Déconditionnement

Disposant d’une BBA conditionnéemΩ[B], B ⊆ Ω, il n’est généralement pas possible de retrou-ver la BBA d’origine mΩ avant conditionnement. Une solution consiste à choisir la BBA la moins informative parmi toutes les BBA possibles et elle est obtenue par l’opérateur de déconditionne-ment[Sme93], noté⇑, menant à :

m^Ω[B]^⇑Ω(C∪B) =m^Ω[B](C), ∀C⊆B (2.43) oùB est le complémentaire deB. La masse initialement affectée à un sous-ensembleCavant décon-ditionnement (i.e.mΩ[B](C)) esttransférée sur les sous-ensembles composés de C et ne contenant pasB (i.e.C∪B). Cette transformation assure que le (re)conditionnement surBde la BBA obtenue donne de nouveaumΩ[B], propriété obtenue grâce au PMI.

Il existe plusieurs applications du déconditionnement. Les plus intéressantes que nous décrivons dans les paragraphes suivants sont :

– Traduire des règles implicatives en BBA :comment traduire des implications logiques

pondé-rées en fonctions de croyance ?

– Fusionner des BBA conditionnelles sur un espace produit :disposant de plusieurs BBAmΩ[θ_i]

définies sur un cadreΩconditionnellement à des hypothèsesθ_i d’un second cadre de discerne-mentΘ, comment combiner ces BBA ?

Cet opérateur permet par ailleurs d’ajouter des hypothèses dans un cadre de discernement [DS04] : disposant d’une BBA définie Ω0 = {ω1, ω2}, le déconditionnement redéfinit cette BBA sur Ω1 = Ω0 ∪ {ω3} = {ω1, ω2, ω3}. La solution est décrite à l’annexe 2 avec un exemple d’application sur la fusion de BBA dont les hypothèses sont hiérarchisées.

2.2 Opérations avancées 41

2.2.3.1 Le déconditionnement pour la traduction de règles implicatives

Le déconditionnement a été exploité par Ristic et Smets [RS05b] pour la traduction de règles d’implication dans le cadre de l’identification de cibles. Ce type de règle est très bien adapté pour ajouter des connaissances a priori fournies par des experts.

Une règle d’implicationRmettant en jeu deux cadres de discernementΩetΘest du type :

(( R : siθ ⊆Θalorsω ⊆Ωavec une croyanceα∈[0,1] ))

que l’on peut par ailleurs noter parθ ⇒ω.

A partir de l’expression logique de la règle R, il est possible de construire une BBA que l’on pourra ensuite combiner avec d’autres BBA si l’application le nécessite. L’expression de la BBA équivalente à la règle est une BBA conditionnelle :

m^Ω_R[θ](ω) =α (2.44a)

m^Ω_R[θ](Ω) = 1−α (2.44b)

Dans les systèmes réels, les BBA peuvent être exprimées sur des espaces produits. Si l’on souhaite combiner les BBA conditionnelles de règles implicatives avec d’autres BBA, il peut s’avérer utile d’exprimer les BBA des règles sur l’espace produitΩ×Θ. La transformation d’une BBA condition-nelle en une BBA sur un espace produit est réalisée par l’opérateur de déconditionnement [RS05b] qui, appliqué à la règleR(Eq. 2.44), fournit une BBA exprimée surΩ×Θet définie par :

m^Ω_R[θ]^⇑Ω×Θ(D) = (

α si D= (ω×θ)∪(θ×Ω)

1−α si D= (Ω×Θ) ^(2.45)

Pour déterminer et interpréter l’élément focalD= (ω×θ)∪(θ×Ω), nous pouvons écrire la règleR comme l’union de deux règles :

– une première indiquant que si θ apparaît alors ω apparaît avec une croyance α : (( R1 : si

θ⊆Θalorsω⊆Ωavec une croyanceα1 ∈[0,1] )),

– une seconde indiquant que si autre chose que θ apparaît, i.e. θ, alors on ne sait rien de la conclusion surΘ:(( R2 : siθ⊆ΘalorsΩavec une croyanceα2 = 1 )).

Après déconditionnement, la masseαest donc transférée sur l’ensembleD= (ω×θ)∪(θ×Ω) composé de l’ensembleω×θpour lequel on dispose d’une connaissance (d’après l’équation 2.44) et de l’ensembleθ×Ωreprésentant l’extension cylindrique de θ surΩ×Θet modélisant l’ignorance sur Ω lorsque θ est vrai. Notons que la BBA issue du déconditionnement respecte le Principe du Minimum d’Information et son conditionnement surθ(avec marginalisation surΘ) redonne la BBA initiale conditionnée [Sme93].

Exemple 11. Nous reconsidérons l’exemple 9 sur la reconnaissance de panneaux de signalisation.

En plus des informations sur laformeet lacouleur, on dispose d’une troisième source sous la forme

d’une règle implicative spécifiée par un expert. Cette règle indique quesi le panneau est rond alors il

est bleu avec une croyance de0.8, les0.2manquant représentent l’ignorancede l’expert concernant la couleur du panneau sous l’hypothèse que ce dernier soit rond. La règle est donc de la forme :

42 CHAPITRE2 –TBM : représentation, fusion, décision

On souhaite combiner la règle avec la BBAm^Ω₁^×_∩^Θ₂ donnée à l’équation 2.40 (exemple 9). Pour cela,

on procède en trois étapes :

1. L’expression de la règle sous la forme d’une BBA conditionnelle :

mΘ

R[R_f]({B_c}) = 0.8 mΘ

R[R_f](Θ) = 0.2 (2.46)

2. La transformation de cette BBA sur l’espace produit Ω×Θafin de la combiner avec m^Ω₁^×∩^Θ2.

Pour cela, on utilise le déconditionnement de la règle :

m^Ω_R^×Θ = m^Θ_R[R_f]^⇑Ω×Θ (2.47)

Le résultat du déconditionnement est la BBA suivante :

m^Ω_R^×Θ({(R_f, B_c),(T_f, B_c),(T_f, V_c),(T_f, M_c)}) = 0.8 m^Ω_R^×Θ(Ω×Θ) = 0.2 (2.48)

oùΩ×Θ ={(T_f, B_c),(T_f, V_c),(T_f, M_c),(R_f, B_c),(R_f, V_c),(R_f, M_c)}est un espace produit.

Cette BBA est équivalente à la forme conditionnelle car son conditionnement par Rf suivie

d’une marginalisation surΘredonne la BBA conditionnelle.

3. La combinaison par la CRC de la BBAm^Ω₁^×∩^Θ2 avec la règle est exprimée de la façon suivante :

m^Ω_12R^×Θ = m^Θ_R[Rf]^⇑Ω×Θ∩ m^Ω₁^×∩^Θ2 (2.49)

La BBA résultante comporte13éléments focaux dont les5plus élevés sont les suivants :

m^Ω_12R^×Θ({(T_f, M_c)}) = 0.462 m^Ω_12R^×Θ(∅) = 0.168 m^Ω_12R^×Θ({(T_f, B_c),(T_f, V_c),(T_f, M_c)}) = 0.1 m^Ω_12R^×Θ({(R_f, Bc)}) = 0.072 m^Ω_12R^×Θ({(T_f, B_c),(T_f, V_c)}) = 0.05 . . . (2.50) Par exemple, m^Ω_12R^×Θ({(T_f, M_c)}) = m^Ω₁^×∩^Θ2({(T_f, M_c)}) · m^Ω_R^×Θ({(R_f, B_c),(T_f, B_c),(T_f, V_c), (T_f, M_c)}) +m^Ω_R^×Θ(Ω×Θ)+m^Ω₁^×_∩^Θ₂({(R_f, M_c),(T_f, M_c)})·m^Ω_R^×Θ({(R_f, B_c),(T_f, B_c),(T_f, V_c), (T_f, M_c)}) = 0.35 + 0.14·0.8 = 0.462.

Les marginalesm^Ω_12R^×Θ↓Ωetm^Ω_12R^×Θ↓ΘsurΩetΘsont données par les BBA suivantes :

mΩ 12R({T_f}) = 0.612 mΘ 12R({M_c}) = 0.532 mΩ 12R(∅) = 0.168 mΘ 12R(∅) = 0.168 mΩ 12R({R_f}) = 0.132 mΘ 12R({B_c, V_c, M_c}) = 0.152 mΩ 12R({R_f, T_f}) = 0.088 mΘ 12R({B_c, V_c}) = 0.076 m^Θ_12R({Bc}) = 0.072 (2.51)

2.2.3.2 Le déconditionnement pour la fusion de BBA conditionnelles

On suppose disposer d’un jeu de BBA mΩ[θ_i],∀θ_i ∈ Θ définies sur un cadre de discernement Ω ={ω1, ω2. . .}conditionnellement à chacun dessingletonsθ_id’un deuxième cadre de discernement Θ ={θ1, θ2. . .}.

2.2 Opérations avancées 43

Les BBA conditionnelles peuvent être combinées sur l’espace produitΩ×Θobtenue par la com-binaison conjonctive des BBA déconditionnées :

m^Ω×Θ =∩

i

m^Ω[θ_i]^⇑Ω×Θ (2.52)

Chaque sous-ensembleSde l’espace produitΩ×Θse voit allouer la masse : m^Ω×Θ(S) = ^Y

θi∈Θ

m^Ω[θi](v), ∀S ⊆Ω×Θ _(2.53)

oùv = ((θ_i×Ω)∩S)^↓Ω. Cette expression analytique des éléments de la BBA résultante a été dérivée par Smets [Sme78, Sme93]. De la même manière, l’expression analytique de la communalité des sous-ensembleS ⊆Ω×Θest donnée par :

qΩ×Θ(S) = ^Y θi∈Θ

q^Ω[θ_i](v), ∀S ⊆Ω×Θ _(2.54) L’opération de déconditionnement utilisée de cette manière a permis de dériver le Théorème de Bayes Généralisé (§ 2.2.1) [Sme93]. Notons que les croyances conditionnelles sont supposées distinctes. Si ce n’est pas le cas, il faut utiliser lacombinaison conjonctive prudente(Eq. 2.64).

Exemple 12. Nous reprenons l’exemple de la prédiction du temps décrit dans le paragraphe 2.2.1.1

et notamment les croyances conditionnelles mΩ_j[E_j−1], mΩ_j[P_j−1] et mΩ_j[N_j−1] données dans le

tableau 2.4. Il est possible de déterminer la BBA équivalente sur Ω_j−1 × Ω_j à l’ensemble de ces

BBA conditionnelles. Pour cela, deux étapes sont nécessaires : déconditionner chaque BBA puis les combiner. On a donc :

mΩ_j−1×Ω_j = mΩ_j[E_j−1]^⇑Ω_j−1×Ω_j∩ mΩ_j[P_j−1]^⇑Ω_j−1×Ω_j∩ mΩ_j[N_j−1]^⇑Ω_j−1×Ω_j (2.55)

Le résultat de la combinaison comporte environ 343 éléments focaux (potentiellement, il existe 29

éléments) et nous présentons seulement les6plus grandes valeurs approchées ci-dessous :

mΩj−1×Ωj({(N_j−1, N_j),(P_j−1, N_j),(E_j−1, E_j)}) = 0.168 m^Ωj−1×Ω_j ({(N_j−1, N_j),(P_j−1, P_j),(E_j−1, E_j)}) = 0.116 m^Ωj−1×Ω_j({(N_j−1, Nj),(P_j−1, Nj),(E_j−1, Nj),(E_j−1, Ej)}) = 0.060 mΩ_j−1×Ω_j({(N_j−1, N_j),(P_j−1, P_j),(E_j−1, N_j),(E_j−1, E_j)}) = 0.041 mΩ_j−1×Ω_j({(N_j−1, N_j),(P_j−1, N_j),(P_j−1, E_j),(E_j−1, E_j)}) = 0.041 mΩ_j−1×Ω_j({(N_j−1, E_j),(P_j−1, N_j),(E_j−1, E_j)}) = 0.037 (2.56)

Dans la suite du manuscrit, nous exploiterons les concepts définis dans cette section et en parti-culier ceux qui concernent le conditionnement/déconditionnement jetant les premières bases du filtre temporel crédibiliste (chapitre 3), de l’ordonnanceur d’états crédibilistes (chapitre 4) et des modèles de Markov cachés adaptés aux fonctions de croyance (chapitre 5).