interpréter la BBA affaiblie comme une prédiction4. Dans cette méthode, le conflit est simplement affaibli mais n’est pas exploité pour le filtrage.
Notes sur les modèles à sauts probabilistes Les distributions temporelles reflétant l’état de sys-tèmes dynamiques présentent des périodes de stationnarité. Cette hypothèse est à la base desmodèles
à sauts(SLDS :switching Linear Dynamical System) [PRCM99, MB07]. Ce phénomène de
station-narité s’observe sur les figures 3.1a et 3.3a :
– sur l’intervalle[600,900]de la figure 3.1a et sur l’intervalle[60,90]de la figure 3.3a, la croyance devrait être globalement allouée à l’hypothèseFtsignifiant(( l’état est faux )).
– sur l’intervalle[300,600]de la figure 3.1a et sur l’intervalle[50,60]de la figure 3.3a, la croyance devrait être globalement allouée à l’hypothèseTtsignifiant(( l’état est vrai )).
Les SLDS représentent une forme de filtre de Kalman où plusieurs modèles d’évolution peuvent être appliqués à un même instant t. L’idée est d’utiliser un modèle d’évolution adapté aux données traitées et de changer le modèle au gré de l’évolution de ces données. Ces modèles ont été peu appli-qués car la complexité de l’inférence est élevée même pour des données temporelles de faible durée. En effet, le problème de l’inférence est de déterminer quel modèle appliquer à chaque instant or, sous l’hypothèse que deux modèles sont possibles à chaque instant et que la durée du filtrage est D, il existe2D séquences de modèles possibles (à chaque instant, deux modèles sont possibles). De plus, il faut garder à l’esprit que chaque modèle est appliqué sur un ensemble d’états et donc l’inférence doit aussi déterminer quel est le meilleur état avec le modèle en cours. Notons que dans [PRCM99], un algorithme d’inférence approximatif (de type Viterbi) a été proposé pour cette tâche dans le cadre de la théorie des probabilités sous des hypothèses similaires à celles supposées dans le filtre de Kalman. Dans la section suivante, nous décrivons le principe général du filtre temporel crédibiliste (TCF :
Temporal Credal Filter) à l’aide d’un exemple. Puis, nous détaillons les mécanismes du filtre et
l’es-timation de ses paramètres. Enfin, nous proposons quelques pistes d’amélioration.
3.2 Filtrage crédibiliste avec modèles à sauts
Comme pour le filtre de Kalman et pour la méthode de Smets, le filtre que nous proposons s’appuie sur le principe(( prédiction - mise à jour )) mais auquel nous avons adjoint un système de modèle à sauts pour le calcul de la prédiction.
Dans le cadre de l’adaptation des modèles à sauts pour le filtrage des fonctions de croyance, nous proposons de réduire la complexité des mécanismes des SLDS en considérant des commutations de modèles binaires et catégoriques : une commutation est réalisée à partir du seuillage d’un critère adapté. Nous n’imposons aucune hypothèse sur la forme de bruit ni sur l’indépendance des observa-tions conditionnellement aux états à la différence des SLDS. Les paramètres que nous utilisons dans le filtre proposé sont peu nombreux et facilement estimables.
La commutation est basée sur le conflit entre prédiction et mesure. Contrairement aux méthodes usuelles de filtrage de fonctions de croyance temporelles, nous exploitons le conflit comme une source d’information pertinente sur la détection de changement dans la BBA à filtrer. En effet, si la varia-tion des croyances sur les éléments focaux de la BBA à filtrer est très différente de la variavaria-tion des
54 CHAPITRE3 –Filtrage de fonctions de croyance
croyances sur les éléments focaux de la BBA prédite, cela peut signifier que le modèle de prédiction n’est plus adapté. Un changement dans la BBA mesurée induit donc du conflit car la prédiction et la mesure sont discordantes, et la valeur et la durée du conflit dépendent de la rapidité du changement5. Bien qu’il soit important d’exploiter le conflit, il est tout aussi important de le gérer (cf. chapitre 2) pour éviter de propager son effet absorbant lors du traitement de fonctions de croyance temporelles.
3.2.1 Définition des concepts utilisés
Croyances binaires Nous considérons des fonctions de croyance temporellesbinaires, c’est à dire définies sur un cadre de discernement à deux hypothèsesΩt ={Tt, Ft}oùt est l’instant,Tt signifie
vrai(par exemple l’état estvraiou la classe estvraie) etFtsignifiefaux. Un exemple d’évolution de BBA binaire sur un intervalle temporel[1,1168]est donné sur la figure 3.1 où l’hypothèseTtsignifie qu’(( il existe un mouvement de caméra ))et l’hypothèseFtsignifie qu’(( il n’existe pas de mouvement de caméra ))dans la vidéo étudiée.
Notion d’état Les croyances à filtrer reflètent la véracité d’un état d’un système observé. On dit
quel’état est vraisi la pignistique de l’étatTtest la plus élevée, c’est à direBetP(Tt)>BetP(Ft),
etdans l’état fauxsinon.
Notion de modèle d’évolution Nous proposons d’utiliser deux modèles lors du calcul de la prédic-tion : un modèle(( état vrai )) que nous notonsT et unmodèle (( état faux )) notéF. Ces modèles
M ∈ {T,F }sont utilisés alternativement en fonction de la véracité de l’état.
Notion de commutation de modèle Si le modèleT (resp. F) était utilisé àt et si un changement est détecté dans la BBA à filtrer à cet instant alors le modèle est changé et le modèle F (resp. T) sera utilisé àt+ 1. On parle alors de commutation de modèle. Une commutation de modèle intervient lorsque le conflit entre la prédiction et la mesure est trop important.
3.2.2 Les concepts sur un exemple : segmentation de vidéos
Nous cherchons dans cet exemple à illustrer l’utilité du filtre temporel crédibiliste sur un exemple de segmentation de vidéo en fonction du mouvement de caméra. Cet exemple introduit par ailleurs les notations de base utilisées dans ce chapitre ainsi que quelques concepts.
La figure 3.1a illustre l’évolution de la BBA en sortie d’une source de croyance générée à partir d’observations. Cette BBA indique si la caméra bouge (Tt) ou ne bouge pas (Ft) à l’instantt et le mouvement est évalué à l’imagetindépendamment de celui évalué sur les autres images. Le cadre de discernement est donc binaire et égal à :
Ωt={Tt, Ft} (3.1)
Par extension, on dira que la fonction de croyance est elle-aussi binaire.
A chaque instantt ∈ {1. . .1168}correspondants aux1168images de la vidéo, une fonction de croyancemΩt
est fournie par la source :
5Cette propriété est intéressante pour la surveillance de systèmes dynamiques comme des procédés industriels par exemple.
3.2 Filtrage crédibiliste avec modèles à sauts 55 !"$# % &')(+*, -".#
FIG. 3.1 :Un résultat de filtrage de fonctions de croyance temporelles bruitées par le TCF proposé.
– La croyance sur le fait que la caméra bouge àtestmΩt(Tt)et porte la couleurbleue,
– La croyance sur le fait que la caméra ne bouge pas àtestmΩt(Ft)et porte la couleurrouge, – La croyance sur l’ignorance concernant le mouvement àtestmΩt({Ft, Tt}) =mΩt(Ωt)et porte
la couleurverte,
– La croyance sur le fait que la caméra fasse autre chose que bouger ou ne pas bouger à t est mΩt(∅t)et porte la couleurmagenta.
Notons que, tout au long de ce chapitre, nous utiliserons fréquemment des fonctions de croyance binaires et les couleurs des traits sur les figures respecteront les couleurs utilisées ci-dessus.
La figure 3.1a montre une croyance temporellechahutée : la croyancevarie de façon importante
entre deux instants consécutifs et de nombreusesfausses alarmesapparaissent. On sait identifier les fausses alarmes par la briéveté des mouvements de caméra détectés, ces derniers ne pouvant durer que quelques images. On s’aperçoit que l’intervalle[300,600]correspond à un mouvement de caméra.
Le filtre temporel TCF est appliqué sur l’ensemble de ces croyances temporelles en émettant l’hypothèse que la caméra ne peut bouger de façon importante entre deux images successives. La
56 CHAPITRE3 –Filtrage de fonctions de croyance
figure 3.1b montre le résultat du filtrage par le TCF proposé dans ce chapitre. En plus d’être filtrée, la distribution de croyances obtenue en sortie du TCF a les caractéristiques suivantes :
– Consonante :A chaque instantt, le filtre génère une fonction de croyance composé d’au plus deux éléments focaux :
• Il existe un mouvement de caméra⇒les éléments focaux sontmΩt(Tt)etmΩt(Ωt),
• Il n’existe pas de mouvement de caméra⇒les éléments focaux sontmΩt(Ft)etmΩt(Ωt). – Normale :A chaque instantt, le filtre génère une fonction de croyance sans conflit, c’est à dire
mΩt(∅t) = 0.