Le Modèle des Croyances Transférables (TBM) permet de représenter et combiner la connais-sance à l’aide de fonctions de croyance. Le TBM offre des outils pour combiner des BBA définies sur des espaces différents, pouvant être plus ou moins précis ou grossiers. Des opérateurs de com-binaison conjonctif et disjonctif permettent par ailleurs de fusionner des BBA provenant de sources pouvant être plus ou moins fiables et non-distinctes. Ces mécanismes de base ont été utilisés pour de
2.3 Conclusion 49
nombreux problèmes (voir l’état de l’art dressé par Vannoorenberghe [Van03] en 2003) et notamment en reconnaissance des formes et classification [Den04, Quo06, DS06].
Dans la suite du manuscrit, nous exploitons ces mécanismes pour développer des méthodes de reconnaissance de séquences dans le cadre de l’analyse de systèmes dynamiques.
Chapitre 3
Filtrage de fonctions de croyance
3.1 Introduction
Un système physique peut être décrit par un ensemble de variables reflétant l’état du système à un instant. Par exemple, une automobile est un système physique dont l’état peut être à l’arrêt, en
marche,roule,freine, double un véhicule,prend un rond-point. . . Une fonction detransition permet
par ailleurs de décrire l’évolutiondu système au cours dutemps. Par exemple, la transitiondouble un
véhicule→prend un rond-pointest impossible (on se place dans le cas de conducteur raisonné) alors
que la transitionfreine→à l’arrêtest probable (possible ou plausible).
Un système dynamiqueest un système physique évoluant au cours du temps. L’analyse d’un tel
système a pour objectif de déterminer les connaissances sur l’état courant en prenant en compte les informations disponibles, entre autres les liens sur les connaissances entre deux instants consécutifs et les liens entre les états. Dans le cadre de l’approche probabiliste, ce lien est classiquement modélisé statistiquement par une distribution de probabilités sur les états à un instant conditionnellement aux états à l’instant précédent. L’évolution de la distribution de probabilités sur les états à chaque instant dépend non seulement des probabilités sur les états à l’instant précédent, pondérées par la fonction de transition, mais dépend aussi des observations mesurées sur le système à l’aide capteurs. Les observations sont généralement liées aux états à l’aide de modèles d’observation générant, pour une observation donnée, une distribution de probabilités sur les états. La problématique du filtrage consiste à améliorer la connaissance sur les états à partir des observations, des transitions entre deux instants consécutifs et des liens entre les états. L’analyse de systèmes dynamiques basée sur les probabilités a été largement traitée [Sch06] comme par exemple avec le filtrage de Kalman ou le filtre particulaire [Sch06, SKG06].
Nous considérons dans ce chapitre que l’ensemble de ces informations (observations, fonctions de transition et distributions sur les états) sont représentées par des fonctions de croyance au lieu des probabilités. On cherche donc à déterminer la distribution de croyances sur les états à un instant connaissant les informations passées, courantes et liens entre les états.
Nous considérons les méthodes de filtrage de type Markovien1 ce qui signifie que le calcul de la BBA (Basic Belief Assignment)mΩt
en sortie du filtre àtest effectué à partir de : – La BBA en sortie du filtre à l’instant précédentmΩt−1,
– La BBA correspondant à lamesurecourantem˜Ωt et que l’on cherche à filtrer,
1L’aspect Markovien permet de limiter les coûts de calcul et de stockage mémoire.
52 CHAPITRE3 –Filtrage de fonctions de croyance
– Un modèle d’évolution liant les BBAmΩt−1 etmΩt à deux instants consécutifs. Dans le schéma classique de filtrage, deux étapes sont généralement distinguées :
– Prédiction :calcul de la BBA préditemˆΩt à l’aide d’un modèle d’évolutionde la BBAmΩt−1
entret−1ett.
– Mise à jour :fusion de la BBA préditemˆΩt
avec laBBA mesuréem˜Ωt
à l’aide d’une combinai-son conjonctive.
L’analyse de systèmes dynamiques basée sur les fonctions de croyance n’a été que très peu abordée jusqu’à présent. Nous présentons deux techniques crédibilistes développées récemment par Smets.
Filtre de Kalman Le filtre de Kalman (KF :Kalman filter) est initialement une méthode probabi-liste très répandue pour le filtrage de données continues et souvent appliquée au suivi d’objets (filtrage de leur position et de leur vitesse). Rappelons que le KF initial est basé sur les hypothèses que les caractéristiques observées sont indépendantes conditionnellement aux éléments deΩt et que les dif-férents bruits sont Gaussiens. De plus, des KF plus élaborés ont été proposés pour le cas non linéaire ou non Gaussien dans le cadre des probabilités [Sch06, SKG06].
Le KF a été étendue aux fonctions de croyance2 par Smets et Ristic [RS04]. Les relations ma-thématiques des deux formalismes sont très proches à la différence de la phase de classification où le TBM permet de traduire bien plus aisément le comportement des objets suivis grâce au Théorème de Bayes Généralisé (GBT) et aux règles d’implication. La mise à jour consiste à combiner la BBA mesuréem˜Ωt avec la prédiction en utilisant une combinaison conjonctive. Cette combinaison permet de quantifier l’adéquation entre le modèle utilisé pour la prédiction et les données mesurées. Dans le KF, l’erreur entre la prédiction et la mesure est exploitée pour adapter la prédiction à l’instant suivant. Mémoire à facteur d’oubli La méthode de filtrage la plus commune dans le cadre des fonctions de croyance temporelles a été proposée par Smets [Sme05a] et elle est basée sur la notion dememory
decay(mémoire à facteur d’oubli). L’article [Sme05a] décrit des méthodes de résolution du conflit
lors de l’application de la règle de combinaison conjonctive (CRC). Le problème observé est le sui-vant : une source émet une BBAm˜Ωt
à des instantstdiscretsnon régulièrement espacéset il s’agit de déterminer la probabilité pignistique sur les hypothèses deΩtà chaque instant en prenant en compte les BBA passées et la BBA courante3. Smets propose tout d’abord de combiner ces BBA, présentes et passées, conjonctivement avec la CRC. Cependant, la CRC n’est pas idempotente et les CRC succes-sives peuvent générer du conflit qui ne fera qu’augmenter jusqu’à l’unité car cet élément est absorbant par la conjonction. Pour solutionner le problème du conflit, Smets propose d’utiliser une mémoire à facteur d’oubli : la BBA émise à un instant t = t1 n’a plus la même signification qu’à t = t2 où t2 ≥ t1 + ∆t et ∆t > 1. Cet oubli est représenté par un affaiblissement : la BBA précédente, par exemple àt =t1, est affaiblie proportionnellement à l’intervalle de temps∆t =t2 −t1 séparant les deux émissions successives d’une BBA par la source. L’affaiblissement a pour rôle de transférer de la masse sur le doute et de diminuer la masse sur l’ensemble vide limitant ainsi le conflit à la prochaine combinaison. La méthode de Smets respecte le schéma(( prédiction - mise à jour ))car nous pouvons
2Les fonctions de croyance utilisées sont continues [Sme05b].