2.4 Formules universellement valides, équivalences
2.4.1 Tautologies
Les tautologies du calcul des prédicats fournissent immédiatement des formules universellement valides du calcul des prédicats.
Proposition 2.4.1 (propriété de substitution) Soit une tautologie F du calcul propositionnel qui utilise les variables propositionnelles P1, . . . ,Pk. Soient G1, . . . ,Gkdes formules du calcul des prédicats d’un lan-gage de signature donnée. Alors la formule obtenue à partir de F en substituant G1, . . . ,Gkà P1, . . . ,Pkest une formule universellement valide.
La démonstration est immédiate, du fait que dans la définition sémantique de la satisfaction dans un modèle en calcul des prédicats, la définition dans le cas des connecteurs coïncide avec celle de la vali-dation par une valuation en calcul propositionnel.
Les formules universellement valides obtenues par la propriété précédente, sont appelées tautolo-gies du calcul des prédicats. Ce sont les formules valides pour des raisons purement propositionnelles, comme∀x A⇒ ∀x A.
Toutes les équivalences et tautologies du calcul propositionnel vu en 1.4 se généralisent donc im-médiatement au calcul des prédicats.
2.4.2 Équivalences utilisant les quantificateurs
Les équivalences qui suivent ne sont plus purement propositionnelles, on les vérifie en reprenant la définition sémantique.
La signature du langage est quelconque. On désigne parFetGdes formules quelconques.
Quantifications “inutiles” :
Sixn’apparaît pas libre dansF:
∀x F≡F ∃x F≡F (1)
Commutation des quantificateurs :
∀x∀y F≡ ∀y∀x F ∃x∃y F≡ ∃y∃x F
∃x∀y F` ∀y∃x F
mais en général (cela dépend deFet de la structure dans laquelle on interprète la formule) la réciproque est fausse :
∀y∃x F6` ∃x∀y F Négation des quantificateurs :
¬∀x F≡ ∃x¬F ¬∃x F≡ ∀x¬F (2) Conjonction et disjonction :
∀x(F∧G)≡ ∀x F∧ ∀x G ∃x(F∨G)≡ ∃x F∨ ∃x G (3)
∃x(F∧G)` ∃x F∧ ∃x G ∀x F∨ ∀x G` ∀x(F∨G) Mais « en général » la réciproque est fausse :
∃x F∧ ∃x G6` ∃x(F∧G) ∀x(F∨G)6` ∀x F∨ ∀x G par contre sixn’apparaît pas dansG:
∃x(F∧G)≡ ∃x F∧G ∀x(F∨G)≡ ∀x F∨G (4) Remarquez que l’on pouvait déjà déduire des équivalences précédentes que sixn’apparaît pas libre dansG:
∃x(F∨G)≡ ∃x F∨G ∀x(F∧G)≡ ∀x F∧G (40)
Implication :
∃x(F→G)≡ ∀x F→ ∃x G
∃x F→ ∀x G` ∀x(F→G) mais « en général » la réciproque est fausse :
∀x(F→G)6` ∃x F→ ∀x G par contre sixn’apparaît pas libre dansF:
∀x(F→G)≡F→ ∀x G (5)
et sixn’apparaît pas libre dansG:
∀x(F→G)≡ ∃x F→G. (6)
On pouvait déjà déduire des équivalences précédentes que sixn’apparaît pas libre dansF:
∃x(F→G)≡F→ ∃x G (50) et sixn’apparaît pas libre dansG:
∀x(F→G)≡ ∃x F→G. (60) À l’aide des équivalences (2) qui précèdent, et des équivalences propositionnelles, on montre faci-lement que toute formule de la logique du premier ordre est équivalente à une formule qui n’utilise que
∃,∧,¬, ou encore∀,→,⊥. On peut donc se restreindre à l’un des ces ensembles de quantificateurs et connecteurs pour démontrer des propriétés sémantiques des formules.
Exercice 9 En calcul des prédicats pour une signature quelconqueS,B[x] est une formule à une seule variable librexetR[x,y] une formule avec deux variables libresxety. Montrer que les deux énoncés suivant sont des tautologies :
En calcul des prédicats égalitaire, l’égalité n’est pas une relation ordinaire : elle est toujours inter-prétée par l’identité. On en déduit immédiatement que l’identité entraîne l’égalité, et que deux objets égaux ont les mêmes propriétés, soit :
Réflexivité de l’égalité ∀x x=x;
Propriété fondamentale de l’égalité Pour toute formuleFdu langage dont les variables libres sont parmiz,z1, . . . ,zn
∀z1. . .∀zn∀x∀y£¡
x=y∧F[x/z]¢
⇒F[y/z]¤
;
La seconde propriété a pour conséquence que l’on peut remplacer dans une formule certaines occur-rences d’un terme par un terme qui lui est égal.
La transitivité de l’égalité est essentiellement un cas particulier de la propriété fondamentale. La symétrie s’en déduit par la réflexivité, en interprétantx=xcommez=x[x/z].
transitivité de l’égalité ∀x∀y∀z£¡
Il est possible, et parfois utile de traiter l’égalité comme une relation ordinaire en calcul des prédicats non égalitaire. La signature est alors étendue par un signe de relation binaire que l’on note encore «=».
La réflexivité et la propriété fondamentale sont pris comme axiomes pour l’égalité, et ajoutés systémati-quement aux théories considérées. Les modèles sont différents : rien n’empêche maintenant que deux éléments distincts d’un modèle de la théorie de l’égalité soit égaux (au sens en relation par l’égalité) dès qu’ils ont exactement les mêmes propriétés exprimables dans le langage. On retrouve cependant un modèle du calcul des prédicats égalitaire par passage au quotient par la relation d’équivalence qui interprète l’égalité dans le modèle initial. La propriété fondamentale assure que l’on obtient un modèle des mêmes formules.
2.4. FORMULES UNIVERSELLEMENT VALIDES, ÉQUIVALENCES 43 Proposition 2.4.1 SoitS une signature, T une théorie dans le langage de signatureS avec égalité ; Alors T possède un modèle en calcul des prédicats égalitaires (égalité interprétée par l’identité) si et seulement la théorie T augmentée des axiomes de l’égalité (réflexivité, propriété fondamentale) possède un modèle en calcul des prédicats non égalitaire pour la signatureS∪{=}.
Démonstration. Le sens direct est évident, il suffit d’interpréter=par l’identité (la relation diagonale).
Pour la réciproque, soitMun modèle non égalitaire deTet des axiomes de l’égalité (signatureS∪{=}) d’ensemble de baseM. les propriétés de réflexivité de symétrie et de transitivité assurent que l’égalité est interprété par une relation d’équivalence=M. Si f est un symbole de fonctionk-aire de la signa-ture,fM son interprétation dansM est compatible avec cette relation, car l’on déduit de la propriété fondamentale
∀x1. . .xk∀y1. . .yk£¡
x1=y1∧. . .xk=yk¢
→f x1. . .xk=f y1. . .yk¤
. (C1)
De même pour les éventuels symboles de prédicatsk-aires de la signature
∀x1. . .xk∀y1. . .yk£¡
x1=y1∧. . .xk=yk¢
→P x1. . .xk→P y1. . .yk¤
. (C2)
Ceci assure que l’on peut définir de façon cohérente fonctions et prédicats par passage au quotient sur M/=M, définissant ainsi une structureN. On note ˙mla classe d’équivalence pour=Md’un élément mdeM. Alors pour toute formuleFdu langage, et tout environnement [~x:=m] suffisant pour l’inter-~ préter :
M|=F[~x:=m] si et seulement si~ N |=F[~m] .˙
On démontrer d’abord la propriété pour les formules atomiquesx=tpar induction sur la structure du termet(xest une variable) , puis pour les formules atomiques égalitaires quelconques, puis pour une formule quelconque par induction sur la structure deF.
En calcul des prédicats du premier ordre, la propriété fondamentale de l’égalité demande une infinité d’axiomes : un pour chaque formule. Quand on explicite la démonstration de la proposition précédente, on se rend compte que la propriété fondamentale de l’égalité restreinte aux formules atomiques suffit.
On en déduit la proposition suivante.
Proposition 2.4.2 Dans l’énoncé de la proposition fondamentale, on peut remplacer la propriété fonda-mentale de l’égalité par la symétrie, la transitivité de l’égalité, et les axiomes de compatibilité avec l’égalité pour chaque symbole de fonction et chaque symbole de prédicat de la signature (du type(C1)et(C2) ci-dessus).
Les axiomes donnés par la proposition sont universels, ce qui peut être exploité en raisonnement auto-matique.
Cependant utiliser ces axiomes au lieu de la propriété fondamentale pour une formule quelconque revient, à chaque fois que l’on a besoin de remplacer un terme par un terme qui lui est égal, à décons-truire puis reconsdécons-truire la formule.
D’autres quantificateurs.
On ne peut pas vraiment parler de système complet pour la logique du premier ordre. Par exemple des quantifications comme «Il existe une infinité dextels que F » ne s’expriment pas dans le langage du premier ordre.
Par contre il est bien connu que l’on peut exprimer les quantificateurs « il existe au plus unxtel que F» et « il existe un uniquextel queF» en calcul des prédicats avec égalité :
!x F≡d∀y∀y0(F[y/x]→F[y0/x]→y=y0) .
∃!x F≡d∃x F∧!x F. On montre facilement que :
∃!x F≡ ∃x(F∧ ∀y(F[y/x]→y=x)) .
¬!x F≡ ∃y∃y0(F[y/x]∧F[y0/x]∧y6=y0) .
¬∃!x F≡ ∀x¬F∨ ∃y∃y0(F[y/x]∧F[y0/x]∧y6=y0) .
Exercice 10 Exprimer en calcul des prédicats égalitaire « il existe au plus un couple (x,y) tel queF», « il existe un unique couple (x,y) tel queF». Généraliser auxn-uplets.