courant frappant un obstacle fixe
De nombreux ph´enom`enes rendent la situation oc´eanique plus complexe que la mod´elisation exp´erimentale que nous d´ecrivons dans ce chapitre. Il nous paraˆıt important de discuter l’´equivalence ou non entre la configuration d’un obstacle avan¸cant dans un fluide au repos et un courant g´eostrophique qui rencontre un obstacle fixe. En effet, `a cause de contraintes exp´erimentales, nous avons consid´er´e le cas d’un obstacle mobile dans le r´ef´erentiel tour- nant, plutˆot qu’un courant arrivant sur un obstacle fixe. Or, le r´ef´erentiel en rotation n’´etant pas galil´een, ces deux situations sont diff´erentes.
Consid´erons le mod`ele de Saint-Venant dans le r´ef´erentiel en rotation et dans le rep`ere
de l’obstacle. Pour un obstacle en translation uniforme `a la vitesse ~V0 = −V0~ex dans le
r´ef´erentiel en rotation, le changement de rep`ere s’´ecrit :
x′ = x + V 0t y′ = y ~ V′(x′, y′, t) = ~V (x, y, t) − ~V 0 φ′(x′, y′, t) = φ(x, y, t)
Les ´equations adimensionn´ees dans ce nouveau rep`ere s’´ecrivent : Ro∂ ~∂tV′ + (~V′.∇′)~V′+ ~n × (~V′+ ~V
0) = −∇φ (3.1)
λ∂φ∂t′ + ~V′.∇′φ′+ (1 + λφ′)∇′.~V′ = 0 (3.2)
et les conditions `a l’infini sont :
~
V′ → −~V
0 (3.3)
φ → φ0 = cste (3.4)
Pour un obstacle fixe dans le r´ef´erentiel en rotation, les ´equations sans dimension s’´ecrivent :
Ro∂ ~∂tV + (~V .∇)~V+ ~n × ~V = −∇φ (3.5)
λ∂φ∂t + ~V .∇φ+ (1 + λφ)∇.~V = 0 (3.6)
et `a l’infini l’´ecoulement est g´eostrophique : ~
V → ~Vg(y) (3.7)
φ → φg(y) (3.8)
o`u f est le param`etre de Coriolis, ~V la vitesse horizontale, ~n la normale au plan de
l’´ecoulement et φ le g´eopotentiel. Dans les deux cas, l’´ecoulement arrivant en amont de
l’obstacle, `a la vitesse ~V0, satisfait au premier ordre l’´equilibre g´eostrophique. Dans le cas
de l’obstacle mobile, cet ´equilibre s’´ecrit :
~n × (~V0− ~V0) = 0 = −∇′φ′,
la d´eviation du g´eopotentiel est donc nulle.
Dans le cas de l’obstacle fixe, l’´equilibre du courant en amont s’´ecrit :
~n × ~V0 = −∇φ
et la d´eviation du g´eopotentiel n’est pas nulle.
Cependant, la d´eviation du g´eopotentiel ´etant du mˆeme ordre que le param`etre λ = Ro/Bu, elle est tr`es faible dans un r´egime grande ´echelle (Ro ≪ 1 et Bu ≥ 1). Dans ce cas, les deux configurations peuvent ˆetre consid´er´ees comme semblables. En revanche, pour un r´egime grande ´echelle (Ro ≪ 1 et Bu ≪ 1) la d´eviation du g´eopotentiel n’est plus n´egligeable et les deux situations diff`erent. Cette diff´erence est sch´ematis´ee sur la figure 3.13.
y z x C A x y z Vo Ω A C y z x C A x y z Ω A C Vo
Fig.3.13 – Sch´ema d’un courant `a l’´equilibre g´eostrophique frappant un obstacle fixe dans
le r´ef´erentiel en rotation (a) et d’un obstacle en translation uniforme dans un r´ef´erentiel tournant (b).
Chapitre 4
Asym´etrie cyclone-anticyclone dans
les sillages de grande-´echelle
Cette ´etude a fait l’objet d’un article soumis `a Physics of Fluid, pr´esent´e ici dans la section 4.2.
4.1
R´esum´e
Pour caract´eriser les sillages de grande ´echelle, nous avons r´ealis´e une s´erie d’exp´eriences de laboratoire sur une large gamme de param`etres, du r´egime grande ´echelle au r´egime quasi-g´eostrophique. Le dispositif exp´erimental et les param`etres sont d´etaill´es dans le chapitre 3.
Dans un r´egime quasi-g´eostrophique, le sillage a une structure d’all´ee de tourbillons de type von Karman. Les couches limites form´ees sur le cylindre se d´etachent et s’en- roulent pour former alternativement des tourbillons cycloniques et anticycloniques qui
sont advect´es au loin. Par contre, lorsque le rayon de d´eformation R∗
d devient inf´erieur au
diam`etre du cylindre D, une forte asym´etrie cyclone-anticyclone apparaˆıt dans l’all´ee de tourbillons. Les cyclones sont d´eform´es et elliptiques alors que les anticyclones restent bien
circulaires. Plus surprenant, pour de tr`es petits rayons de d´eformation, R∗
d= 0.16D, seuls
des tourbillons anticycloniques apparaissent dans le sillage. De plus, les couches limites form´ees sur le cylindre, se d´etachent mais ne s’enroulent pas, elles forment au contraire deux couches de cisaillement quasi-parall`eles, qui restent stables sur une distance de deux `a trois diam`etres. L’allure du sillage ressemble davantage `a deux couches de cisaillements instables qu’`a une all´ee de von Karman.
Pour caract´eriser ces couches de cisaillement, nous avons mesur´e le profil de vitesse lon- gitudinale et la d´eviation de l’interface sur une coupe perpendiculaire `a l’´ecoulement, juste derri`ere le cylindre. Ces profils sont moyenn´es en temps pour filtrer les ondes. Il apparaˆıt d’une part que le profil de vitesse dans la zone de cisaillement est fortement asym´etrique. D’autre part, l’´ecoulement dans les couches cisaill´ees est `a l’´equilibre g´eostrophique.
Une cons´equence de l’asym´etrie dans l’all´ee de tourbillons est l’augmentation impor- tante du nombre de Strouhal, jusqu’`a 0.6 lorsque l’all´ee n’est form´ee que d’anticyclones. Les valeurs du nombre de Strouhal sont bien sup´erieures aux valeurs rencontr´ees dans la litt´erature pour les nombres de Reynolds consid´er´es. De plus, le nombre de Strouhal augmente tr`es nettement avec la d´eviation relative de l’interface λ, alors qu’il n’y a au- cune relation ´evidente avec le nombre de Burger. Le nombre de Reynolds, ni le nombre de Rossby ne contrˆolent la fr´equence d’´emission des tourbillons. L’augmentation du Strou-
hal est directement li´ee `a l’asym´etrie cyclone-anticyclone, donc le param`etre λ semble ˆetre le param`etre de contrˆole de cette asym´etrie. Le r´egime dans lequel est observ´e cette asym´etrie correspond au r´egime frontal, petits nombres de Rossby et larges d´eviations de l’interface.
Les exp´eriences de laboratoire nous ont permis de caract´eriser la structure des sillages de grande ´echelle, d’identifier le r´egime dynamique dans lequel l’asym´etrie cyclone-anticyclone est observ´ee. Cette ´etude soul`eve aussi plusieurs interrogations sur l’origine de l’asym´etrie dans l’all´ee tourbillonnaire. En effet, d’une part, les cyclones et les anticyclones peuvent suivre une dynamique diff´erente en r´egime frontal (pr´esent´e au chapitre 2), d’autre part, le sillage quasi-parall`ele qui s’´etend derri`ere le cylindre est asym´etrique. Il n’est donc pas ´evident de d´eterminer le ou les m´ecanismes responsables de l’asym´etrie des all´ees de tourbillons.