Dans le cas du système biharmonique utilisé par Masoud et al., les garanties théoriques d’existence d’une solution, d’arrivée à destination et d’évitement d’obstacles sont données par la validité du modèle biharmonique utilisé pour décrire la propagation de contraintes [Masoud 1994]. Le système (5.14) ne représente aucun phénomène physique particulier, il nous faut donc démontrer les garanties théoriques offertes par notre méthode.
Existence d’un Champ de Navigation Biharmonique
Il suffit de montrer qu’il est toujours possible de construire un champ de vecteurs propres afin de garantir l’existence d’un champ de navigation biharmonique.
Le seul cas pour lequel le champ de vecteurs propres ne pourrait pas être construit est le cas où sa valeur propre associée est nulle, i.e. lorsque σmin= 0. Pour montrer que σmin ne s’annule
jamais, nous reprenons la matrice des contraintes :
Σ = " σxx σxy σxy σyy # . Par construction : T r(Σ) = σxx+ σyy = ∂2F ∂y2 + ∂2F ∂x2 = 4F.
D’après le principe du maximum et les conditions aux limites imposées sur le système (5.15), on sait que : P < 4F = T r(Σ) < 0 =⇒ σmin+ σmax< 0 =⇒ σmin< −σmax. (5.17) Or par construction : σmin6 σmax⇐⇒ σmin = σmax ou σmin < σmax =⇒ σmin = T r(Σ)/2 < 0 ou σmin < σmax . (5.18)
En utilisant (5.17) et (5.18), on obtient donc σmin< −|σmax| 6 0, ce qui prouve l’existence
d’un champ de navigation biharmonique pour n’importe quel espace de travail valide.
Arrivée à la Destination
La fonction 4F est analytique en vertu des théorèmes généraux de régularité des solutions d’équations harmoniques. Elle ne peut donc s’annuler qu’en des points isolés, sauf si elle est identiquement nulle dans le domaine F . Dans ce dernier cas, la fonction biharmonique F est◦ aussi harmonique et on se ramène au cas d’un champ de navigation harmonique, ce qui ne présente pas d’intérêt particulier. On supposera donc que 4F 6= 0.
4F étant harmonique, elle possède en tout point une direction de plus forte pente donnée par −∇ 4 F , hormis aux points critiques de 4F . Aux points critiques (où −∇ 4 F = 0), la direction de plus forte pente est donnée par la valeur propre minimale de la Hessienne de 4F . On notera dans la suite −∇ 4 F cette direction de plus forte pente, y compris aux points cri- tiques de 4F .
F s’obtient à partir de 4F en résolvant une équation de Poisson, et est elle-même analytique.
Le produit scalaire utilisé pour le redressement est soit identiquement nul, soit il ne s’annule qu’en des points isolés. On peut alors assurer que le vecteur propre associé à σmin choisi est
presque partout une direction de descente stricte pour 4F . On note dans la suite X le champ de vecteurs propres de Σ obtenu après redressement.
Nous cherchons à montrer que les trajectoires obtenues ne peuvent être que de deux types : • Une trajectoire qui admet pour limite un point où X et ∇ 4 F sont orthogonaux et qui n’atteint donc pas la destination. Cette situation ne peut se produire que sur un ensemble de mesure nulle de conditions initiales.
• Une trajectoire qui converge vers un point annulant ∇ 4 F , ce qui ne peut se produire qu’à destination en vertu du principe du maximum et des conditions aux limites imposées. Cette trajectoire atteint donc la destination.
Pour cela, montrons que toutes les trajectoires atteignent un point où h∇ 4 F, Xi = 0. Proposition 5.1. Soit φ le flot de X. Pour tout point x du domaine F◦, lim
t→+∞φ(x, t) est un
point annulant l’application Θ: y 7→ h∇ 4 F (y), X(y)i. Démonstration. On a :
∂ 4 F ◦ φ(x, t)
∂t = h∇ 4 F, X (φ(x, t))i
Comme h∇ 4 F, X (φ(x, t))i < 0 pour presque toute valeur de t, on en déduit que pour tout t et > 0 :
4F ◦ φ(x, t + ) < 4F ◦ φ(x, t)
Soit tn une suite de réels tendant vers +∞ et posons xn = φ(x, tn). Supposons l’existence d’une limite x0 = limn→+∞xn. On a, par décroissance de 4F le long du flot :
∀t ≥ 0, 4F (x0) < 4F ◦ φ(x, tn))
Supposons que x0 n’ est pas un point d’annulation de Θ. Il existe un réel > 0 tel que
4F (x0) > 4F (φ(x0, )) = lim
n→+∞4F (φ(xn, ))
. Par ailleurs :
φ(xn, ) = φ (φ(x, tn), ) = φ(x, tn+ )
il existe donc un rang p tel que :
4F (x0) > 4F (φ(xp, tp))
L’application 4F est bornée sur le domaine considéré en vertu du principe du maximum et des conditions aux limites choisies. Pour tout x dans F , et toujours en posant x◦ n = φ(x, tn),
la suite xn admet des valeurs d’accumulation. Supposons l’existence de deux telles valeurs dis- tinctes x0 et x1. Il s’agit de points d’annulation de , Θ qui sont donc isolés. Soit B(x0, r) une
boule centrée en x0 et ne contenant aucun autre point d’annulation (et donc pas x1 en parti-
culier). Le flot φ(x, t) a une infinité d’intersections avec la boule B(x0, r/2), la suite des points
en question a donc une valeur d’accumulation qui est un point d’annulation de Θ, conduisant à une contradiction. On en déduit que toute suite xn = φ(x, tn) obtenue à partir d’un point
initial x a une limite qui annule Θ.
Évitement d’obstacles
La propriété d’évitement d’obstacles vient en fait de la technique utilisée pour redresser le champ de vecteurs propres. Puisque le champ de vecteurs propres est redressé en suivant −∇(4F ), qui est un champ de navigation harmonique de Dirichlet pour lequel l’évitement d’obstacles est garanti, l’évitement d’obstacles est également garanti pour presque tout le champ de navigation. Pour les quelques vecteurs redressés par continuité, en effectuant le redressement à partir des obstacles (et donc en s’assurant que le champ pointe à l’opposé des obstacles), l’évitement d’obstacles est lui aussi garanti.
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Étude du Champ de Navigation Biharmonique
Le champ de navigation Figure 5.6 semble présenter des "lignes de discontinuité" et des "zones de convergence" derrière et devant les obstacles (voir Figure 5.7). Les flèches représentant le champ s’écartent pour contourner un obstacle, puis convergent devant l’obstacle, avant de se diriger vers la destination. Cette forme particulière du champ pourrait avoir un impact sur la forme des trajectoires calculées à partir du champ de navigation biharmonique.
Figure 5.7 – Ligne de discontinuité (rose) et zone de convergence (vert) autour d’un obstacle (cercle rouge) pour un champ de navigation biharmonique.