Environnements

On veut définir l’interprétation des termes et des formules closes. Mais il n’y a pas de définition par induction sur les seules formules closes à cause des quantificateurs : si la formule∀x F est close, on s’attend en général à ce que la formuleF dépende dex. On va donc interpréter un terme ou une formule avec des variables libres, ce qui est possible si l’on a choisit d’attribuer une certaine valeur aux variables libres en question : c’est ce que l’on appelle unenvironnement.

Plus formellement, on définira un environnement dans une structureM comme la donnée d’une application d’un ensemble fini de variables dans l’ensemble de baseMdeM. Six₁, . . . ,x_psont les seules variables affectées par l’environnement, et ont pour imagesm₁, . . . ,m_p (des éléments deM) on note celui ci :

[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] et parfois on note en abrégé : [−→x := −→m].

3. Les fonctions sont toujours supposéespartout définies.

4. Cet ordre n’est pas compatible avec l’addition

5. Outre que le cas où l’ensemble de base est vide a assez peu d’intérêt, cela compliquerait les systèmes de démonstrations si l’on voulait que celles-ci restent correctes dans de telles structures.

Remarquez que pour interpréter les formules propositionnelles (sans quantificateurs) et closes (donc sans variables) on peut se passer de la notion d’environnement pour définir l’interprétation.

2.3.4 Interprétation

SoitM uneS-structure d’ensemble de baseM. On va définir successivement l’interprétation des termes (par induction), des formules atomiques, et des formules (par induction).

Interprétation des termes

L’interprétation d’un termetdu langage de signatureSdansMpour l’environnement [x₁:=m₁, . . . ,x_p:= m_p] est notéet^M[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p]. C’est un élément deMqui est défini par induction surt, pour tout environnement qui attribue une valeur à toutes les variables libres det.

variable x_i^M[x₁:=m₁, . . . ,x_p :=m_p] :=m_i (si la variable n’est pas affectée par l’environnement l’interprétation n’est pas définie) ;

constante c^M[x₁:=m₁, . . . ,xp:=mp] :=c^Mpourcune constante ; fonction f t₁. . .t_n^M[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] :=

f^M(t₁^M[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p], . . . ,t_n^M[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p]) pourf un symbole de fonction deS d’aritén.

Interprétation des formules : notations

Une formule est interprétée par “vrai” ou “faux”. Pour dire qu’une formuleFestvraie dans la struc-tureMrelativement à l’environnement [x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p], on note :

M|=F[x1:=m1, . . . ,xp:=mp]

et on dira également que la formuleFestsatisfaitedans la structureM, pour l’environnement [x₁:= m₁, . . . ,x_p:=m_p]. Dans le cas contraire on notera

M6|=F[x1:=m1, . . . ,xp:=mp] .

Interprétation des formules atomiques

prédicat M|=R t₁. . . ,t_n[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] ssi

(t1M[x1:=m1, . . . ,xp :=mp], . . . ,tnM[x1:=m1, . . . ,xp :=mp])∈R^M, pourR un prédicat deS d’aritén, toutes les variables libres deR t1. . .tnétant parmix1, . . . ,xp.

égalité M|=t=t⁰[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] ssi

t^M[x₁:=m₁, . . . ,x_p :=m_p]=t^0M[x₁:=m₁, . . . ,x_p :=m_p]), toutes les variables libres det ett⁰ étant parmix₁, . . . ,x_p.

Remarquez que dans la dernière assertion, le signe “=” utilisé dans deux sens différents : comme sym-bole du langage (première occurrence), et dans son sens usuel, celui de l’identité du métalangage, pour la deuxième occurrence.

La différence entre l’égalité et les autres symboles de prédicat est que pour l’égalité, l’interprétation est imposée. La notation choisie n’a pas grande importance, on aurait tout aussi bien pu écrire la clause pour l’égalité ainsi (notons [→−x := −→m] pour [x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p]) :

M|=t=t⁰[→−x := −→m] ssi (t^M[→−x := −→m],t^0M[→−x := −→m])∈{(x,x) /x∈M}

et inversement pour la relation d’ordre6sur les entiers, on pourrait écrireu^N 6^{N vN plutôt que} (u^N,v^N)∈6^N.

2.3. INTERPRÉTATION 35 Interprétation des formules

On peut maintenant définir l’interprétation des formules par induction.

Notez bien que pour les connecteurs binaires, définis surFetG, il n’y a que 4 cas possibles suivant queM|=F[→−x := −→m] ouM6|=F[−→x := −→m] etM|=G[−→x := −→m] ouM|=G[→−x := −→m].

Formules atomiques Voir le paragraphe précédent.

absurde M6|= ⊥[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p].

négation M|= ¬F[x₁:=m₁, . . . ,xp:=mp] ssiM6|=F[x₁:=m₁, . . . ,xp:=mp].

implication M|=(F→G)[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] ssi

M|=F[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p]⇒M|=G[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p].

Le signe⇒désigne l’implication dans le métalangage. Cette clause peut paraître plus claire énoncée sous forme contraposée :

M6|=(F→G)[x1:=m1, . . . ,xp:=mp] ssi

M|=F[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] etM6|=G[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p].

conjonction M|=(F∧G)[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] ssi

M|=F[x1:=m1, . . . ,xp:=mp] etM|=G[x1:=m1, . . . ,xp:=mp]x.

disjonction M|=(F∨G)[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] ssi

M|=F[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] ouM|=G[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p].

Le “ou” est le ou inclusif du métalangage, usuel en mathématique. Cette clause peut s’exprimer peut-être plus clairement par contraposée :

M6|=(F∨G)[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] ssiM6|=F[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] etM6|=G[x₁:=m₁, . . . ,x_p:= m_p].

quantification universelle M|= ∀x F[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] ssi

M|=F[x₁:=m₁, . . . ,xp:=mp,x:=m] pour tout élémentmdeM, ceci six6∈{x₁, . . . ,xp}.

Six∈{x1, . . . ,xn} (xest déjà affectée par l’environnement) on choisityla “première” (dans l’ordre d’énumération des variables) non affectée dans l’environnement et on donne la définition ci-dessus pour∀y F[y/x].

quantification existentielle M|= ∃x F[x₁:=m₁, . . . ,x_p:=m_p] ssi

M|=F[x₁:=m₁, . . . ,xp:=mp,x:=m] pour au moins un élémentmdeM, ceci six6∈{x₁, . . . ,xp}.

Six∈{x1, . . . ,xn}, on procède comme pour∀.

Dans le cas d’une formule closeFon dira qu’elle est vraie dansM, ou satisfaite parM, ou queM est modèledeFquandMest satisfaite parM pour l’environnement vide. On note alors

M|=F.

Remarquez que dès qu’une formule close contient des quantificateurs, on a effectivement besoin de la notion d’environnement (non vide !) pour définir l’interprétation.

Laclôture universelled’une formuleFest la formule close obtenue en quantifiant universellement Fpour toutes les variables qui apparaissent libres dansF. Par exemple la clôture universelle de la for-mule (x=y∧y=z)⇒x=z est∀x∀y∀z£

(x=y∧y=z)⇒x=z¤

. Par définition, la clôture universelle d’une formule est satisfaite dans un modèle quand la formule est satisfaite pour tous les environnement possibles affectant ses variables libres.

Une formule close deS est diteuniversellement validequand elle est satisfaite dans toutes lesS -structures, et par extension une formule universellement valide est une formule dont la clôture univer-selle est univeruniver-sellement valide.

Un exemple de formule universellement valide pour n’importe quelle signatureS estx=x. En effet pour toute structureM, pour tout élémentmde l’ensemble de base deM,M|=m=m, et donc pour toute structureM,M|= ∀x x=x.

Voyons un autre exemple, prenons une signatureS quelconque, et soitF(x) une formule deS. alors∀x F(x)→ ∃x F(x) est universellement valide. En effet soitM uneS-structure et [~y:=m] un~ environnement pour toutes les variables libres qui apparaissent dansF en plus dex. Supposons que M |= ∀x F[~y :=m]. Cela signifie par définition que pour tout élément~ nde l’ensemble de base deM M |=F(n)[~y:=m]. Comme cet ensemble de base est non vide, il contient au moins un élément~ n₀et commeM|=F(n0)[~y:=m],~ M|= ∃xF[~y:=m]. On a bien montré que~ M|= ∀x F(x)→ ∃x F(x)[~y:=m]~ pour tout environnement [~y:=m].~

Dans l’exemple ci-dessus, n’importe quelle formuleF(x) convient. On parle alors deschéma de for-mules.

On a vérifié sur ces exemples que la définition de la validité dans une structure fonctionnait correc-tement. C’est bien de ceci qu’il s’agit, on apprend rien de neuf sur la validité des énoncés eux-mêmes.

On arrête là pour le moment au sujet des formules universellement valides. On verra dans les cha-pitres suivant des schémas de formules universellement valides purement propositionnels, et d’autres utilisant les quantificateurs comme le précédent.

Remarques

Cette formalisation de la sémantique des formules du premier ordre ci-dessus est due à Tarski. Plu-tôt que de définir l’interprétation d’une formule, il s’agit de formaliser celle-ci. Cette définition ne peut pas se comprendre sans avoir déjà pratiqué les mathématiques, en particulier la négation, la conjonc-tion et les quantificateurs ! Ainsi les connecteurs et les quantificateurs sont tout simplement définis ...

en utilisant ces mêmes connecteurs dans le métalangage. Ceci peut paraître tautologique, mais ne l’est pas car cette définition formelle permet de faire proprement des démonstrations de résultats non tri-viaux utilisant la sémantique, comme le théorème de complétude déjà mentionné.