Dans cette section, nous passons à décrire les instances utilisées dans la partie expérimentale de la thèse. Nous avons construit un générateur de données capable de simuler les problèmes rencontrés par les gestionnaires d’entreprises. Nous considérons un jeu de données formé par 48 instances qui diffèrent par leur degré de complexité. L’objectif est de questionner les performances et les limitations de nos approches de résolution.
2.3.1 Description des instances
Dans ce qui suit, nous décrivons la structure de données formant une instance. Chaque ins- tance est constituée d’un ensemble de départements D, un ensemble de cycles S, un en- semble d’employés E, et un ensemble de types de quart T .
Chaque département d ∈ D est caractérisé par : — un ensemble d’employés internes (Ed),
— un coût d’une heure de sous-couverture (4 c−d) (rappelons que le coût c−d est défini par période de 15 minutes, il en est de même pour le reste des coûts),
— un coût d’une heure de surcouverture (4 c+d),
— et une courbe de demande qui spécifie, pour chaque période de l’horizon de planifica- tion i ∈ I, le nombre d’employés requis (rd,i).
Chaque cycle (ou encore séquence de travail) c ∈ C est caractérisé par un ensemble de jours de travail et de jours de repos durant l’horizon de planification.
Chaque employé e ∈ E est caractérisé par :
— un cycle qui lui est assigné et qui détermine ses jours de travail (Je),
— son département d’origine (de),
— un ensemble de départements d’accueil (De),
— un coût de rémunération horaire (4 cl e),
— et un coût qui mesure la pénalité d’une heure transférée vers chaque département d’ac- cueil d ∈ De(4 cte,d).
Chaque type de quart t ∈ T est caractérisé par : — un ensemble d’heures de début possibles (St)
— et un ensemble de durées possibles (Lt).
2.3.2 Procédure de génération des instances
Pour toutes les instances générées, nous avons considéré un horizon de planification d’une semaine. Il est discrétisé en 672 périodes de durées égales à 15 minutes. La durée de repos minimale séparant deux quarts travaillés durant deux jours consécutifs est égale à Smin =
14h. Les cycles déjà assignés aux employés sont obtenus en attribuant deux jours de repos consécutifs durant la semaine. Nous avons fixé la charge horaire hebdomadaire maximale à Lmax=40h pour chaque employé (en moyenne huit heures par jour). Chaque employé doit
passer au minimum Tmin=70% de son horaire dans son département d’origine. Un bloc de
travail (interne ou externe) ne peut pas durer moins qu’une heure (Bmin= 1h).
Pour tous les départements de l’organisation, le coût unitaire par heure de sous-couverture est égal à 20$ et celui de surcouverture est égal à 10$. Le taux de rémunération horaire est égal à 15$ pour tous les employés. Les coûts de transfert sont générés comme suit. Nous supposons que chaque employé possédant n départements d’accueil est amené à ordonner l’ensemble de ses départements selon un ordre croissant de ses préférences. Le département d’accueil qui est le plus préférable pour l’employé coûte 1$, le 2èmecoûte 2$ et ainsi de suite
jusqu’au nèmequi coûte n$ par heure de transfert.
Les instances générées considèrent un seul type de quart dont les durées admissibles sont entre 7h et 9h inclusivement. L’ensemble des débuts admissibles permet au planificateur de construire des quarts de jour, de soir et de nuit comme suit :
— les quarts de jour débutent aux 15 minutes entre 8h00 et 12h00, — les quarts de soir débutent aux 15 minutes entre 16h00 et 20h00, — et les quarts de nuit débutent aux 15 minutes entre 0h00 et 4h00.
Nous avons généré 12 classes d’instances. Chaque classe correspond à une organisation qui est caractérisée par un ensemble de départements et un ensemble d’employés. Ce choix de classification est expliqué par le fait que la taille de l’organisation est déterminante de la complexité du problème. Chaque classe sera notée selon le nombre de départements et le nombre d’employés. Par exemple, la classe D20E600 contient 20 départements et 600 em- ployés. Le Tableau2.1donne le nombre total de quarts internes |Qint| et externes |Qext| pour
chaque classe d’instances.
Les qualifications des employés pour les départements sont générées aléatoirement selon une distribution normale dont la moyenne et l’écart type sont indiqués dans le Tableau2.1.
Donc, si ne
Quareprésente le nombre de qualifications de l’employé e, on note :
µQua = P e∈Enequa |D||E| σQua = 1 |D| s P
e∈E(nequa− µqua)2
|E|
Prenons l’exemple de l’organisation D20E800. Chaque employé est qualifié en moyenne pour travailler dans 6.76 départements (soit 34%). Ce nombre varie entre 1 (aucun département d’accueil) et 19 (18 départements d’accueil). L’écart type de ce nombre de qualifications est égal à 3.65 départements (18 %). Nous avons choisi des environnements de travail pour lesquels chaque employé est qualifié en moyenne pour 38% des départements avec un écart type moyen de 18%. Ces paramètres peuvent être ajustés dans le générateur permettant ainsi une analyse de sensibilité si le décideur souhaite estimer le gain perçu en augmentant le nombre de qualifications de ses employés.
Classe # Qualifications # Quarts
µQua(%) σQua(%) |Qint| |Qext|
D2E20 62.50 21.65 43,692 549,635 D3E20 45.00 15.90 43,692 776,607 D5E20 35.00 15.33 43,692 1,663,141 D5E50 35.60 20.12 109,230 4,315,625 D5E70 34.86 15.38 153,060 5,815,856 D5E200 34.60 15.19 437,196 16,255,764 D10E200 35.25 17.03 437,196 56,296,115 D10E300 33.23 17.74 655,794 77,587,167 D10E400 35.23 19.34 874,392 112,517,893 D20E600 34.61 19.04 1,311,588 395,667,119 D20E800 33.82 18.25 1,748,784 513,656,851 D20E1000 34.13 18.94 2,185,980 648,826,824
Tableau 2.1 – Complexité du jeu de données
Pour toutes les organisations, la répartition des cycles sur les employés favorise l’utilisa- tion des séquences ayant des samedis et des dimanches travaillés. Prenons l’exemple des séquences s1 et s6 dont les deux jours consécutifs de repos sont lundi et mardi pour s1 et
samedi et dimanche pour s6. Ces séquences correspondent respectivement aux proportions
moyennes de 21% et 5% du total des cycles assignés aux employés. La moyenne est calculée sur l’ensemble de toutes les organisations (avec un écart type proche de 0% dans les deux cas). Ceci est pour générer des courbes de demande simulant des environnements pour les- quels la demande est importante à la fin de la semaine (magasins de détail, centres d’appel, restaurants, etc).
Pour chaque organisation, nous avons généré quatre profils de demande. Chaque profil est caractérisé par un degré de variabilité de la demande. Les profils sont triés de 1 à 4 selon un ordre croissant de cette variabilité. La demande associée au i + 1èmeprofil présente plus de
variabilité que la demande associée au ièmeprofil. Plus précisément, nous proposons une pro-
cédure qui permet de générer des courbes de demande respectant les propriétés suivantes : le 1erprofil est caractérisé par une variabilité moyenne à toutes les 8 heures, le 2èmeà toutes
les 4 heures, le 3èmeà toutes les 2 heures et le 4èmeà toutes les heures. Dans ce qui suit, nous
décrivons la procédure d’obtention de ces profils de demande.
Nous commençons par diviser chaque jour de l’horizon en un nombre de parties de durées égales. Nous divisons la journée en 3, 6, 12 et 24 parties pour les profils 1, 2, 3 et 4 respec- tivement. Pour chaque partie de la journée p, pour chaque département d, nous générons un pourcentage moyen µd,p et un écart type σd,p pour répartir les employés internes sur
les parties de la journée dans leur département d’origine. Nous avons adopté des courbes de demande qui suivent une saisonnalité horaire durant les différents jours de l’horizon. En d’autres termes, pour un département donné, les hausses de demande se répètent plus ou moins durant les mêmes périodes de la journée. Par exemple dans la restauration, si le département « réception de la marchandise » est sollicité plus en début de journée, le dé- partement « nettoyage » est sollicité plus en fin de journée. Pour chaque jour de l’horizon j, pour chaque partie de la journée p, pour chaque département d, nous générons un nombre aléatoire rd,p,j entre 0 et 1 et nous utilisons la loi normale inverse de moyenne µd,pet d’écart
type σd,p pour déduire le pourcentage d’employés travaillant durant cette partie p du jour j
dans leur département d’origine d.
Pour chaque profil, nous considérons des quarts qui commencent à tous les débuts des par- ties de journée perturbés de plus ou moins 15 minutes et qui durent exactement 8 heures. Nous résolvons un modèle d’affectation qui associe à chaque employé un et un seul quart sous les contraintes d’admissibilité des horaires et les contraintes des pourcentages générés. Nous relaxons les contraintes de pourcentage en admettant certains écarts et en pénalisant ces écarts dans la fonction objectif. Les coûts des quarts sont générés aléatoirement. Nous déduisons les courbes de demande correspondantes. Finalement, nous avons créé des per- turbations aléatoires pour former artificiellement des hausses dans certains départements et des baisses dans d’autres. Il est à noter que pour éviter de biaiser les expérimentations, nous avons perturbé légèrement les courbes calculées permettant ainsi de rendre les instances difficiles à résoudre.
La Figure2.2illustre les courbes de demande de deux départements d’une instance donnée. Nous remarquons que les baisses de demande dans l’un des départements sont parfois ac- compagnées par des hausses de demande dans l’autre, tel est le cas de la fin du dimanche (dernier jour de l’horizon).
j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 20 40 60 Périodes Nombr e d’employés d d0
Figure 2.2 – Courbes de demande de deux départements de l’instance D20E1000P3
j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7
20 40
60 Profil P1 Profil P2 Profil P3 Profil P4
Figure 2.3 – Profils de demande d’un département
La Figure 2.3 illustre les courbes de demande d’un département selon les 4 profils. Nous remarquons que la variabilité de la demande augmente avec le profil.
Nous obtenons ainsi 48 instances distinctes tel qu’illustré par la Figure2.4. L’instance D20E1000P3 correspond par exemple à l’organisation de 20 départements et 1000 employés et ayant une demande qui suit le profil P3.
Dans toute la suite, nous nous basons sur le jeu de données, ainsi généré, dans notre analyse expérimentale des approches de résolution qui seront proposées.
Jeu de données : 12 organisations et 4 profils de demande par organisation Organisation D2E20
Instance D2E20P1 (P1 : variabilité moyenne à toutes les 8h) Instance D2E20P2 (P2 : variabilité moyenne à toutes les 4h) Instance D2E20P3 (P3 : variabilité moyenne à toutes les 2h) Instance D2E20P4 (P4 : variabilité moyenne à toutes les 1h) Organisation D3E20 Organisation D5E20 Organisation D5E50 Organisation D5E70 Organisation D5E200 Organisation D10E200 Organisation D10E300 Organisation D10E400 Organisation D20E600 Organisation D20E800 Organisation D20E1000
Chapitre 3
Revue de la littérature
Le domaine de la construction d’horaires a suscité l’intérêt de la communauté scientifique. Plusieurs travaux ont été élaborés et ont couvert de multiples applications réelles. La revue de la littérature deVan den Bergh et collab.(2013) est à notre connaissance la plus récente dans le domaine. Les auteurs classent les problèmes de construction d’horaires selon les quatre axes suivants : (1) la nature du problème, (2) les contraintes et les mesures de per- formance, (3) les méthodes de résolution et l’incorporation de l’incertitude et (4) le domaine d’application et la portée pratique des travaux.
La nature du problème inclut trois critères de classification : les caractéristiques du person- nel, le type de décision traité et la flexibilité des quarts. Les auteurs soulignent que les cher- cheurs considèrent une main d’œuvre souvent à temps complet, parfois à temps partiel et rarement par intérim. Les auteurs identifient aussi les travaux considérant les qualifications des employés. De plus, la demande en effectifs peut être exprimée en nombre d’employés individuels ou par équipe selon le secteur. La demande est spécifiée par équipe notamment dans le domaine du transport. La composition de l’équipage d’un avion par exemple doit être conforme à des spécifications réglementées par le secteur. Les auteurs classent les tra- vaux selon le type de décision considéré comme la construction des cycles de travail, l’affec- tation des activités et l’affectation de certaines ressources matérielles. La flexibilité portant sur la définition des quarts de travail tient compte du chevauchement entre jours et des dé- buts et durées de travail.
Les contraintes et les mesures de performance concernent la partie conceptuelle du pro- blème. Certains travaux considèrent des contraintes de demande dures alors que d’autres relaxent ces contraintes en pénalisant les variables d’écart correspondantes dans la fonction objectif. Les auteurs proposent une classification précise en divisant les travaux en quatre catégories selon que la sous-couverture soit permise ou non et que la surcouverture soit per- mise ou non. Un autre critère concerne les qualifications des employés. Alors que la majorité des travaux considèrent les qualifications des employés comme étant un intrant fixe du pro-
blème, certains remettent en question ces qualifications moyennant des coûts relatifs à la formation du personnel ou à la baisse de productivité. Plus encore, certains travaux consi- dèrent les qualifications comme une décision prise par le modèle (un extrant du problème). Les auteurs identifient également les travaux qui considèrent le placement des pauses et soulignent le fait que la littérature récente néglige de plus en plus cet aspect. Un autre cri- tère très important pour les décideurs est la structure de la fonction économique. Outre la masse salariale, d’autres coûts peuvent être considérés comme les indemnisations des jours de fin de semaine travaillés, les bonus pour les employés les plus qualifiés, les pénalités des temps improductifs, etc. Les auteurs définissent aussi les contraintes d’équilibrage (balan- cing constraints) comme étant l’ensemble des contraintes servant à assurer l’équité entre les employés. On peut citer par exemple la répartition de la charge horaire travaillée et la répar- tition des fins de semaine travaillées sur l’ensemble des employés de l’organisation. Il existe des travaux qui introduisent des contraintes pour satisfaire équitablement les préférences des employés. Le dernier critère concerne les règles de la convention collective et la dis- ponibilité des ressources matérielles. Les articles sont classés selon les spécificités relatives aux contraintes d’admissibilité des horaires tel que le nombre minimal de jours de repos par semaine, le nombre maximal d’heures travaillées par semaine, le nombre de machines disponibles, etc.
Pour les méthodes de résolution les plus populaires, on trouve la décomposition de Benders et la génération de colonnes lorsque le problème est formulé en un programme en nombres entiers, la programmation par contraintes, la simulation, les files d’attente, etc. L’incorpora- tion de l’incertitude implique trois types : l’incertitude de la demande, de l’occurrence de la demande et de la capacité. Prenons comme exemple un centre d’appel. La variation aléatoire du temps requis pour servir un client constitue l’incertitude de la demande. La variation de l’instant de réception des appels constitue l’incertitude de l’occurrence de la demande. Fi- nalement, la disponibilité des employés n’est pas garantie à cause des absentéismes et des retards. Dans ce cas, on parle d’incertitude de capacité.
Les auteurs divisent les travaux selon le domaine d’application en 6 classes : le secteur des services (incluant la santé, les centres d’appel, etc), le secteur du transport (aérien, ferro- viaire, routier, etc), général (restaurants, supermarchés, festivals, parkings, etc), le secteur industriel, le secteur de la distribution (magasins de détail) et le secteur militaire. La portée pratique des travaux examine l’utilisation de données théoriques ou pratiques dans l’étude expérimentale. De plus, en cas de données pratiques, les auteurs vérifient si l’approche pro- posée est implémentée dans l’organisation qui a fourni ces données.
Van den Bergh et collab.(2013) affirment que la communauté scientifique doit s’orienter vers les axes de recherche suivants :
— l’intégration des niveaux décisionnels relatifs à la prévision de demande, l’embauche et le licenciement, l’affectation des employés aux machines, la disponibilité des res-
sources utilisées par le personnel et le transfert entre différentes localisations,
— la prise en considération de variantes plus réalistes du problème à savoir le placement de pauses, les qualifications des employés, la main d’œuvre à temps partiel et par in- térim, les préférences des employés, etc,
— l’introduction de travaux théoriques pour l’étude de la complexité du problème en fonction de l’utilisation de contraintes dures et souples dans les modèles utilisés, — la prise en compte de l’incertitude nécessitant l’utilisation de la programmation sto-
chastique, l’analyse de la robustesse des calendriers obtenus dans un contexte déter- ministe le cas échéant en perturbant les intrants du problème, la reconstruction des horaires en se basant sur de nouvelles informations plus précises sur la demande ou la disponibilité des ressources humaines et matérielles (rescheduling),
— l’adéquation des travaux basés sur des données réelles avec l’infrastructure informa- tique des organisations afin de permettre leur implémentation pratique,
— et la comparaison avec les travaux existants dans la littérature pour évaluer la perfor- mance des approches proposées.
Ernst et collab. (2004b,a) proposent une revue plus ancienne de la littérature portant sur les problèmes de construction d’horaires. Les auteurs décomposent le problème global en trois niveaux décisionnels principaux : la modélisation de la demande, la construction des horaires anonymes et l’affectation des horaires aux employés. La construction des horaires anonymes inclut à son tour 3 niveaux élémentaires : la construction de cycles anonymes, la construction de quarts anonymes et l’affectation des quarts aux cycles. Lorsque le travail est décomposé en différents types, un niveau décisionnel s’ajoute qui est l’affectation des activi- tés. La résolution directe du problème global n’est pas possible à cause de sa difficulté élevée. La résolution se fait donc en décomposant le problème global en différents sous-problèmes. Chaque sous-problème traite une combinaison des niveaux décisionnels identifiés précé- demment. Ce processus décisionnel débute ainsi par la modélisation de la demande et se termine par la construction d’un horaire personnalisé pour chaque employé de l’organisa- tion.
Dans le présent chapitre, nous proposons une nouvelle classification qui peut être perçue comme une généralisation du travail d’Ernst et collab.(2004b) à un contexte plus large qui est le contexte multidépartement introduit dans la Section 2.1 du chapitre précédent. Un nouveau niveau décisionnel s’ajoute qui correspond à l’affectation des départements aux périodes travaillées. Dans le reste du chapitre, on considère les acronymes suivants :
— Contexte multiactivité (MA pour dire Multiple Activities) : le travail dans l’organisation est composé de plusieurs activités. Une activité correspond à une unité élémentaire de travail qui consomme des ressources en effectifs et du temps. Prenons l’exemple d’un magasin de détail du prêt-à-porter. Parmi les activités qui peuvent être exécutées par les employés, on peut citer les actions suivantes : « accueillir les clients et leur annoncer
les promotions », « s’occuper de la caisse », « s’occuper des réclamations et des retours » et « réapprovisionner les rayons ».
— Contexte monoactivité (SA pour dire Single Activity) : le travail est composé d’une seule activité. On peut citer l’exemple des cabines de péage dans les autoroutes. La seule acti- vité qu’il faut assurer est de recevoir le paiement des conducteurs. De plus, le contexte monoactivité peut être utilisé pour résoudre le problème de construction d’horaires dans un contexte multiactivité. En effet, le problème dans un contexte multiactivité peut être séparé en deux étapes. La première étape agrège la demande de toutes les ac- tivités et ramène le problème au contexte monoactivité. La deuxième étape correspond à l’affectation des activités aux périodes travaillées.
— Contexte multidépartement (MD pour dire Multiple Departments) : l’organisation du travail dans les grandes organisations requiert une division en différents départements. Un département constitue une section ou une unité de travail plus ou moins indépen- dante du reste de l’organisation. Reprenons l’exemple du magasin de détail. Imagi- nons que ce magasin peut vendre, en plus du prêt-à-porter, de l’électroménager et de l’agroalimentaire. Dans ce cas, il est divisé en différentes sections : « vêtements pour femmes », « vêtements pour hommes », « électroménagers », « agroalimentaire », « en- trepôt », « point de cueillette » et « facturation ». Dans le département « électroména- gers », les employés peuvent exécuter les activités suivantes : « recevoir les clients et les guider dans leur recherche », « traiter les réclamations et les problèmes techniques » et « réapprovisionner les rayons ». Dans ce cas, on dit que le département « électromé- nagers » est multiactivité. Si nous prenons l’exemple du département « facturation », la seule activité exécutée correspond à « s’occuper de la caisse ». Dans ce cas, le départe- ment « facturation » est dit monoactivité.
— Contexte monodépartement (SD pour dire Single Department) : l’intégralité du travail de l’organisation est rassemblée dans un seul département. Reprenons l’exemple du magasin du prêt-à-porter et supposons que ce magasin est petit. Il peut donc être géré sans le décomposer en sections. Le contexte monodépartement peut être exploité aussi pour résoudre le problème de construction d’horaires dans un contexte multidépar- tement. En effet, le problème dans un contexte multidépartement peut être séparé en 2 étapes. La première étape agrège la demande de tous les départements et ramène le