostatique dans cette zone. D’autre part le mod`ele de Saint-Venant est consistant pour d´ecrire la dynamique de la couche du dessus dans une certaine gamme de param`etres donn´ee par le crit`ere de Cushman-Roisin (Chap. 4). Or dans les param`etres que l’on consid`ere, il est possible que ce crit`ere ne soit pas compl`etement satisfait.
Cependant, on retrouve avec les simulations num´eriques l’´evolution du nombre de Strouhal observ´ee dans les exp´eriences de laboratoire. La figure 7.19 montre les valeurs du nombre de Strouhal pour diff´erentes simulations num´eriques r´ealis´ees `a des nombres de Reynolds variant entre 200 et 300, compar´ees aux valeurs exp´erimentales. Dans un r´egime quasi-g´eostrophique, le nombre de Strouhal est proche des valeurs observ´ees en ´ecoulement 2D pour ces nombres de Reynolds. Par contre, lorsque la d´eviation relative de la surface augmente, le nombre de Strouhal augmente tr`es fortement en suivant la mˆeme ´evolution.
Fig. 7.19 – Evolution du nombre de Strouhal en fonction du param`etre λ. Compa- raison entre les valeurs mesur´ees dans les exp´eriences de laboratoire et les simulations num´eriques.
s Nous pr´esentons dans cette section un r´esum´e sur la m´ethode num´erique, plubli´e `a l’occasion de la Troisi`eme conf´erence Internationale sur les ´ecoulements peu profonds `a Delft en juin 2003.