différents départements de l’entreprise comme des entités indépendantes. La construction des horaires de travail dans un tel contexte consiste à traiter le problème séparément pour chaque département. Dans ce qui suit, nous étudions les travaux qui traitent le problème de construction des horaires de travail dans un département donné, c’est à dire dans un contexte monodépartement. Ces travaux sont divisés en deux classes distinctes selon que le département soit monoactivité ou multiactivité : SDSA et SDMA.
3.2.1 Contexte monodépartement et monoactivité
Les premiers travaux de construction des horaires de travail s’adressent au contexte mono- département et monoactivité. La communauté scientifique s’est orientée plus tard vers les autres classes permettant de capter des aspects plus réalistes du problème de construction des horaires. Par conséquent, l’ensemble des travaux appartenant aux classes SDMA, MDSA et MDMA sont imprégnés des approches de modélisation et de résolution initialement pro- posées pour la classe SDSA. Pour cette classe, nous distinguons principalement trois types de problèmes : la construction des cycles, la construction des quarts et la construction simul- tanée des cycles et des quarts.
Construction des cycles
La construction des cycles anonymes consiste à spécifier une séquence de jours de travail et de repos durant un horizon de planification généralement de quelques semaines. Lorsque cette construction se fait simultanément en spécifiant les employés recevant les cycles, il s’agit d’une construction de cycles personnalisés.
Baker et Magazine(1977) examinent un problème de construction de cycles anonymes dans
un environnement de travail continu (sept jours de travail par semaine) et cyclique. La de- mande est déterminée par deux paramètres N et n avec N le nombre d’employés minimal requis durant les jours de semaine et n le nombre d’employés minimal requis durant les
jours de fin de semaine. La taille de la main d’œuvre minimale est d’abord calculée à partir d’une formule spécifique selon la stratégie de gestion du personnel. Ensuite, un algorithme constructif permet de spécifier les cycles.
Dans un cadre similaire, Narasimhan(1997) applique la même approche de résolution qui calcule la taille de la main d’œuvre minimale puis construit les cycles. Ces cycles doivent vérifier les deux réglementations suivantes : 1) chaque employé doit recevoir deux jours de repos par semaine contenant au moins une proportion A sur B de fin de semaines non travaillées et 2) chaque employé peut recevoir au plus cinq jours de travail consécutifs.
Alfares(1998) considère le problème de construction de cycles anonymes dans un environ-
nement cyclique où deux jours de repos par semaine doivent être placés. L’auteur résout le problème en deux étapes. La main-d’œuvre minimale requise est d’abord calculée. Ensuite, un modèle linéaire continu est résolu fournissant une solution optimale entière.
Alfares(2003) traite un problème de construction de cycles anonymes en appliquant le concept de la semaine de travail comprimée. Il définit ainsi un problème de construction de semaine de travail flexible comprimée. L’auteur propose de nouveaux modèles en nombres entiers. Il définit une procédure de résolution à deux étapes. La première étape sert à calculer le nombre minimal d’employés requis. La deuxième étape consiste à résoudre une version mo- difiée des modèles. Cette version est obtenue en incorporant une contrainte additionnelle sur la taille de la main d’œuvre calculée lors de la première étape. L’auteur montre à partir de 202 instances que la procédure de résolution à deux étapes nécessite en moyenne un temps de calcul neuf fois moins élevé que la résolution directe des modèles.
Plus tard, Elshafei et Alfares (2008) utilisent la programmation dynamique pour résoudre le problème de construction de cycles anonymes. Les jours de l’horizon sont modélisés par les étapes et les cycles admissibles sont modélisés par les états. L’objectif est de minimiser le coût total de la main d’œuvre. La contribution principale de ce travail réside dans la défini- tion du coût qui dépend de la séquence de jours de travail et de repos. Par exemple, le coût d’affecter un jour de fin de semaine travaillé à un cycle diffère selon que ça soit le premier ou le deuxième jour de fin de semaine travaillé. Cette structure de coût peut être modélisée par l’approche explicite comme un problème en nombres entiers alors que l’approche implicite ne permet pas de modéliser de telles structures. Les auteurs affirment que la programmation dynamique se prête bien avec ce type de problème. Elle permet de construire le cycle de tra- vail jour par jour en pénalisant le travail durant les jours de fin de semaine selon la séquence partielle déjà construite.
Plus tard, Costa et collab. (2006) traitent le problème de construction de cycles personna- lisés. L’environnement de travail est acyclique. La demande fluctue d’un jour à l’autre. La taille de la main d’œuvre est connue et le nombre de jours travaillés est assigné a priori à chaque employé. Les auteurs proposent des algorithmes polynomiaux pour la résolution du
problème.
Construction des quarts
La construction des quarts anonymes consiste à spécifier le début et la durée de travail du- rant une journée d’opération, et possiblement le placement d’une ou de plusieurs pauses. Lorsque cette construction se fait simultanément en spécifiant les employés recevant les quarts, il s’agit d’une construction de quarts personnalisés.
L’ensemble des travaux de construction de quarts anonymes implique deux approches de modélisation différentes : explicite et implicite. L’approche explicite se base sur une formu- lation de couverture généralisée (Generalized set covering). C’est Dantzig (1954) qui était le premier à introduire cette formulation pour la construction de quarts anonymes. L’auteur énumère tous les quarts admissibles qui respectent les règlementations. Il associe une va- riable de décision à chaque quart admissible. Cette variable représente le nombre d’employés recevant le quart. L’objectif est de minimiser le nombre total d’employés sous les contraintes de demande.Dantzig(1954) a appliqué ce modèle pour la construction de quarts anonymes à des employés dans des cabines de péage. La résolution de la relaxation linéaire produit généralement des solutions entières. Dans le cas contraire, une heuristique est utilisée pour arrondir les valeurs fractionnaires à l’entier le plus proche. La solution ainsi obtenue n’est pas forcément réalisable.
La formulation de type couverture généralisée a été utilisée par plusieurs chercheurs, d’où l’émergence d’une approche de modélisation dite explicite. Comme son nom l’indique, cette approche énumère l’ensemble de tous les horaires admissibles et associe une variable de décision explicite à chaque horaire. Supposons que l’approche est utilisée pour formuler un problème de construction de quarts anonymes. Supposons de plus que l’organisation utilise plusieurs heures de début, plusieurs durées et plusieurs placements de pause. Une variable de décision doit être définie pour chaque possibilité de choisir une heure de début, une durée et un placement de pause admissible. Il est clair donc que l’approche implique un nombre élevé de variables de décision qui augmente dramatiquement avec la flexibilité. Par conséquent, bien que cette approche ait la vocation de pouvoir modéliser toutes les formes de flexibilité, elle engendre des modèles de grande taille difficiles à résoudre. L’aspect de résolution du problème représente dans ce cas le défi à soulever en proposant des approches exactes ou heuristiques identifiant de bonnes solutions dans des temps raisonnables.
Une autre manière pour outrepasser la difficulté inhérente à la taille des formulations ex- plicites est de modéliser certaines formes de flexibilité d’une manière implicite. L’approche implicite offre une alternative plus viable lorsqu’elle est capable de modéliser les formes de flexibilité qui se présentent.Bechtold et Jacobs(1990) sont les premiers à introduire un mo- dèle implicite intéressant par rapport au modèle de couverture généralisée pour la construc-
tion de quarts anonymes avec placement de pauses. Au lieu d’énumérer des quarts, les au- teurs énumèrent des types de quart. Un type de quart est défini par son début, sa durée et une fenêtre de temps (break window) durant laquelle la pause peut être attribuée. Au lieu d’énumérer toutes les possibilités de placement de pauses, les auteurs considèrent deux types de variables : les variables de types de quart et les variables de pauses. Ils intro- duisent aussi des contraintes qui lient les variables de pauses aux variables de types de quart. Ces contraintes de type « farward » et « backward » permettent de lier les pauses aux types de quart qui lui sont admissibles. Une pause est admissible pour un type de quart si elle appartient à la fenêtre de pause de ce type de quart. Des contraintes additionnelles éga- lisent le nombre de types de quart et le nombre de pauses sélectionnés dans la solution opti- male. La reconstitution de quarts explicites se fait par une simple affectation a posteriori des pauses sélectionnées aux types de quarts sélectionnés qui lui sont admissibles. Le modèle de
Bechtold et Jacobs(1990) pour le placement implicite de pauses suppose l’absence d’extra-
chevauchement (extraordinary overlap). Les auteurs définissent un extra-chevauchement par le fait que l’intervalle de pauses d’un type de quart donné soit strictement inclus dans l’in- tervalle de pauses d’un autre type de quart. La résolution du problème se fait par une pro- cédure de séparation et d’évaluation progressive avec plans de coupes. Bechtold et Jacobs
(1996) démontrent l’équivalence entre leur modèle implicite et le modèle explicite de cou- verture généralisée sous l’hypothèse de contiguïté des intervalles de pauses et d’absence d’extra-chevauchement. Tous ces concepts seront détaillés dans le Chapitre4.
L’hypothèse restrictive de non extra-chevauchement a été relaxée plus tard par Addou et
Soumis(2007). Les auteurs démontrent que, même en présence d’extra-chevauchement, l’ajout
d’un ensemble restreint de contraintes au modèle de Bechtold et Jacobs (1990) rend la for- mulation implicite applicable. Il s’agit d’ajouter uniquement une seule contrainte par extra- chevauchement présent. Plus encore, ils démontrent qu’en absence d’extra-chevauchement, aucune des contraintes farward et backward n’est redondante. Par contre, en présence d’extra- chevauchement et suite à l’ajout des contraintes de Addou et Soumis(2007), certaines des contraintes farward et backward deviennent redondantes. Les auteurs proposent alors un ensemble restreint de contraintes spécifiques puis démontrent que la réduction proposée débouche en un ensemble minimal de contraintes.
D’autres travaux considèrent un problème plus flexible pour la construction des quarts ano- nymes avec placement de pauses multiples. Rekik et collab.(2010) utilisent le concept de contraintes forward et backward pour modéliser deux formes de flexibilité : les pauses dé- composables et les restrictions sur la durée de travail consécutif. Les quarts ainsi obtenus sont caractérisés par une bonne distribution des périodes travaillées et de pause. Les auteurs soulignent que le concept des pauses décomposables qu’ils introduisent permet un gain en nombre d’employés de 6% pour des profils réels de demande. Pour des profils légèrement perturbés, le gain atteint 8.7%.
Quoique l’approche implicite soit plus difficile que l’approche explicite de point de vue mo- délisation, son avantage majeur consiste à une réduction significative de la taille des mo- dèles. Ceci permet alors d’utiliser des méthodes de résolution exactes plutôt que des heu- ristiques. Néanmoins, certains environnements de travail sont très complexes. Même pour les problèmes de construction de quarts anonymes, la résolution exacte demeure difficile et requiert l’emploi de techniques adaptées.Rekik et collab.(2008) considèrent un environne- ment continu hautement flexible et proposent deux méthodes différentes pour résoudre un problème de construction de quarts anonymes avec pauses multiples. La continuité de l’en- vironnement requiert la résolution du problème sur plusieurs jours. La première méthode proposée est exacte. C’est une généralisation du concept de branchement local proposé par
Fischetti et Lodi(2003). Le concept de branchement local utilise des coupes (local branching cuts) permettant d’explorer en priorité un sous-arbre de branchement potentiellement pro- metteur. La deuxième méthode est basée sur une heuristique d’horizon roulant adaptée à un environnement d’opération continu. Les tests expérimentaux faits sur des instances réelles fournies par une agence de contrôleurs aériens permettent de conclure que le branchement local proposé domine souvent le Branch-and-Bound de CPLEX. L’heuristique d’horizon rou- lant est la moins performante pour les instances plus ou moins faciles. Pour les instances plus difficiles, CPLEX et la méthode de branchement local ne peuvent pas identifier une solution entière. Dans ce cas, l’heuristique d’horizon roulant devient pertinente du moment qu’elle permet de fournir de bonnes solutions en un temps raisonnable.
Notons que la difficulté de représenter implicitement certaines données du problème fait en sorte que l’approche explicite reste pertinente et plus capable de couvrir un ensemble plus large d’applications.
Construction simultanée des cycles et des quarts
La séparation entre la construction des quarts et la construction des cycles a pour objectif principal de simplifier le problème global. Néanmoins, cette séparation altère la qualité des horaires obtenus. Les chercheurs ont donc essayé d’intégrer les deux problèmes et de les trai- ter en un seul problème de construction simultanée de cycles et de quarts. La définition de l’horaire devient à la fois une spécification des jours travaillés et de repos généralement du- rant une semaine et des périodes travaillées et de pause durant chaque jour de travail. Cette intégration devient très pertinente lorsqu’il s’agit d’environnements d’opération continus utilisant des quarts chevauchant entre les jours consécutifs.
La majorité des travaux récents dans un contexte SDSA s’adresse à la construction simulta- née des cycles et des quarts et hérite les propriétés du problème de construction des quarts et du problème de construction des cycles. La majorité des travaux rencontrés emploient une approche de modélisation implicite (Topaloglu et Ozkarahan,2003;Bard et collab.,2003;Re- kik et collab.,2004;Brusco et Johns,2011). Ces travaux diffèrent notamment par les formula-
tions implicites utilisées. Dans un cadre plus général, certains travaux récents emploient des approches hybrides qui combinent l’approche explicite et implicite dans le même modèle (Ni et Abeledo,2007). Dans ce qui suit, nous détaillons ces travaux.
Une pratique courante dans les problèmes de construction simultanée de cycles et de quarts consiste à limiter la flexibilité afin de réduire la complexité du problème. Nous citons par exemple la détermination des heures de début des quarts formant un même cycle. Un pro- blème soulevé dans la littérature s’intéresse à la sélection appropriée de ces heures de début. Les travaux effectués pour la sélection de ces heures de début sont généralement de nature séquentielle. D’abord, un sous-ensemble restreint d’heures de début est retenu. Ensuite, les cycles sont construits en se basant uniquement sur le sous-ensemble identifié à l’étape pré- cédente.
Rekik et collab. (2004) proposent des modèles implicites pour le problème de construc-
tion simultanée de cycles et de quarts anonymes avec pauses et bandes d’heures de dé- but. Les auteurs adaptent le concept de contraintes forward et backward à une large pano- plie d’environnements d’opération. Ils proposent une étude approfondie de l’origine de ces contraintes et des conditions nécessaires à leur application. Les auteurs prouvent que sous les hypothèses d’absence d’extra-chevauchement et de contiguïté des fenêtres de pauses, les contraintes forward et backward sont des coupes de réalisabilité de Benders suffisantes pour garantir la réalisabilité de problèmes de transport ayant une structure particulière. La preuve établie permet, dans le cas que les contraints forward et backward ne sont pas suffisantes, de proposer une décomposition de Benders qui peut être appliquée au cas général. Les auteurs développent une reformulation basée sur des contraintes forward et backward adaptées qui permet de réduire significativement la taille du problème.
Plus tard,Brusco et Johns(2011) considèrent un problème en nombres entiers, noté RSTP, qui se base sur une formulation implicite pour la construction simultanée de cycles et de quarts dans un environnement continu et employant une main d’œuvre hétérogène. La contribu- tion de leur travail consiste à proposer une procédure qui intègre la sélection des temps de début et la construction des cycles anonymes. Cette procédure, notée TSCP, utilise la re- cherche taboue pour la sélection des temps de début potentiellement bons et une méthode de génération de plans de coupes (cutting plan) pour la construction des cycles. La TSCP est comparée à la résolution directe du RSTP en utilisant CPLEX, puis à une heuristique à deux étapes proposée par Brusco et Jacobs(1998), et ceci en se basant sur des instances pour des employés d’aéroport précédemment traités par Brusco et Jacobs (1998). Les au- teurs concluent que lorsque les profils de demande sont cohérents durant les jours de la semaine d’opération, toutes les méthodes sont performantes. Pour les auteurs, des profils de demande cohérents signifient une tendance similaire de la demande au fil des jours de la semaine. Par contre, lorsqu’une incohérence des courbes de demande d’un jour à l’autre de la semaine d’opération est observée, la nouvelle méthode TSCP devient plus performante
que la résolution exacte du RSTP et que l’heuristique deBrusco et Jacobs(1998). Les auteurs concluent qu’une perspective future de leurs travaux serait de développer une procédure de résolution exacte pour le RSTP. L’heuristique TSCP est utilisée pour identifier une solution réalisable. Ensuite, CPLEX l’utilisera comme solution initiale lui permettant éventuellement d’identifier rapidement une solution optimale pour le problème.
Bard et collab.(2003) traitent un problème de construction simultanée de quarts et de cycles anonymes dans un centre de traitement et de distribution du Service postal des États-Unis. Il s’agit d’un problème de planification à long terme permettant de calculer la taille et la composition optimale d’une main d’œuvre homogène. L’horizon de planification est formé d’une semaine discrétisée en des périodes de 30 minutes. Le problème est résolu sur une semaine et les horaires, ainsi obtenus, seront affectés individuellement aux employés d’une manière cyclique d’une semaine à l’autre. L’horizon de planification est discontinu car les quarts considérés ne chevauchent pas des jours consécutifs. Le problème traite d’une ma- nière simultanée les niveaux décisionnels relatifs à la sélection des heures de début et des durées de travail, au placement de pause dépendamment de la durée des quarts et au pla- cement de deux jours de repos à l’intérieur de la semaine. Il existe deux types d’employés : à temps complet et à temps partiel. Les quarts constituant un même horaire doivent avoir la même heure de début et la même durée. Lorsque la durée du quart excède les six heures, une pause repas de 30 minutes doit être affectée. Un ratio minimal qui mesure le nombre d’em- ployés à temps complet par rapport au nombre d’employés à temps partiel doit être respecté. Étant donné que l’effectif à temps partiel est payé moins cher que l’effectif à temps complet, l’incorporation de ce ratio dans le modèle permet de ne pas dépasser la borne supérieure sur la taille de l’effectif à temps partiel selon la convention collective. La formulation implicite proposée permet le placement d’une pause repas à l’intérieur des quarts et le placement de deux jours de repos par semaine. Le modèle implicite proposé est basé principalement sur deux concepts. Le premier concept correspond à l’utilisation des contraintes de type forward et backward pour lier les variables de type de quarts aux variables de pauses admissibles