Etat de connaissance sur l’écoulement uniforme
I. Etat de connaissance sur les écoulements à surface libre
I.5. Écoulement uniforme dans Les canaux ouverts 1 Introduction
I.5.2. Établissement de l'écoulement uniforme
I.5.3.3. Formule de Darcy-Weisbach
L'application de l'équation de Darcy-Weisbach définie par la relation (I.15) est également universelle; elle joue un rôle important dans le calcul des écoulements évoluant dans les conduites et leur généralisation pour les canaux ouverts connaît un grand sucée, en remplaçant le diamètre D par le diamètre hydraulique Dh.
Les relations de type Manning-Strickler ou de Chézy donne des résultats satisfaisante si et seulement si l'écoulement est turbulent rugueux, en effet on s'apparaît que dans ces relations l'effet de la viscosité cinématique est nul; est donc l'effet de nombre de Reynolds est laisse hors considération par contre la relation de Darcy-Weisbach dans laquelle figurant le coefficient de frottement dépendant du nombre de Reynolds sont applicables au régime d'écoulement de transition, turbulent rugueux et lisse.
C'est d'abord Weisbach qui fut le premier en 1845 à établir la relation du gradient de perte de charge dans les conduites circulaires. Indépendamment des travaux de Weisbach, Darcy a effectué en 1854 des travaux sur les écoulements en conduites. Il en est ainsi résulté la formule
g V D J f
h 2
2 portant le nom de Darcy-Weisbach, dans laquelle f est le coefficient de
frottement ou coefficient de résistance à l'écoulement, Dh est le diamètre hydraulique du canal et g l'accélération de la pesanteur. Nous pouvons constater que la formule de Darcy-Weisbach, elle s'exprime la proportionnalité entre le gradient de perte de charge J et la vitesse
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moyenne de l'écoulement V et le diamètre hydraulique Dh. Cette formule est aussi est bien valable au conduite fermée qui aux canaux ouverts. Lorsque l’écoulement uniforme établie dans un canal ouvert la relation (I.15) s’écrit plus simplement sous la forme :
g
La relation (I.23) est peut s’écrire souvent sous la forme suivante :
f La relation (I.24), qui traduite l’expression de la vitesse moyenne d’écoulement, avait la même forme celle de la relation (I.1) de Chézy V = CRh1/2 Le calcul du coefficient de frottement f, peut être évalué par divers relations selon la nature de régime d'écoulement.
I.6. Coefficient de frottement I.6.1. Introduction et définition
Le coefficient figurant la relation universelle de Darcy-Weisbach, donnée par la relation (I.15) qui désigné par la lettre " f " est définit comme étant le coefficient de frottement, il est également appelé coefficient de Darcy-Weisbach ou coefficient de perte de charge régulière.
Ce coefficient est une grandeur sans dimensions représentant l’influence du type d’écoulement soit laminaire ou turbulent et de l’aspect de la conduite et du canal soit lisse ou rugueux sur la perte de charge.
Le premier à associer les concepts de Darcy et Weisbach est J.T Fanning (1877) qui publie un large échantillon de valeur de f en fonction du matériau de la conduite ou de canal, d’une grandeur caractéristique de sa géométrie et de la vitesse d’écoulement. Il est d’un grand intérêt d’exprimer le coefficient de frottement, f, pour les écoulements laminaire et turbulent par l’équation de Darcy-Weisbach et la précision des résultats obtenus avec celle-ci est étroitement liée au choix de coefficient de frottement f.
Dans les années 1830, la différence entre les régimes à faible vitesse et à grande vitesse devient évidente. Osborne Reynolds (1883) décrit la transition d’un régime à l’autre et la caractérise par un nombre qui aujourd'hui porte son nom, Re donné par la relation :
32 l’écoulement. Les faibles nombres de Reynolds correspondent à un régime lent dit laminaire tandis que les grands nombres de Reynolds sont caractéristiques d’écoulements rapides et désordonnés dits turbulents, ainsi que le nombre de Reynolds caractérise aussi l’état de liquide de l’écoulement au voisinage de la particule par sa viscosité cinématique.
Au début du XXème siècle, avec le développement de nouvelles théories, on cherche en fin une expression analytique de coefficient de frottement. Ce sont Ludwing Prandtl (1875-1953), grâce à sa théorie de la couche turbulente, et ses étudiants, Théodore Von Karman (1881-1963), Paul Richard Heinrich Blasius (1883-1970) et Johann Nikuradse (1894-1979) qui feront les premières propositions d’expression du coefficient de Darcy-Weisbach en fonction de nombre de Reynolds. Alors toutes ces études que nous allons maintenant exposer ont eu précisément pour objet de préciser la forme de la fonction: f
Re, Dh
, que le coefficient de frottement prend dans sa valeur l’état de liquide de l’écoulement exprimé par le nombre de Reynolds, ainsi que de la nature et la rugosité des parois de canalisations.Un premier effort de synthèse sera fait par Hunter Rouse (1906-1966) puis Lewis Moody (1880-1953) dans les années quarante. Ils proposèrent des diagrammes récapitulant les formules les plus usitées des coefficients de frottement auteurs (Poiseuille, Prandtl, Blasius, etc). Ces diagrammes considèrent différents régimes d’écoulement en fonction du nombre de Reynolds et d’une taille caractéristique des rugosités de la surface. Plusieurs et différentes relations d’origine empirique, ont été proposées au calcul du coefficient f de frottement. Nous verrons dans ce qui suit, les plus importantes d'entre elles.
correspondent respectivement à la rugosité absolue caractérisant l'état de la paroi interne de la conduite, au diamètre intérieur de celle-ci et au nombre de Reynolds caractérisant
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l'écoulement. Celui-ci est par définition le rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité, et s'écrit:
D
Re 4Q (I.27) La relation (I.26) s'applique à l'écoulement turbulent, pour peu que le nombre de Reynolds R soit supérieur à 2300 (Sinniger et Hager, 1989).
L'écoulement turbulent est non seulement caractérisé par la valeur du nombre de Reynolds R mais aussi par celle de la rugosité relative ε/D.
Selon les valeurs de ε/D et de R, l'écoulement turbulent peut être en régime pratiquement lisse correspondant à ε/D → 0, ou en régime rugueux appelé aussi régime de pleine turbulence ou turbulent rugueux. Celui-ci correspond en règle générale aux valeurs élevées de nombre de Reynolds Re.
Ces deux régimes sont en réalité les deux états extrêmes de l'écoulement qui peut cependant se situer en zone intermédiaire dite zone de transition.
Dans le cas d'un régime d'écoulement pratiquement lisse (ε/D → 0), la relation (I.26) montre que le coefficient de frottement f ne dépend que de la valeur du nombre de Reynolds R, soit:
2
Lorsque l'écoulement se situe en zone de transition, le coefficient de frottement f répond alors à la relation (I.26) et sa valeur dépend à la fois de celle de la rugosité relative ε/D et de celle du nombre de Reynolds Re.
En admettant que les valeurs de ε/D et de Re soient données, la relation (I.26) montre que la valeur du coefficient de frottement f ne peut être explicitement déterminée. La relation (I.26) est en effet implicite vis-à-vis de f puisque celui contenu à la fois dans les membres gauche et
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droit de la relation. La détermination du coefficient de frottement f nécessite donc un procédé itératif ou graphique dans le cas où la relation (I.26) est utilisée.