Formes normales complètes et bornes inférieures de FND

complet connu, pour le moment le seul connu est {¬,∧,∨}, s’exprime avec les connecteurs du système S.

Le système {¬,∧} est complet carA∨B≡ ¬(¬A∧ ¬B) (loi de de Morgan).

Le système {¬,∨} est complet carA∧B≡ ¬(¬A∨ ¬B) (loi de de Morgan).

Le système {¬,→} est complet carA∨B≡ ¬A→Bet {¬,∨} est complet.

Le système {⊥,→} est complet car¬A≡A→ ⊥et {¬,→} est complet.

1.5.4 Mise sous forme normale.

Étant donnée une formule, la mettre sous forme normale conjonctive, resp. disjonctive, consiste à trouver une formule équivalente sous forme normale conjonctive, resp. disjonctive.

Une première méthode est de chercher la table de vérité puis d’en déduire la forme normale cher-chée comme dans la preuve du théorème 1.5.4.

Une seconde méthode un peu plus directe est d’utiliser convenablement les équivalences logiques des paragraphes 1.4, 1.4 et 1.4.

Ces méthodes ne sont pas très efficaces algorithmiquement. La méthode des tables de vérité néces-site d’inspecter l’ensemble des valuations et, utilisée telle quelle, son coût est prohibitif.

Pratiquement on a souvent besoin seulement d’une forme normale non pas équivalente mais equi-satisfaisableà une formule donnée (l’une est satisfaite ssi l’autre l’est). Là il existe des algorithmes simples et efficaces que l’on décrira par la suite.

1.6 Formes normales complètes et bornes inférieures de FND

1.6.1 Impliquants, absorption et impliquants premiers

SoientF ∈

F

etC une conjonction élémentaire non vide de littéraux, surP. On dit queC est un impliquantdeFsi (C→F) est valide i.e. si pour toute valuationv∈{0, 1}^P,v(C)=1 impliquev(F)=1.

De façon équivalente,Cest un impliquant deFsiC∨F≡F.

SoientC₁,C₂des impliquants deF. On dit queC₁absorbe C₂siC₂∨C₁≡C₁autrement dit siC₂est aussi un impliquant deC₁(c’est une façon de dire queC₁estplus généralqueC₂). On dit queC₁est un impliquant premierdeFsiC₁est un impliquant deFet n’est absorbé par aucun autre impliquantC₂ deF.

Pour résumer :

C₁est un impliquant deC₂ssi (C₁→C₂) est valide ssi (C₁∨C₂)=C₂ ssi C₂absorbeC₁. De même,C₁est un impliquant premier deFssi

— C₁est un impliquant deFet

— pour toute conjonction élémentaireC₂surP, (C₁→C₂) n’est pas valide (i.e. (C₁∨C₂)6≡C₂) Par définition, tout impliquant est absorbé par un impliquant premier. En d’autres termes, les im-pliquants premiers sont en quelque sorte les imim-pliquants les plus "généraux" d’une formule.

Exemple.C₂=(x₁∧¬x₂∧x₃) est un impliquant deC₁=(x₁∧¬x₂) (C₁absorbeC₂). Ils sont tous les deux impliquants de la formuleF=x₁∨(¬x₂∧ ¬x₃). La clauseC=x₁est un impliquant premier deF. Exemple.SoientC₁=x,C₂=(x∧y),C₃=(¬x∧y) etF=C₁∨C₂∨C₃.C₁,C₂etC₃sont des impliquants deF.C₁est un impliquant premier deFmaisC₂n’est pas un impliquant premier (car il impliqueC₁).

On a doncF≡C₁∨C₃. La conjonctionC₃n’est pas non plus un impliquant premier deFcar :

— C₄=y, est un impliquant deF(le vérifier)

— C₃impliqueC₄ On a donc :F≡x∨y.

On laisse l’exercice suivant au lecteur. Bien que facile à démontrer, le résultat sera utilisé de nom-breuses fois dans la suite.

Exercice 1 SoitC1=V

i∈A1xi∧V

i∈B1¬xietC2=V

i∈A2xi∧V

i∈B2¬xi. Montrer queC1est un impliquant deC2(i.e. queC2absorbeC1) si et seulement siA2⊆A1etB2⊆B1.

Une conséquence immédiate de l’exercice 1 est que siC1est un impliquant deC2alors|C2|6|C1|. Exercice 2 SoitC=V

i∈Il_ioù chaquel_iest un littéral etFune formule propositionnelle. Montrer queC est un impliquant premier deFsi et seulement siCest un impliquant deFet aucune des conjonctions Cj=V

i∈I\{j}lin’est un impliquant deF.

La proposition suivante complète et raffine l’approche pour construire des FND par les tables de vérités. On remarque tout d’abord que pour toute FND

F=_

i∈I

Ci, C_i est un impliquant deF.

Proposition 1.6.1 Toute formule peut être mise sous forme normale disjonctive dont les conjonctions élémentaires sont précisément ses impliquants premiers.

Une telle forme FND est ditecomplète.

Démonstration. SoitF une formule propositionnelle sur un ensembleP fini. A équivalence logique près, le nombre de conjonctions élémentaires surP est fini et donc le nombre d’impliquants premiers deFest fini. SoitD₁, ...,D_mla liste des impliquants premiers deF. On sait queFadmet au moins une FND. PosonsF≡W

i∈IC_i. CommeFabsorbe chacun de ses impliquants (donc les impliquants premiers) et par associativité de la disjonction, on a :

F≡_

ChaqueC_i,i∈I, est un impliquant deF, il est donc absorbé par au moins un impliquant premier D_j, pourj∈{1, ...,m}. On a doncC_i∨D_j≡D_j. Par absorption successive de tous lesC_i on obtient que F≡Wm

j=1D_j. SoitF≡W

i∈IC_i une formule en FND. On dit que cette FND estpremièresi chaqueC_i est un impli-quant premier deFet qu’elle estnon redondantesi, quelque soitj∈I:

F6≡ _

i∈I\{j}

C_i.

Une FNDFest donc non redondante si, pour toutj∈I, il existe une valuation qui satisfaitC_j mais pasW

i∈I\{j}C_i. A contrario,Festredondantes’il existej∈Itel que toute valuation satisfaisantC_j satis-fait aussiW

i∈I\{j}Cii.e. siCj est absorbée parW

i∈I\{j}Ci. La notion de redondance généralise donc celle d’absorption.

Si une FND est complète alors elle est première. Par contre, elle peut être première sans être com-plète. En effet, une FND complète (ou simplement première) peut être redondante : certains de ses im-pliquants premiers peuvent être superflus. On peut alors éliminer certains imim-pliquants premiers tout en conservant une formule première équivalente à la formule de départ.

Exemple.La FND,

F=(x∧y)∨(y∧z)∨(z∧ ¬x)

est première (vérifiez que chacune de ses clauses sont (parmi) ses impliquants premiers) mais elle est redondante. En effet, la clause (y∧z) est superflue : toutes les valuations qui satisfont (y∧z) satisfont aussi soit (x∧y), soit (z∧ ¬x). Il s’en suit queF≡(x∧y)∨(z∧ ¬x).

Toute FND d’une formule peut-être transformée en une FND première en remplaçant successive-ment chaque conjonctionC_iqui n’est pas première par un impliquant premier qui l’absorbe. De même, à partir d’une FND, on peut obtenir une FND équivalente et non redondante en éliminant les clauses redondantes. On se sert de ces notions pour caractériser les formes FND "minimales" de certaines for-mules (ou tables de vérités).

1.6. FORMES NORMALES COMPLÈTES ET BORNES INFÉRIEURES DE FND 17

1.6.2 Formules propositionnelles positives

SoitP un ensemble de variables propositionnelle etv₁,v₂deux valuations. On dit quev₁6^v2si, pour toutx∈P,v₁(x)6^v2(x).

Définition 1.6.1 Une formule F∈

F

est positive si, pour toutes valuations v₁,v₂telles que v₁6^v2, on a : v₁(F)6^v2(F)

Proposition 1.6.2 Une formule propositionnelle F surP est positive si et seulement si tous les impli-quants premiers de F sont positifs i.e. aucun ne contient un littéral¬x avec x∈P.

Démonstration. Supposons queF est positive et qu’un de ses impliquants premierC contient des littéraux négatifs.Cest de la formeC=V

i∈Ax_i∧V

i∈B¬x_i. On sait (cf exercice 2) que dans ce cas,C⁰= Vi∈Ax_i n’est pas un impliquant deFi.e. qu’il existe une valuationvtelle quev(C⁰)=1 etv(F)=0. Siv est telle quev(C⁰)=1 alors elle vérifie,v(x_i)=1 pouri∈Aet les autres variables peuvent être assignées indifféremment. Or, on sait queCest un impliquant deFdonc la valuationv₀définie parv₀(x_i)=1 pour i∈Aetv₀(x_j)=0 pourj∈Best telle quev₀(C)=v₀(F)=1. CommeFest positive, toute assignationv, telle quev₀6^{vsatisfaitv(F)}=1. En particulier, toutes les assignationsvtelles quev(x_i)=1 pouri∈A sont dans ce cas. DoncC⁰est un impliquant deF.

Pour l’autre direction, on sait queF est équivalente àW

j∈IC_j où lesC_j sont les impliquants pre-miers, tous positifs, deF. Soitvune valuation et posonsA_v={i ∈{1, ...,n} :v(x_i)=0}. Par définition, v(Cj)=0 siCj contient un littéralxi aveci ∈Av etv(Cj)=1 sinon. Soit maintenantv⁰6=v tel que v6^v0. A nouveau,v⁰(Cj)=0 siCjcontient un littéralxi aveci∈A_v0 etv⁰(Cj)=1 sinon. Mais, comme v6^{v0, on aA}v⁰⊆Av donc {Cj:v(Cj)=1}⊆{Cj:v⁰(Cj)=1}. Doncv(F)6^v0(F).

Par extension, on dira qu’une FND est positive si elle ne contient aucun littéral négatif. Le résultat précédent implique que pour construire la FND complète d’une formule positive on ne peut s’aider des négations de variables.

Proposition 1.6.3 Soit F une formule propositionnelle positive. Alors la FND complète de F est positive et non redondante. Elle est donc l’unique FND première de F .

Démonstration. SoitF ∈

F

etvar(F)={x₁, ...,x_n}. Comme les impliquants premiers d’une formule positive sont positifs (proposition 1.6.2) et que toute formule a une FND dont les conjonctions élé-mentaires sont ses impliquants premiers (proposition 1.6.1), la FND complète deF est positive. Soit F≡W

i∈IC_i cette FND et supposons qu’elle est redondante. Soitj∈Itel que : F≡ _ i.e. ne contient pas de littéraux négatif. PosonsC_j0 =V

b∈Bx_b. On ne peut avoir A⊆BouB⊆Acar C_j6=C_j0etC_jetC_j0sont des impliquants premiers (cf exercice 2). DoncB\A6= ;i.e. il existeb∈Btel que x_bapparait dansC_j0mais pas dansC_j. Par définition dev:v(x_b)=0 et doncv(C_j0)=0. Contradition.

Noter que cette proposition n’est plus vraie siFn’est pas positive.

On peut se sevir de cette propriété pour montrer que certaines formules positive ont une FND dont le nombre minimal de conjonction élémentaire est exponentiel en le nombre de variables.

SoitP ={x₀, ....,x_2n−1} etF=V_n−1

i=0(x_2i∨x_2i+1). Une analyse de la formule (ou de sa table de vérité) donne la forme normale disjonctive complèteGéquivalenteFsuivante :

G= _

²=(²1,...,²n)∈{0,1}ⁿ

C_²= _

²=(²1,...,²n)∈{0,1}ⁿ

x_²1∧x2+²2∧. . .∧x2(n−1)+²n

La formule F est positive. Il n’y a pas d’autres impliquant premier que lesC_². L’expressionG ci-dessus est donc une FND complète deF. Par la proposition 1.6.3, l’expression donnée ci-dessus est donc non redondante et il s’agit de l’unique FND première deF. Toute autre FNDG₀équivalente àF est donc non première. Chaque clause conjonctiveCdeG₀peut donc être remplacée par un impliquant premierC^∗deFafin d’obtenir une nouvelle FNDG^∗, première, équivalente àF. Comme|D^∗|6|D|, on a que|G^∗|6|G₀|. Or, comme l’unique FND première deF estG, on aG=G^∗. Toute FNDG₀deF est donc plus longue queG. et nécessite donc un nombre de conjonctions élémentaires supérieur ou égal à 2ⁿ.

Exercice 3 Une FND

F=

m

_

i=1

(^

i∈Ak

x_i∧ ^

i∈Bk

¬x_i)

est dite orthogonale si pour toutk,l∈{1, ...,m} tels quek6=l: (A_k∩B_l)∪(A_l∩B_k)6= ;.

1. Donner un exemple de FND orthogonale avec au moins trois variables et trois conjonctions élé-mentaires.

2. Combien y-a-t-il de valuations satisfaisantF?

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