Une grande partie des méthodes de planification de trajectoire repose sur des lois de com- mande, plus ou moins complexes, définissant les mouvements possibles du mobile. Le but du contrôle optimal est de déterminer la commande d’un système qui minimise (ou maximise) un critère de performance, avec ou sans contraintes imposées au système.
Une fois le problème de minimisation posé, il existe trois méthodes de résolution différentes, plus ou moins adaptées selon les cas : la méthode directe, la méthode indirecte et l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman. Plus de détails sur les problèmes de commande optimale peuvent être trouvés dans [Hiriart-Urruty 2008] et un résumé des trois méthodes de résolution pour la planification de trajectoire dans [Betts 1998].
Méthode directe
La méthode directe consiste à discrétiser la commande ou l’état du système, afin de trans- former le problème de commande optimale en un problème de programmation non linéaire avec contraintes en dimension finie. Le problème ainsi obtenu peut alors être résolu à l’aide des mé- thodes classiques de l’optimisation.
Le principal avantage des méthodes directes est leur relative insensibilité à la condition ini- tiale imposée au système. Ainsi, même sans connaître à priori la solution du problème, il est possible d’obtenir une bonne solution. Si les méthodes directes offrent de bonnes solutions, elles ne garantissent pas en revanche de trouver la meilleure solution au problème posé.
La méthode directe a été utilisée dans les problèmes de planification de trajectoire d’avions [Betts 1995], mais aussi d’UAV [Borrelli 2006].
Avantage :
X Ne nécessite pas de connaissance à priori de la solution.
X Prend facilement en compte les contraintes sur l’état du système.
X Il existe un vaste ensemble de méthodes pour résoudre les problèmes non linéaires avec contraintes en dimension finie.
Inconvénient :
5 Coût important en temps de calcul et en mémoire : la méthode directe ne permet de traiter que des problèmes de petite dimension.
5 Existence de minima locaux.
Application à la planification de trajectoire d’avions : Cette méthode ne permet pas de résoudre des problèmes de taille suffisante. Elle serait utilisable pour gérer l’évitement de conflit entre deux ou trois avions, mais pas pour la planification d’un très grand nombre de trajectoires.
Méthode indirecte
La méthode indirecte repose sur le principe du maximum de Pontryagin qui donne des conditions nécessaires d’optimalité pour le problème considéré. Le principe du maximum de Pontryagin permet de ramener le problème à un système différentiel à deux équations et à deux conditions : une initiale et l’autre terminale. Le problème de commande optimale est ainsi ra- mené à un problème sous contraintes.
L’écriture du principe du maximum de Pontryagin est malheureusement difficile pour des problèmes de commande optimale avec contrainte sur l’état du système. Et sa résolution peut elle aussi poser problème, obligeant la plupart du temps à se tourner vers des méthodes de tir, simple ou multiple. Elle présente néanmoins l’avantage de ne pas nécessiter une discrétisation du problème et donc de permettre de traiter des problèmes de grande taille.
La méthode indirecte suppose qu’une solution au problème est déjà connue et qu’une so- lution optimale est cherchée autour de cette solution. Développée à l’origine pour optimiser des trajectoires de fusée ou de rentrée dans l’atmosphère de navettes spatiales, la méthode in- directe a depuis été étudiée afin d’optimiser des trajectoires d’avions : [Sridhar 2011], [Ng 2011]. Avantage :
X Permet de résoudre des problèmes de grande dimension. X Très grande précision numérique sur la solution obtenue. Inconvénient :
5 Nécessite une connaissance à priori de la structure de la trajectoire recherchée. 5 Sensibilité à la condition initiale.
5 Difficultés théoriques pour la prise en compte de contraintes sur l’état du système à cause du principe du maximum de Pontryagin.
5 Ne permet d’effectuer qu’une optimisation locale du problème.
Application à la planification de trajectoire d’avions :Cette méthode suppose la connais- sance à priori d’une bonne trajectoire, ce qui n’est pas le cas dans notre problème.
Équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman
Au lieu de chercher à résoudre directement un problème de commande optimale, ce dernier peut être réécrit sous la forme d’une équation : l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman. La so- lution de cette équation donne alors le coût optimal permettant d’atteindre un point donné de l’espace à partir d’un point de départ.
La réécriture du problème de commande optimale sous la forme d’une équation d’Hamilton- Jacobi-Bellman permet de travailler aussi bien avec des problèmes discrets que des problèmes continus. Dans le cas discret, on parle alors de l’équation de Bellman, qui peut être résolue par programmation dynamique. Dans le cas continu, on parle de l’équation d’Hamilton-Jacobi qui est une équation aux dérivées partielles.
Que ce soit en temps discret ou en temps continu, le passage par l’équation d’Hamilton- Jacobi-Bellman permet de chercher un optimum global sur tout l’espace. Si cette recherche sur tout l’espace offre l’avantage de trouver l’optimum global, elle rend néanmoins la méthode très dépendante de la taille de l’espace étudié.
Cette méthode a été utilisée dans [Girardet 2013] où une analogie avec la propagation de front d’onde permet de calculer une trajectoire d’avion optimale en free-route en fonction du vent.
Avantage :
X Optimum global. Inconvénient :
5 Méthode sensible à la dimension de l’espace.
Application à la planification de trajectoire d’avions : Cette méthode semble efficace pour planifier une trajectoire dans un espace empli d’obstacles fixes. Mais aucune extension ne semble pouvoir permettre de planifier les trajectoires de plusieurs avions de manière coordonnée (voir Section 3.4 de ce chapitre) en raison d’une explosion de la complexité de calcul avec la dimension de l’espace d’état.