Champ moyen antiferromagnétique

Les sous-structures du gap de type d les plus simples sont causées par un champ moyen antiferromagnétique. La figure19montre comment ces sous-structures apparaissent et on explique ci-dessous comment elles sont causées par le chevauchement des bandes E+et E−.

La figure19(a) reprend la densité d’états en champ moyen antiferromagnétique de la figure15(f). Le champ est légèrement plus fort, M = 1, pour isoler chaque portion du chevauchement. Les cinq positions identifiées dans la figure 19(a) correspondent aux potentiels chimiques utilisés aux figures15(b) à15(f). Lorsque le potentiel chimique est sous la zone de chevauchement (figure15(b)), et qu’on ajoute la supraconductivité de type d, le gap s’ouvre dans la pochette de trous seule. Le gap a alors la forme en «V» caractéristique d’un gap de type d. Lorsque les pochettes d’électrons apparaissent (figure15(c) et15(d)), le gap présente deux paires de pics de cohérence; comme deux gaps en «V» l’un dans l’autre. Le plus petit des deux gaps constitue ce qu’on entend par «sous-structure». Enfin, lorsque la pochette de trous disparaît (figure15(e) et15(f)), la sous-structure disparaît également.

Antiferromagnétisme + supraconductivité Dispersion seule Antiferromagnétisme

Figure 19. Sous-structures du gap supraconducteur de type d en présence

d’antiferromagnétisme (a) Densité d’états pour(t′_,t′′) = (−0.3, 0.2) et µ = 0. La

ligne pâle indique la densité d’états sans champ moyen (M = 0), la ligne foncée est pour un champ moyen antiferromagnétiqueM = 1. Les lignes pointillées indiquent les contributions des bandesE+_etE−_{dans le cas}M = 1. Cinq points sont identi- fiés sur la courbe foncée, correspondant aux potentiels chimiques utilisés pour les autres panneaux. (b-f ) Surfaces de Fermi et densités d’états pourM = 1 en coexis- tence avec un champ moyen supraconducteur de typed avec ∆ = 0.03. Chaque panneau correspond un potentiel chimiqueµ donné : (b) µ = −1.25 tombant sous la zone de chevauchement des bandesE+_etE−_{, (c)}µ = −1.00 au début de la zone de chevauchement, (d)µ = −0.60 au centre, (e) µ = −0.20 à la fin, et (f) µ = 0.05 au-dessus. Dans chaque cas, le champ moyen supraconducteur est de typed avec ∆(k) = ∆

2(cos kx− cos ky). L’abscisse est donnée en énergie en prenant t = 250 meV. Le gap restant ressemble alors davantage à un gap de type s en «U» qu’à un gap de type d en «V». Pourtant, dans chaque cas, le champ moyen supraconducteur est bien de type d.

Un gap supraconducteur ne s’ouvre qu’à la surface de Fermi. Or, puisque le gap de type d est modulé par le facteur de forme cos kx− cos ky, la position en k de la surface de Fermi est particulièrement déterminante pour la taille et la forme du gap dans la densité d’états.

La figure20montre le gap sur la surface de Fermi avec et sans le champ moyen an- tiferromagnétique. Le dopage est choisi afin d’obtenir à la fois des pochettes de trous et d’électrons. Sans champ moyen, on retrouve la forme en «V» habituelle du gap de type d : la portion antinodale de la surface de Fermi, près de (0, π) et (π, 0), où le gap sature,

(a) (b)

Figure 20. Origine des sous-structures de gap. Valeur du gap∣∆

2(cos kx− cos ky)∣, avec ∆= 0.03, aux vecteurs k_Fde la surface de Fermi avec la densité d’états corres- pondante pour : (a) dispersion simple,ξ(k) = 0, et (b) avec champ moyen antifer- romagnétique,E+(k) = 0 et E−(k) = 0 pour M = 1. Les paramètres de bande sont (t′_,t′′) = (−0.3, 0.2) et le potentiel chimique est µ = −0.75. Les pics de cohérence communs aux deux cas viennent de la portion antinodale, près de(0, π) et (π, 0), où la valeur de cosk_x− cos k_ysature. La sous-structure obtenue en champ moyen antiferromagnétique correspond au gap de typed de la pochette de trous seule. produit les fameux pics de cohérence. La portion nodale, elle, près de(π2,

π

2) produit le «V» caractéristique. Avec le champ moyen antiferromagnétique, cependant, la surface de Fermi est divisée. La pochette de trous occupe seule la portion nodale et la pochette d’électrons la portion antinodale. On voit maintenant d’où vient la sous-structure : en se refermant, la pochette de trous produit une nouvelle zone de saturation pour la valeur du gap, et génère ainsi ses propres pics de cohérence, alors que les pochettes d’électrons produisent les pics de cohérence extérieurs. On comprend aussi que, sans la pochette de trous, le gap n’a plus de contribution nodale qui cause la forme en «V», ce qui explique pourquoi le gap de la figure19(f) est en «U» plutôt qu’en «V».

Malheureusement, cette explication des sous-structures de gap en champ moyen antifer- romagnétique est limitée. Premièrement, elle suppose que la surface de Fermi reste intacte à l’ouverture du gap supraconducteur, alors qu’en réalité, ce dernier peut déformer les valeurs propres de l’onde de densité. Une simple analyse de la surface de Fermi avant l’ouverture du gap est alors trompeuse pour déterminer la densité d’état. En conséquence, bien que les calculs de densité d’états présentés ici soient valides pour toutes valeurs de M et D, l’analyse de la figure20n’est valide que pour ∆≪ M. Pour analyser la densité d’états du cas limite op- posé, c’est-à-dire avec M≪ ∆, mieux vaudrait considérer la reconstruction par Q = (π, π) des bandes supraconductrices E(k) =√ξ(k)2+ ∆2plutôt que l’ouverture d’un grand gap supraconducteur sur une surface de Fermi marginalement reconstruite. Deuxièmement, pour une valeur de Q générale, il peut y avoir ambiguïté sur la valeur du gap de type d à utiliser pour produire une figure comme la figure20(b). Dans le cas antiferromagnétique, il n’y a pas d’ambiguïté car la valeur du gap ∆

2(cos kx− cos ky), est la même pour k et k + Q. En général, toutefois, les énergies propres d’une onde de densité sont définies dans une

zone de Brillouin réduite beaucoup plus petite, et la valeur de ∆

2(cos kx− cos ky) n’est pas la même pour k et k+ Q. Difficile, alors, de produire une image comme la figure20car une même portion de la surface de Fermi dans la zone de Brillouin réduite serait associée à plusieurs valeurs de gap dans la zone de Brillouin originale. La solution à ce problème est probablement de considérer la distribution du poids spectral dans la zone de Brillouin originale, mais cette idée n’a pas été explorée suffisamment pour conclure. On gardera sim- plement en tête que la surface de Fermi est révélatrice, mais insuffisante pour comprendre toutes les sous-structures du gap de type d en présence d’ondes de densité.