3.6 Amélioration du filtre
3.6.2 Généralisation du filtre à N états
En fonction de l’application, il peut être intéressant de filtrer une fonction de croyance définie sur un cadre de discernement non binaire et de cardinalité N = |Ω| > 2. Nous proposons une méthode permettant d’exploiter le filtre TCF. Pour cela, on poseΩst = {Et1, Et2. . . EtN}le cadre de discernement de la fonction de croyance à filtrer et on dispose à chaque instant d’une BBA temporelle mΩs
t qu’il s’agit de filtrer. Les hypothèsesEi
tseront appeléesétatsdans la suite.
Pour réaliser le filtrage, nous proposons de se ramener à un cadre de discernement binaire à l’aide des opérations sur les cadres. La proposition est représentée sur la figure 3.8 : nous effectuons N grossissements du cadre de discernementΩst, c’est à dire autant de grossissement que d’hypothèses, où chaque grossissement est binaire surΩit = {Tti, Fti}signifiant que l’hypothèseEti ∈ Ωst est vraie ou fausse :
Ωit = {Tti, Fti}
Tti : l’hypothèseEti est vraie Fti : l’hypothèseEti est fausse
(3.31) Ainsi, il est possible d’appliquer le filtre TCF puisque nous nous sommes ramenés à des BBA tempo-relles binaires. La procédure proposée consiste en4étapes illustrés sur la figure 3.8 :
1. créerN BBA binaires définies sur à partir de la BBA initiale, 2. filtrer lesN BBA binaires indépendamment avec le filtre TCF,
3. étendre lesN BBA filtrées avec l’opérateur d’extension vide sur le cadre initialΩs t, 4. combiner lesN BBA étendues avec la CRC.
Etape 1 : grossissement L’espaceΩi
test un grossissement deΩs
t et donc nous devons définir l’ap-plicationρ : 2Ωs
t → 2Ωi
t afin de transférer les masses des différentes propositions de Ωs
t vers les propositions dans2Ωi t ={∅i t,{Ti t},{Fi t},{Ti t, Fi t}}: ρ : 2Ωs t → 2Ωi t mΩst(B) 7→ mΩit(ρ(B)) (3.32)
3.6 Amélioration du filtre 71 ms t Filtre Filtre Filtre
Extension vide sur s
t
Extension vide sur s
t
Extension vide sur s
t Grossissement sur i t Grossissement sur 1 t Grossissement sur n t Combinaison conjonctive m1t mit mnt m*s t m*1t m*i t m*nt
FIG. 3.8 :Application du TCF pour le filtrage de fonctions de croyance non binaires.
Le grossissement est illustré sur la figure 3.9 où l’on cherche à filtrer la masse sur un élémentEi t. Cet élément est donc associé àTi
t et les autres éléments, c’est à direEit, sont associés àFi t. it F T Ei Ei tS
FIG. 3.9 :Illustrations du grossissement pour le filtrage de fonctions de croyance définies sur des espaces non binaires.
Une applicationρassurant une consistance des éléments focaux dans2Ωit est la suivante :
– La massemΩit(Tti)correspond à la part de croyance sur le fait que l’état est vrai. Le PMI indique que seule la massemΩst(Ei
t)correspond effectivement à cette connaissance. – La masse mΩi
t(Fi
t) correspond à la part de croyance sur le fait que l’état est faux. Le PMI indique que toutes les masses dont les éléments focaux ne contiennent pasEi
t correspondent à cette connaissance.
– La masse mΩit(Ωi
t) correspond à la part de croyance sur le fait que l’état est vrai ou faux. Le PMI indique que toutes les masses contenantEtiet dont les éléments focaux sont de cardinalité supérieure à l’unité correspondent à cette connaissance.
– La massemΩi t(∅i t)a seulementmΩs t(∅t)pour correspondance. La BBA binairemΩi t de l’étatEi
t est donc obtenue de la manière suivante : mΩit(Ti t) ← mΩst(Ei t) mΩit(Fti) ← X Ei t∩Bi=∅ Bi6=∅ mΩst(Bi) mΩi t(Ti t ∪Fi t) ← X Ei t⊂Bi mΩst(Bi) mΩi t(∅t) ← mΩs t(∅t) (3.33)
72 CHAPITRE3 –Filtrage de fonctions de croyance
Etape 2 : filtrage On dispose denBBA, une pour chaque étatEi
t et chacune définie sur un espace binaire. Elles peuvent être traitées par le filtre TCF présenté précédemment. Lesn BBA filtrées sont mΩit
∗ .
Etape 3 : raffinement Après filtrage, il est possible d’obtenir une BBA sur l’espaceΩs
t à partir des BBA sur chaque état. Pour cela, on suit le même raisonnement que sur la figure 3.9 et on calcule la BBA sur l’espace raffinéΩs
t à chaque instant de la manière suivante : mΩst i (Ei t) ← mΩit(Ti t) mΩst i (Ωs t) ← mΩi t(Ti t ∪Fi t) mΩst i (Ωs t\Ei t) ← mΩi t(Fi t) (3.34)
Remarque 3.1. La masse mΩit(∅t) n’est pas utilisée car le TCF assure une sortie sans conflit. De
plus, la sortie du TCF étant consonante, ceci implique que soitEi
tou soitΩs
t\Ei
test un élément focal
à un instant donné. Par conséquent, lesnBBA obtenues sont des BBA simples.
Etape 4 : combinaison Disposant desn BBA définies surΩs
t, il est possible de les combiner afin d’établir la croyance surΩs
t prenant en compte les différents filtrages. Cette BBA est obtenue par la combinaison conjonctive des BBA fournies par lesnfiltres :
mΩst = ∩
i∈{1...N} mΩst
i (3.35)
Quelques remarques Une première remarque sur la méthode concerne le fait que l’on dégrade la BBA initiale. En effet, l’opération de grossissement (Eq. 3.34) n’est généralement pas réversible. On peut même dire que l’on perd de l’information car la granularité du cadre après grossissement est plus faible.
De plus, les BBAs après raffinements sont des BBA simples et cette propriété provient des redis-tributions proposées dans la définition du filtre. Le problème est que les BBA simples sont combinées avec un opérateur conjonctif et par conséquent du conflit risque d’apparaître.
3.7 Conclusion
Le filtre que nous avons proposé permet d’une part d’estimer la BBA sur la véracité d’un état en fonction des observations faites sur le système et de l’état à l’instant précédent. D’autre part, ce filtre permet de filtrer les BBA c’est à dire d’obtenir des BBA moins sensibles aux défauts de perception. Les BBA obtenues sont consonantes et sans conflit.
Le filtre repose sur le principe(( prédiction – mise à jour ))classiquement utilisé dans les méthodes de filtrage. Notre apport tient essentiellement dans l’aspectcommutation de modèlesentre les modèles
l’état est vrai et l’état est faux et l’aspect exploitation du conflit. La commutation de modèles est
inspirée de méthodes développées dans la théorie des probabilités et elle est gérée par un mécanisme de seuillage du conflit apparaissant lors de la phase de(( mise à jour ))et plus précisément lors de la fusion entre la prédiction et la mesure des capteurs. L’application du filtre nécessite l’utilisation de trois paramètres importants pour lesquels une procédure d’estimation a été proposée.
3.7 Conclusion 73
Le filtre exploite la relation entre les BBA d’un même état à deux instants consécutifs. Il s’agit à présent de tirer parti de la relation entre les états. C’est ce qui est proposé dans les deux chapitres suivants où nous traitons le problème de la reconnaissance de séquences d’états dans le cadre des fonctions de croyance.
Chapitre 4
Reconnaissance déterministe de séquences
d’états par machine à états finis crédibilistes
4.1 Introduction
Dans le cadre de l’analyse de systèmes dynamiques, les croyances fournies par les sources ob-servatrices traduisent généralement une opinion sur unétatpris par le système. Dans les applications réelles, les états sont multiples et le systèmeévolued’un état à l’autre au cours du temps suivant des
séquencesparticulières. L’aspectdynamiqueintervient à deux niveaux :
– Sur un même état et entre deux instants consécutifs : le filtre TCF proposé dans le chapitre précédent tire parti de cette information.
– Sur la séquence des états au cours du temps : cette information permet de prendre en compte les relations entre les états.
Une méthode de reconnaissance de séquences doit, en plus des informations de causalité entre les états de la séquence, intégrer les informations temporelles entre deux instants successifs.
Deux grandes familles de méthodes de reconnaissance de séquences existent : les méthodes IA
(Intelligence Artificielle), pour lesquelles les modèles de séquences sont bien connus et fournis par
des experts du domaine d’application, et les méthodes statistiques où les modèles de séquences sont inconnus et déterminés à partir d’un processus d’apprentissage. Les méthodes statistiques font l’objet du chapitre suivant. Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux méthodes IA dans le cadre des fonctions de croyance.
Peu de travaux sur la reconnaissance de séquences d’états dans le cadre des fonctions de croyance ont été réalisés. On peut citer deux méthodes proposées par Rombaut et al. : la première est unréseau
de Pétri crédibiliste(BPN : Belief Petri Net) élaboré lors de la thèse de I. Jarkass [RJD99] et la
se-conde est le système IDRES (Intelligent Driving Recognition with Expert System) proposé avec J.M. Nigro [NR03]. Ces deux systèmes ont été appliqués à la reconnaissance de manoeuvres d’un conduc-teur dans le cadre de l’assistance à la conduite automobile et ont été comparés dans [RLRNJ00]. Dans le paragraphe ci-dessous, nous décrivons les points clés du BPN qui représente une méthode géné-rale proche de l’ordonnanceur CSS alors que IDRES est un système expert dédié à une application particulière.
Notons que les réseaux évidentiels (§ 2.2.1.3) permettraient de décrire des séquences d’états sous la forme de graphes orientés. Ils ont été appliqués à des problèmes de diagnostic mais n’ont pas été appliqués à la reconnaissance de séquences et l’aspect temporel n’a jamais été explicité dans ces
76
CHAPITRE4 –Reconnaissance déterministe de séquences d’états par machine à états finis crédibilistes
réseaux. Nous proposerons dans le chapitre suivant une méthode pour traiter des fonctions de croyance temporelles utilisant des outils initialement développés dans le cadre des réseaux évidentiels.
Le réseau de Pétri crédibiliste Le BPN décrit une séquence sous la forme d’un graphe orienté. Le graphe est composé deP places(équivalentes à des nœuds) et dans le modèle proposé dans [RJD99], chaque place est reliée au plus à une place amont et au plus une place avale.
A la différence de ce que nous proposons, il s’agit de calculer, à un instant t donné, la fonction de croyance sur l’ensemble des placesmΩt
avecΩt = {Pt 1, Pt
2. . . Pt
K}, au lieu de K croyances sur chacune des places, à partir de :
– la fonction de croyance sur l’ensemble des places à l’instant précédentmΩt−1
. A l’initialisation, une distribution a priorimΩ0 doit être choisie. Cette BBA peut être vide ou prendre une forme quelconque (cf. tableau 2.1).
– l’ensemble des fonctions de croyance sur les transitions entre deux places consécutives Pk et Pk+1. Chacune de ces BBA est définie surΘt
k = {Tt k, Ft
k}et représente la croyance sur le fait que la transition dePkversPk+1 est vraie (Tk) ou fausse (Fk).
La croyance à un instant t sur l’ensemble des places est déterminée par application du GBT (Eq. 2.28) :
mΩt(C) = X B⊆Ωt−1
mΩt[B](C)·mΩt−1(B),∀C ⊆Ωt (4.1) où les masses conditionnellesmΩt[B]représentent la croyance sur les places àtconditionnellement aux croyances sur les places à l’instant précédentt−1et sont quantifiées par les croyances sur les transitions. Chaque transition est vue comme une source d’information donnant la croyance condi-tionnelle que la place avale soit vraie ou fausse condicondi-tionnellement à la place amont :
mΩt [Pkt−1]({Pt k+1}) = mΘt k({Tt k}) mΩt [Pkt−1]({Pt k}) = mΘt k({Ft k}) mΩt[Pkt−1]({Pt k, Pt k+1}) = mΘtk({Tt k, Ft k}) (4.2)
Le BPN peut être utilisé pour décrire des sauts d’athlétisme comme le saut en hauteur :(( courir
→ sauter→ chuter → se relever )), où chaque place représente une action, par exemple courir est la première place. Le problème est que la règle d’évolution de la BBA correspond au (( passage au plus tôt )) contrairement à l’algorithme que nous proposons dans les paragraphes suivants. Cet inconvénient implique que le BPN n’est pas robuste au bruit et aux fausses alarmes. La figure 4.1 illustre le problème de robustesse du BPN où les ellipses représentent la distribution de masses : partant d’une BBA vide (réseau 1, à gauche), les transitions 1, 2 puis 3 deviennent vraies ce qui a pour effet de transférer la masse vers les places inférieures (réseaux 2 à 4, de gauche à droite). Si les transitions sont des fausses alarmes alors la masse qui est(( descendue )) dans le réseau sera
(( perdue )). L’annexe 3 illustre le problème de robustesse sur un exemple.
Dans les sections suivantes, nous décrivons successivement le principe et les mécanismes de la machine à états finis que nous proposons.