Gaps du champ moyen antiferromagnétique

Le champ moyen antiferromagnétique à Q= (π, π) illustre bien les subtilités du passage à deux dimensions. Le gap antiferromagnétique s’ouvre aux points de croisement des dispersions ξ(k) et ξ(k + Q). Ces points forment la frontière de la zone de Brillouin antifer- romagnétique. Cette dernière correspond au losange blanc visible aux figures15(a),15(d) et

15(g). Comme en une dimension, le gap est fixé à des valeurs de k ; celles qui sont sur cette frontière.

La zone de Brillouin antiferromagnétique sépare l’espace des k en deux volumes égaux. La dispersion originale ξk, illustrée à la figure15(b), se sépare donc en deux bandes E−

k et Ek+,

illustrées aux figures15(e) et (h) pour deux valeurs de M. Chacune contient une moitié des états k, de sorte que lorsque le gap est total, il se retrouve exactement au demi-remplissage (figure15(i)).

Les figures15(d),15(e) et15(f) montrent que, pour des valeurs intermédiaires du champ moyen M, les bandes peuvent se chevaucher en énergie sans se toucher dans l’espace des k. Une telle situation est caractérisée par la présence à la fois de pochettes de trous et de pochettes d’électrons à la surface de Fermi au demi-remplissage; le système est donc métallique. Pour les valeurs de M suffisamment petites, cette coexistence de pochettes de trous et d’électrons persiste à dopage fini, comme illustré pour p = 0.2 à la figure15(d). Pour les plus grandes valeurs de M, lorsque le gap est complet, les pochettes de trous se retrouvent sous le gap et les pochettes d’électrons au-dessus. Cette coexistence est alors impossible et le système devient isolant à demi remplissage.

Lorsque les bandes se chevauchent, on retrouve des gaps partiels dans la densité d’états.1

À la figure15(f), deux gaps incomplets apparaissent de chaque côté du demi-remplissage dans la densité d’états totale (violet). Chacun de ces gaps correspond à la chute de densité d’états associée à l’extrémité d’une des deux bandes. On le voit en séparant la contribution de chaque bande à la densité d’états (en rouge et en bleu). Plus M est grand, moins le domaine de chevauchement est grand, et plus ces gaps se rapprochent du demi-remplissage.

1. Plus spécifiquement, la distinction entre la notion d’un gap «complet» ou «total» et celle d’un gap «partiel» ou «incomplet» est la suivante. Le gap à l’énergieω est complet ou total si aucun état ne se retrouve à cette énergie. L’élargissementη peut faire en sorte que la densité d’états soit non nulle dans un gap total, mais cet élargissement est artificiel. En contrepartie, le gap est partiel ou incomplet lorsqu’une chute de la densité d’états est observée, mais que des états demeurent à l’énergieω.

(g) (d) (a) (b) (e) (h) (i) (f) (c) Gaps partiels Gap complet

Figure 15. Gaps en champ moyen antiferromagnétique (a) Surface de Fermiξ_k= 0 à

p = 0.2 pour la bande de Bloch aux paramètres (t′_,t′′) = (−0.3, 0.2). Le losange blanc dénote la zone de Brillouin réduite antiferromagnétique et la ligne pointillée dénote la surface de Fermiξ_k+Q= 0 des électrons diffusés par le potentiel antiferromagnétique

àQ = (π, π). (b) Dispersion ξ_ktraversée par le niveau de Fermi àp = 0.2. (c) Densité

d’états pourξ_k avec les positions du niveau de Fermi pourp = 0 et p = 0.2. (d) surface de Fermi pour les énergies propresE−= 0 en bleu et E+= 0 en rouge, pour p = 0.2 en champ moyen antiferromagnétique d’amplitude M = 0.7. (e) Bandes antiferromagnétiquesE−_{en bleu et}E+_{en rouge à}M = 0.7, traversées par le niveau de Fermi àp = 0.2. (f) Densité d’états à M = 0.7 pour les bandes E−_{en bleu,}E+_en rouge, leur somme en violet et celle àM = 0 en pointillée pour comparer. La gamme d’énergie où les deux bandes sont superposées conserve la même densité d’états que pourM = 0. Les gaps apparaissent de part et d’autre de cette gamme d’énergie. Les positions du niveau de Fermi pourp = 0 et p = 0.2 sont aussi indiquées. (g), (h) et (i) mêmes que (d), (e) et (f ), mais pourM = 1.5. Un gap complet très étroit apparaît alors précisément àp = 0.

Il s’y rejoignent enfin pour y former le gap complet, à demi-remplissage. On voit ce dernier, très étroit, à la figure15(i).

La valeur de M à laquelle le gap antiferromagnétique devient complet dépend fortement des paramètres de bande. Par exemple, pour(t′, t′′) = (0, 0) on ne trouve jamais de gaps partiels; le gap est toujours complet. En effet, dans ce cas, et dans ce cas seulement, le vecteur Q = (π, π) s’emboîte parfaitement (au sens de nesting) sur toute la surface de Fermi du demi-remplissage.

Les valeurs d’énergies où se trouvent les gaps partiels dépendent aussi des paramètres de bande. À faible M, lorsque ces gaps sont très petits, ils se retrouvent à l’énergie Eд à laquelle le vecteur Q = (π, π) s’emboîte parfaitement (au sens de nesting) dans une portion du contour équiénergie ξ(k) = Eд. L’énergie respectant cette condition dépend de la forme de la dispersion, et donc des paramètres de bande. Le remplissage correspondant, lui, dépend à la fois des paramètres de bande et du champ moyen M. En effet, tant que les deux bandes se chevauchent, les gaps ne se trouvent pas à demi-remplissage, alors que pour M suffisamment grand, ils s’y rejoignent. Les gaps bougent donc en énergie et en remplissage avec l’augmentation de M, et ce mouvement dépend des paramètres de bande.

De plus, ces gaps deviennent très asymétriques en s’agrandissant et ils n’ont pas de point central évident. Leur position est donc difficile à définir par leur simple forme, conséquence du fait qu’ils correspondent à l’extrémité d’une bande chevauchant une autre bande. Bref, du point de vue de leur forme, ils sont très différents d’un gap supraconducteur.

Enfin, il demeure qu’à champ moyen M fixe, la position et la forme des gaps relative au reste de la bande est indépendante du potentiel chimique; les gaps sont à remplissage fixes.