Afin de comprendre l'instabilité d'une fissure, C.E. Inglis [18] fit, en 1913, une analyse des contraintes sur son pourtour. Dans le but de simplifier le problème, il considéra une ouverture elliptique dans une plaque mince soumise à une contrainte uniforme et unidirectionnelle
σ
e, représentée sur la figure I.12- a-.Chapitre I 26
Fig. I.12: a: plaque mince comportant un trou elliptique soumise à une tension uniforme.
b- variation des contraintes normales σxx et σyy au voisinage du trou; le trait en pointillés indique l'intensité de lacontrainte appliquée à la plaque.
En se plaçant dans le cas de la loi de Hooke généralisée, en accord avec les hypothèses de base de la théorie de l'Elasticité1, le traitement mathématique de ce
problème permet d'obtenir la variation des contraintes normales
σ
xx etσ
yyautour de la pointe A de la fissure (voir figure I.12). Cette analyse montre que l'existence de la fissure provoque localement une amplification de la contrainte, qui est maximale à la pointe. Cette amplification est caractérisée par le rapport
σ
A/σ
e appelé facteur de concentration de contrainte. Compte tenu que a>>b :
σA
σe ≈
2a
b (I.32) Dans le cas d'une vraie fissure, le rayon en fond de fissure est de l'ordre de
1 Une exception aux hypothèses de la théorie de l'élasticité est poutant effectuée ici : en effet, la
mécanique des milieux continus, base de l'élasticité, interdit, par définition, la présence de toute cavité dans la matériau qui doit être homogène et de plus isotrope.
Chapitre I 27
la distance interatomique et l'on peut atteindre localement une contrainte correspondant à la résistance des liaisons atomiques. Toutefois, cette situation n'arrive que lorsque le matériau ne peut atténuer la contrainte par un mécanisme d'absorption d'énergie. Le modèle explicité ci-dessus ne prend pas en compte l'existence d'une plasticité "confinée" en fond de fissure (ou tout autre mécanisme d'absorption d'énergie comme l'existence de craquelures) et qui font que la contrainte n'atteint jamais ces valeurs extrêmes.
β) Modèle de Barenblatt
Une approche différente a été donnée par Barenblatt pour caractériser une fissure [19,15]. Nous avons vu précédemment que le modèle purement élastique prédisait, à la pointe d'une fissure, l'existence de contraintes infinies auxquelles le solide ne peut résister. Prenant acte de ce fait, Barenblatt a considéré un milieu infini contenant une fissure soumise au même type de contrainte que celle décrite à la figure I.12-a, et a émis l'hypothèse que la ligne de cette fissure était divisée en deux parties distinctes (figure I.13). Dans la région interne (1), les lèvres constituant la fissure sont assez éloignées pour ne pas entrer en interactions. Par contre, dans la région (2) c'est-à-dire en amont de la pointe de la fissure, il existe une "zone de transition" en cours de rupture le long de laquelle interagissent les deux bords de la fissure. Les forces de cohésion existant dans cette zone s'annulent lorsque l'écartement atteint une valeur limite δ (figure I.13). Le comportement du matériau est toujours supposé élastique sauf en ce qui concerne l'existence des forces de cohésion, c'est-à-dire la zone (2). Un calcul1 qui
ne sera pas explicité icipermet d'obtenir la longueur
l
de la zone de transition en fonction de la contrainte appliquée au matériau et de δ. Typiquement, δ est de l'ordre de 1,5 à 2 fois la distance interatomique du matériau.1 Le calcul du champ de contrainte aux lentours du fond de fissure fait apparaître des coefficients
appelés facteurs d'intensité de contrainte qui dépendent de la géométrie du système et de la charge appliquée. La longueur de la "zone de transition" est supposé s'adapter de façon que le facteur d'intensité de contrainte soit nulle en pointe de fissure (si elle ne l'est pas, les contraintes sont infinies en pointe donc la "zone de transition" va s'étendre au-delà de ce point). La nullité du facteur d'intensité en pointe donne :
l≈aπ 2σ e 2 8σA2 ,
où a est la demi-longueur de la fissure (région (1)) comme indiqué sur la figure I.12.a , σe la contrainte appliquée au matériau (contrainte à l'infini) et σA la contrainte de cohésion en pointe de fissure (caractéristique du matériau).
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Fig. I.13: Représentation d'une fissure dans le modèle de Barenblatt; les forces de cohésion s'exercent entre les futures lèvres de la fissure dans la zone de transition.
γ) Modes de sollicitations d'une fissure
Les contraintes devant une fissure dépendent aussi du type de sollicitation de la fissure. D'après G.R. Irwin (1948) [20], on peut distinguer trois modes de sollicitations représentés en figure I.14. Ces trois modes sont chacun définis par le mouvement des deux surfaces de la fissure l'une par rapport à l'autre.
Chapitre I 29
Fig. 14: Distinction entre les trois modes de sollicitations d'une fissure; la flèche en pointillés montre le sens de propagation de la fissure.
-le mode I, dit mode par ouverture, correspond à un écartement relatif des deux surfaces de la fissure par l'ouverture angulaire de celles-ci,
-le mode II provoque un cisaillement,
-le mode III correspond à un glissement transversal des deux surfaces de la fissure, en sens opposés, mais cette fois dans une direction parallèle au front de la fissure.
Des trois types de sollicitations, le mode I est considéré comme le plus sévère, et c'est pour cette raison que la plupart des études de la mécanique de la rupture ont été effectuées en utilisant ce mode.