Notons X∗ l’ensemble des points où au moins un avion a atteint sa destination :
X∗ = {X ∈ EH, ∃i ∈ {1, . . . , n}, Xi = Xdi}.
Nous cherchons à construire une fonction harmonique sur EH qui soit maximale sur DH
et minimale sur X∗. Loizou avait soulevé l’impossibilité de la construction d’une telle fonction dans [Loizou 2011a].
Selon le principe du maximum, une fonction harmonique atteint ses extremums sur les fron- tières de son domaine de définition. Toute fonction harmonique possédant un minimum (ou un maximum) à l’intérieur de son domaine de définition est forcément constante. Il est donc effec- tivement impossible de construire une fonction harmonique qui est minimale sur X∗ si X∗ est inclus dans l’intérieur du domaine libre. Mais en considérant les destinations des avions comme des points situés sur la frontière de l’espace libre, la construction d’une fonction harmonique sur cet espace devient possible.
L’espace libre (i.e. les positions autorisées pour les avions) est donc donné par : FH = EH − X∗.
La fonction de navigation harmonique est alors construite sur FH comme une superposition
de champs harmoniques attractifs et de champs harmoniques répulsifs :
φH(X) = n X i=1 ailog kXi− Xdik2 | {z } − n X i=1 n X j=i+1 bijlog kXi− Xjk2 | {z } ,
attraction aux évitement de collision destinations
(8.1)
avec ai> 0 et bij > 0, ∀i ∈ {1, . . . , n} et ∀j ∈ {i + 1, . . . , n}.
Comme pour n’importe quelle fonction de navigation, les trajectoires des avions peuvent être obtenues en suivant le système dynamique : ˙X = −∇φH. Mais pour obtenir des trajectoires à
vitesse constante, il nous faut normer ce champ de navigation avion par avion :
˙ X = v1× −∇1φH(X) k∇1φH(X)k (...) vn×k∇−∇nnφφHH(X)k(X) , (8.2)
avec vi> 0 la vitesse (constante) de l’avion i et : ∇iφH(X) = ∂φ H(X) ∂xi ∂φH(X) ∂yi T .
La complexité du calcul de trajectoires en utilisant la fonction de navigation harmonique est alors O(n2) avec n le nombre d’avions sur un niveau de vol donné.
φH est elle une fonction de navigation ?
La fonction φH n’est pas bornée. Elle tend vers +∞ lorsque deux avions s’approchent de la collision et vers −∞ lorsqu’un avion se rapproche de sa destination. Puisque φH n’est pas
bornée, elle ne peut pas être considérée comme une fonction de navigation au sens de la Définition 7.12 donnée dans le Chapitre 7. Nous montrons néanmoins dans la suite que la fonction φH offre les mêmes garanties que les fonctions de navigation, même si elle n’en respecte
pas strictement la définition.
Importance de l’harmonicité de φH
Puisque φH n’est pas vraiment une fonction de navigation, il nous faut prouver les mêmes points que ceux garantis par les fonctions de navigation, à savoir :
• attraction des avions vers leur destination, • évitement d’obstacles (de collision ou de conflit).
L’évitement de collision est garanti par la forme même de φH. En effet, la partie évitement
de collision de (8.1) construit une barrière infranchissable sur DH.
La preuve de convergence des avions vers leur destination repose entièrement sur l’harmo- nicité de φH. Cette démonstration est détaillée dans la Section 1.2.
Pourquoi utiliser X∗ et non Xd comme destination ?
La fonction présentée (8.1) tend vers −∞ dès qu’un avion se rapproche de sa destination. Pour obtenir un seul point de destination Xd dans l’espace de configuration, il aurait fallu utiliser la fonction allant à −∞ lorsque tous les avions se rapprochent de leur destination :
f (X) = log n X i=1 aikXi− Xdik 2 ! .
Mais f (X) n’est pas harmonique. L’harmonicité de φH jouant un rôle primordial dans la preuve de convergence des avions vers leur destination, il est impossible d’utiliser Xdcomme destination.
Coefficients ai et bij
Attraction à la Destination : Pour assurer l’attraction des avions vers leur point de desti- nation, il faut garantir que φH tende bien vers +∞ lorsque les avions s’éloignent de X∗. Pour cela il suffit de choisir les ai et bij tels que :
n X i=1 ai> n X i=1 n X j=i+1 bij. (8.3)
Cette condition correspond à celle que Loizou a imposée sur les coefficients de sa fonction harmonique dans [Loizou 2011a]. Il est important de noter que la convergence du système ne garantit pas que tous les avions convergeront vers leur destination dès le début. Dans certains cas, le système (8.2) peut être amené à éloigner temporairement un avion de sa destination pour permettre à d’autres avions de rejoindre la leur.
Forme des Trajectoires : Les coefficients ai et bij permettent de contrôler les formes des
trajectoires obtenues. Le coefficient ai contrôle l’attraction de l’avion i à sa destination. Avec un ai trop faible, l’avion i peut faire un détour avant de se diriger vers sa destination. Plus ai
augmente et plus l’avion i cherche à suivre la ligne droite, quitte à passer très près d’autres avions.
Il faut également noter que l’attraction exercée sur un avion par sa destination est inver- sement proportionnelle à la distance de l’avion à sa destination. Ainsi, plus un avion sera proche de sa destination, moins sa trajectoire sera déviée et ce quelque soit la valeur de ai.
Le coefficient bij contrôle la force de répulsion exercée par l’avion i sur l’avion j et vice-
versa. Pour éloigner les avions i et j il suffit donc d’augmenter la valeur de bij. À l’inverse, si
deux avions passent très au-delà de la distance de sécurité de 5NM, réduire la valeur de bij les autorisera à se rapprocher.
La forme des trajectoires dépend donc presque entièrement des valeurs assignées aux ai
et aux bij. Ces coefficients peuvent devenir des variables de décision afin d’optimiser la
forme des trajectoires, comme discuté dans la Section 4.2 de ce chapitre.
Évitement de Collision et Évitement de Conflit
La fonction de navigation harmonique est construite comme une superposition de fonctions harmoniques analytiques, comme cela avait déjà été proposé pour un robot dans [Connolly 1990]. Les auteurs avaient néanmoins abandonné cette méthode parce qu’elle ne permettait de repré- senter les obstacles que sous la forme de points. Ils cherchaient alors à faire naviguer un robot dans un environnement complexe (succession de corridors). Une représentation des obstacles sous forme de points ne leur permettait pas de définir les murs que le robot était censé éviter.
Cette représentation des obstacles sous forme de points permet à la fonction de navigation harmonique (8.1) d’interdire les collisions entre avions en créant une barrière impénétrable sur
5NM les uns des autres, il faudrait utiliser une fonction obstacle de la forme : − n X i=1 n X j=i+1 bijlog(kXi− Xjk2− r2), (8.4)
avec r = 5NM. (8.4) n’est malheureusement pas harmonique et comme nous l’avons déjà précisé, l’harmonicité de φH est essentielle pour la preuve de convergence formulée plus loin. Une étude plus poussée montrant qu’il est impossible de construire une fonction harmonique permettant de garantir l’évitement de conflit est présentée dans la Section 3.2.
L’évitement de conflit peut néanmoins être obtenu en optimisant les trajectoires à travers les coefficients ai et bij sous la contrainte d’évitement de conflit.