A French study on radioactive waste transmutation options 1. Introduction

Camiseta 5 9 Não Há R$1.000,00

Bermudas 10 6 8 lotes R$1.300,00

Nesta tabela, subentende-se por horas de preparação a modelagem, o corte e a costura; e por horas de acabamento, o acabamento propriamente dito, passagem a ferro e embalagem. O tamanho do lote padrão é de 250 peças e a empresa poderá empregar 100 horas semanais para a preparação e 108 horas semanais para o acabamento.

O objetivo do exercicio de programação linear é o de maximizar o faturamento isto é, maximizar a fiinção objetivo, estabelecida como

1.000X+ 1.300Y

onde X e y são o número de lotes padrão de camisetas e bermudas, respectivamente, a serem fabricados. As restrições que se tem dizem respeito à preparação e acabamento, isto é, o número de horas empregadas nestas duas atividades não poderá exceder ao total de horas

restrição:

5X+10Y<100 9X + 6Y<108

Uma última restrição diz respeito à demanda. Como se viu, as camisetas não têm limite de demanda, mas as bermudas são limitadas a 8 lotes padrão. Isto significa que se pode vender tantos lotes de camisetas quanto se queira, mas não de bermudas, limitadas a um máximo de 8 lotes. A restrição pode ser escrita como:

Y< 8

Finalmente, o problema exige ainda mais duas restrições, porque o total de lotes (X e Y) fabricados não pode ser negativo. Estas restrições, óbvias, são representadas por

X >0 e Y >0

Tem-se, então um conjunto de equações (transformando as inequações em equações), igual a:

5X + lOY < 100 (restrição 1) 9X + 6Y < 108 (restrição 2)

Y < 8 (restrição 3) com as restrições adicionais

X >0 Y >0

faturamento de R$ 15.800,00. Qualquer outro tipo de solução levará a um faturamento menor. Este problema, que inclui apenas duas variáveis, comporta uma solução gráfica, que permite melhor entendimento do efeito das restrições sobre a determinação das variáveis: basta transformar as inequações em equações e plotar as retas que elas determinam em um par de eixos cartesianos tomando o cuidado de utilizar a mesma escala em ambos os eixos.

Figura 2: solução gráfica da maximização

Lotes de CanUsetas Fonte: MOREIRA (1996), adaptado.

Nesta figura foram plotadas as retas que representam as 3 restrições estabelecidas, além das duas restantes, que determinam que X e Y sejam positivos. Estas retas delimitam uma área na qual qualquer par de pontos X e Y satisfaz ao conjunto de restrições, restando escolher o par que maximiza a função objetivo. Esta zona é chamada de “zona permissivel” (MOREIRA,

1996, p. 50).

A zona permissivel é delimitada pelos eixos cartesianos e pelas interseções das retas representativas das restrições. A solução ótima do problema, isto é, a determinação do par X e Y que maximiza a função está, na definição de MOREIRA (1996), “em um dos pontos extremos da zona permissivel. Neste caso, basta colocar os pontos em uma tabela, como a mostrada na tabela 18:

Tabela 18: Pontos extremos da zona de solução permissível PONTO X Y VALOR FATURAMENTO (1000X+1300Y) A 0 0 - B 0 8 R$10.400,00 C 4 8,0 R$14.400,00 D 8 6,0 R$15.800,00 E 12 0,0 R$12.000,00 Fonte: MOREIRA (1996)

As coordenadas dos pontos, em especial os pontos C e D devem ser lidas no gráfico ou, se não houver precisão suficiente ou as escalas dos eixos forem diferentes por exigências de espaço, pela intersecção matemática entre as retas que representam as restrições:

1 e3: O ponto C será conhecido pela intersecção entre as retas que representam as restrições 5X + 10Y= 100

Y = 8 logo

X = 4 Y - 8

O ponto D será conhecido pela intersecção entre as retas que representam as restrições 1 e2:

5X+10Y=100 9X + 6Y= 108 logo

X= 8 Y = 6

Quando as variáveis forem em ntimero superior a 2, as soluções gráficas ficam bastante complexas e o problema somente poderá ser resolvido matematicamente, ou ainda, por meio de computadores. A formulação geral do problema, conforme descrita por MOREIRA (1996), começa pelo estabelecimento da função objetivo. No caso de se ter n variáveis, a fijnção objetivo a maximizar ou minimizar é

ClXl + C2X2 + C3X3 + ... + CnXn

onde os coeficientes C„ representam as contribuições à fijnção objetivo. Por sua vez , as m restrições podem ser escritas como

AnXl + A12X1 + ... AlnXn < ou > Bl A21X1 + A22X1 + .... AznXn < OU > B2

Para transfiarmar as inequações em equações, é necessário utilizar variáveis de folga

(MOREIRA, 1996), através das quais se pode converter um sistema de inequações em um outro, de equações lineares simultâneas. Uma variável de folga, segundo HADLEY (1962), representa a diferença entre o valor utilizável e o valor realmente utilizado de Bi, que representa a quantidade de recursos que está sendo considerada como integrante da restrição.

Para MOREIRA (1996, p. 55), as variáveis de folga são assim chamadas porque “podem ser identificadas com quantidades não utilizadas de recursos naquelas restrições originais que se referiam a recursos”.

Considerando as definições apresentadas, pode-se reescrever as equações de restrição:

A l l X l + A 1 2 X 1 + ... A ln X n + S l = B l A 2 1 X 1 + A 2 2 X 1 + ... A2I1XI1 + S 2 = B 2

A m l X l "I" A iti2X l + ... A m n X n + Sm = B m

Para uma melhor compreensão do papel das variáveis de folga, pode-se retomar o exemplo da empresa de confecções, no qual as equações de restrição podem ser escritas da seguinte forma:

9X + 6Y + S2 = 108 Considerando X = 2 e Y = 3, por exemplo, teria-se

Si=40

$2 = 60

o que significaria que, ao fabricar 2 lotes de camisetas e 3 lotes de bermudas, restariam,

itão utilizadas, 40 horas de preparação e 60 horas de acabamento. Estas horas, ociosas,

onerariam o custo dos produtos. Por outro lado, ao considerar X = 8 e Y = 6, que foi a solução obtida, tem-se

Si = 0 S2-O

ou seja, não restariam horas ociosas, e a mão de obra seria integralmente utilizada na fabricação. Parece intuitivo que uma boa solução sempre buscará a minimização das variáveis de folga, ou seja, a minimização dos recursos colocados à disposição e não utilizados (ociosos).

O método Simplex nada mais é do que um algoritmo que é resolvido por tentativas. Segundo MOREIRA (1996), a técnica envolve uma série de interações, contendo cada uma delas a mesma sequência de cálculos, repetidas até que se atinja a solução ótima. Cada uma das interações corresponde á criação de uma tabela, chamada tableau, que é construido de tal

forma que na linha inferior mostra se a solução encontrada naquela interação já é a melhor possível. Cada tableau explora pontos singulares da zona permissível, cada um deles levando a

outro, até que se obtenha uma solução.

Por vezes, a melhor solução encontrada apresenta ainda recursos não utilizados e por vezes só se consegue chegar a uma solução sem o atendimento a todas as restrições. Estes casos, todavia, somente acontecem em problemas constituídos de muitas variáveis ou

restrições, que somente podem ser resolvidos através de modelos computacionais.

4.2.6 - MÉTODO DA ACUMULAÇÃO DE CARGA PARA OS RECURSOS