5 Questions étudiées dans cette thèse
11.3 Gaps du champ moyen dFF-DW
La section10.3présente le modèle champ-moyen dFF-DW proposé pour décrire l’ordre de charge observé dans les cuprates et décrit à la section3.1. Ce dernier est caractérisé par deux vecteurs d’onde perpendiculaires, Qx = (Q, 0) et Qy = (0, Q), avec Q = 2πqL variant entre 2π
5 et 2π
3 selon le matériau et le dopage considérés. L’ordre dFF-DW a donc une nouvelle cellule périodique L2
fois plus volumineuse que la maille élémentaire originale. En conséquence, la zone de Brillouin réduite est L2
fois plus petite que l’originale et la dispersion ξkse sépare donc en L2nouvelles bandes Enk. Par exemple, avec Qx= (23π, 0) et Qy= (0,23π), la maille périodique a 9 sites, ce qui mène donc à 9 nouvelles bandes. On comprend alors que Qx = (1032π, 0) et Qy = (0,
3
102π) mènent à 100 bandes, et que le cas purement incommensurable, c’est-à-dire Q irrationnel, mène à un nombre infini de bandes.
(e) (f) (g) (h)
(a) (b) (c) (d)
ZB
Figure 16. Positions des gaps en deux dimensions dans l’ordredFF-DW avec Qx=
(Q, 0) et Qy = (0, Q) pour les paramètres de bande (t′,t′′) = (−0.3t, 0.2t) dans la zone de Brillouin originale. Les rectangles blancs dénotent la zone de Brillouin réduite. (a-b-c-d) pourQxseulement, (e-f-g-h) pourQxetQy, (a-e) pourQ = 2π/2, (b-f ) pourQ = 2π/3, (c-g) pour Q = 2π/4, (d-h) pour Q = 2π/5. Les couleurs dénotent «l’ordre» des croisements, c’est-à-dire : les points de croisementkcr.sont des solutions deξ(kcr.) = ξ(kcr.+ nQx+ mQy), en rouge pour n + m = 1, en noir pourn + m = 2, en bleu pour n + m = 3 et en cyan pour n + m = 4.
Autrement dit, plus L est grand, moins k est un bon nombre quantique (celui de la zone de Brillouin originale). C’est le résultat attendu d’un système qui brise l’invariance sous translation.
À L fini, la position des gaps est fixée en k. Toutefois, contrairement aux paraboloïdes
k2 2met
(k+G)2
2m de la théorie de Bloch, les fonctions périodiques ξ(k) et ξ(k+Q) ne se croisent pas qu’aux plans de Bragg du super-réseau. La figure16illustre les points de croisement, solutions à l’équation ξ(k) = ξ(k + nQ); ce sont les points auxquels s’ouvrent des gaps. La plupart concordent avec les plans de Bragg du super-réseau, car en première approximation, le minimum de ξ(k) en k = 0 est parfaitement analogue à un paraboloïde de la théorie de Bloch. Toutefois, d’autres points de croisement peuvent apparaître, associés aux autres extrema de ξ(k). Les cercles visibles aux figures16(c) et (d) en sont des exemples; ils sont associé à un minimum local très plat à(±π, 0), le col étant dédoublé pour les paramètres de bande choisis. Bref, la position exacte des nouveaux points de croisement dépend du vecteur Q, mais aussi des paramètres de bande; t, t′, etc. Il est possible de tous les retrouver aux plans de Bragg du super-réseau; c’est le cas aux Fig16(a),16(b) et16(e), mais ce n’est
Figure 17. Densité d’états en champ moyendFF-DW bidirectionnel. À toutes les
valeurs de champ moyentQ, les gaps apparaissent loin du niveau de Fermi (ω = 0). Les paramètres de bandes sont(t′t′) = (−0.3, 0.2), le dopage est fixé à p = 0.12 etω est donné pour t = 250 meV. (a) Cas des vecteurs d’onde Q = (2π1
3, 0) et
Qy= (0, 2π13) qui sépare la dispersion en trois. Les petits rectangles noirs en abscisse dénotent les énergies correspondantes aux remplissages 1
3et
2
3pour le castQ = 0.6. (b) Même chose pour le casQx= (2π3
10, 0) et Qy= (0, 2π 3
10), donnant des résultats très similaires qui montrent que l’incommensurabilité a peu d’impact.
pas le cas en général. Quoi qu’il en soit, ces points de croisement demeurent indépendants du potentiel chimique ou de l’amplitude du champ moyen. Bref, les gaps sont fixés en k.
Malgré la multitude de points de croisements où s’ouvrent des gaps, le système est décrit par une matrice L2
× L2
et il est donc contraint à donner seulement L2
bandes distinctes. De plus, certaines de ces bandes sont équivalentes, car les vecteurs d’onde Qxet Qyont des effets symétriques sur la dispersion originale, cette dernière étant invariante sous changement kx↔ ±ky. La densité d’états ne se séparera donc pas nécessairement en L2.
La figure17montre deux exemples de densité d’états obtenus en champ moyen dFF-DW. Les vecteurs d’onde Q = 2π1
3 et Q = 2π 3
10 produisent des résultats très similaires, ce qui indique que l’incommensurabilité a peu d’importance. Cela indique que les 100 bandes du cas Q= 2π3
10sont configurées de façon similaire aux 9 bandes du cas Q= 2π 1
3. À tQ= 0.6, les gaps du cas Q= 2π1
3sont complets et séparent la densité d’états en trois parties distinctes. De petites barres grises marquent les énergies auxquelles le remplissage serait de 1
3 et 2 3 si on
Figure 18. Densité d’états en champ moyendFF-DW unidirectionnel. Exception à
la règle, pourtQ= 0.6, un gap apparaît au niveau de Fermi (ω = 0). Les paramètres de bande sont(t′t′) = (−0.3, 0.2) et le dopage est fixé à p = 0.12. Un seul vecteur d’ondeQ = (2π1
3, 0) est utilisé.
y mettait le niveau de Fermi. Les gaps complets y tombent précisément, n’y laissant que la densité d’états provenant de l’élargissement dû à η. Pour le cas Q = 2π3
10, les gaps sont un peu à l’écart des remplissages 1
3 et 2
3, conséquence de l’incommensurabilité. La position des gaps complets n’en demeure pas moins fixée, le remplissage au gap est simplement différent.
Le résultat important de la figure17est que tous les gaps de l’ordre dFF-DW apparaissent loin du niveau de Fermi, même à champs moyens élevés.
La figure18montre l’exception à cette règle, pour le cas unidirectionnel, c’est-à-dire avec Qx= (Q, 0) seulement. Un grand gap (∼ 0.5 eV) très asymétrique atteint le niveau de Fermi pour p= 0.12. L’explication est simple. L’ordre unidirectionnel laisse les énergies propres inaltérées en y. Elles ont donc toute la largeur de bande due à la dispersion en y (∼ 4t) pour se chevaucher. Les gaps sont donc partiels même à de très grandes valeurs de champ moyen, ce qui peut les mener très loin des dopages prescrits par le vecteur Q utilisé. Un tel gap n’apparaît au niveau de Fermi qu’en s’étendant d’une énergie plus basse ou plus élevée.