Description de l’écoulement critique
II. 2.1.1.2 Equation de la charge
II.2.2.3. La courbe de la charge spécifique sous la forme adimensionnelle:
La courbe de la charge spécifique présentée sur la figure II.9 (section II.2.1.1.4. Courbe Hs(y) pour Q constant) montre la variation de la charge spécifique en fonction de la profondeur d’écoulement , pour un débit localement donné Q.
Pour un débit différent, mais toujours reste invariable, la courbe relative Hs(y) serait de forme similaire, mais la valeur de la charge spécifique Hs correspond à chaque valeur de la profondeur , serait bien sûr différente. Une courbe plus générale, applicable à toute valeur de débit unitaire , peut être obtenue en réduisant l’équation (II.61), à une forme adimensionnelle, dont nous rappelons que l’équation (II.61) s’exprime comme suit :
En rapportant celle-ci par le paramètre de profondeur critique est transformée, en tenant compte de fait que la profondeur critique de l’écoulement dans un canal de section droite rectangulaire s’écrit selon la relation (II.63), √ ⁄ :
( )
En introduisant les paramètres adimensionnels ϕ1 =Hs/yc et ϕ2 = y/yc, la relation (II.80) s’écrit : Soit :
La relation (II.82) est une équation de troisième degré permet ainsi le calcule explicite du paramètre adimensionnel ϕ2 = y/yc, lié à la profondeur critique d’écoulement , en fonction du paramètre ϕ1 =Hs/yc, dont la valeur est généralement connue en pratique par la valeur de débit volume Q. Le caractère critique de l’écoulement dans un canal de section droite rectangulaire, conduit à écrire ϕ1 = 3/2, traduisant la valeur de la charge spécifique minimale, et la relation (II.82) devient :
Nous obtenons ainsi une équation de troisième degré en ϕ2 , sans terme du seconde ordre et le discriminant de cette équation soit :
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Le discriminant est nul, alors l’équation possède une racine double ou triple et l’équation (II.83) peut s’écrire sous la forme suivante: , il est évident de cette forme il apparaît que l’équation physiquement admet une racine double présentée par . Cette solution montre que la profondeur correspond à la charge spécifique minimale est la profondeur critique.
La figure ci-dessous présente la relation adimensionnelle (II.82), pour ce type de diagramme, nous pouvons déterminer les deux valeurs possibles , l’une supérieure à l’unité et l’autre inférieure à l’unité comme indiqué l’exemple par les points A et B de la figure (II.19) correspondant à une valeur particulier, ϕ1 =Hs/yc et les profondeurs correspondants ces point sont les profondeurs correspondantes.
A B ϕA = ϕB 1,5
0 yA/yc 1 yB/yc
Figure II.19 : Courbe Hs/yc en fonction dey/yc à Q constant
De la même manière la figure (II.8) montre une relation entre le débit et la profondeur pour une charge spécifique donnée exprimée par la relation (II.61). Celle-ci peut être déduite en terme adimensionnel en la divisant par le paramètre de débit unitaire maximal est transformée, en tenant compte de fait que la valeur de débit maximum par unité de largeur dans un canal de forme rectangulaire, s’écrit , soit:
(
) Or
(
)
En multipliant cette dernière relation par , et compte tenu du fait que Hs/yc = 3/2 il vient que :
ϕ1 =Hs/yc
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( ) (
)
Après simplification et réarrangement, la relation précédente devient :
( ) ( ) ( ) La relation (II.84) traduit le fait que la profondeur y de l’écoulement est égale à la profondeur critique yc, la valeur de débit par unité de largeur du canal est exclusivement la valeur
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Les calculs obtenus regroupés dans le tableau ci-dessus par l’application de la relation (II.85) ont montrés que la présentation graphique de la relation (II.8) prend la même allure du diagramme de la figure (II.8) de section (II.2.1.1.3. Courbe y (Q) pour Hs constant).
Nous pouvons considérer les diagrammes des figures (II.17) et (II.18) respectivement comme des versions des diagrammes universelles de la courbe Hs(y) pour Q constant de la figure II.9 et la courbe y (Q) pour Hs constant de la figure II. 8. On y distingue les trois régimes connus de l’écoulement : fluvial, torrentiel et critique. Sur les figures II.19 et II.20 nous avons fait figurer, en trait discontinu, la droite limite pratique définis par le régime critique et délimitant les deux régimes de l’écoulement fluvial et torrentiel.
Le régime fluvial, correspond à y/yc > 1, et le régime torrentiel ainsi correspond à 0 < y/yc < 1.
Le diagramme de la figure II.20, montre que dans l’ensemble du régime d’écoulement à surface libre. C’est, transformé en variable adimensionnelles, la courbe y (Q) pour Hs constant qui a été définie à la section II.2.1.1.3. Compte tenu de l’utilisation des variables adimensionnelles et , la courbe est valable pour un canal de forme rectangulaire, de dimensions et de débit quelconques. Le somment C , est une caractéristique de la courbe correspond à la valeur maximale de obtenue en annulant la dérivée de la relation (II.85), soit :
√ Les solutions de cette équation, présentent les valeurs extrêmes de la relation (II.85), présentées par le maximum C de la courbe, une seule solution de l’équation se consiste dans la valeur de , et la valeur correspondante de paramètre , est donnée par la relation (II.85). Et le point C avait un intérêt représentatif du régime critique.
Dans ce contexte on peut établir une autre relation possède la même forme que celle (II.85), mais avec une meilleure définition des paramètres qui la composent, après avoir l’introduction le nombre de Froude Fr, soit :
La charge spécifique dans une section transversale de l’écoulement est :
√ √
En divisant par y les deux membres de la relation précédente il vient :
√ √ Avec √ , nombre de Froude caractéristique de l’écoulement, d’où on déduit :
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Rappelons que le débit unitaire q est donné par la relation (II.71), soit √ , pour les valeurs connues des paramètres .
En reportant la relation (II.86) dans l’expression du débit unitaire, on obtient après simplification :
√ Cette dernière relation conduit à écrire la relation (II.85) des variables adimensionnelles comme suit :
Ou
Cette relation liant étroitement le nombre de Froude Fr et les variables adimensionnelles et qui permettent de graduer les deux branches de la courbe (II.20) via le tableau de valeurs suivant :
Tableau II.2 : (q/qmax) = f (y/yc) selon la relation (II.85) et les valeurs de nombre de Froude Frselon la relation (II.89).
N° (q/qmax) (y/yc) Fr
01 0,00 0,00 -
02 0,085 0,05 7,615
03 0,167 0,10 5,291
04 0,246 0,15 4,242
05 0,322 0,20 3,605
06 0,395 0,25 3,162
07 0,464 0,30 2,828
08 0,530 0,35 2,563
09 0,593 0,40 2,345
10 0,652 0,45 2,160
11 0,707 0,50 2,00
12 0,758 0,55 1,858
13 0,804 0,60 1,732
14 0,847 0,65 1,617
15 0,885 0,70 1,511
16 0,918 0,75 1,414
17 0,946 0,80 1,322
18 0,969 0,85 1,236
19 0,985 0,90 1,154
20 0,996 0,95 1,0767
21 1,00 1,00 1,00
22 0,996 1,05 0,925
23 0,983 1,1 0,852
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N° (q/qmax) (y/yc) Fr
24 0,962 1,15 0,780
25 0,929 1,2 0,707
26 0,883 1,25 0,632
27 0,822 1,3 0,554
28 0,739 1,35 0,471
29 0,626 1,4 0,377
30 0,458 1,45 0,262
31 0,00 1,50 0,00
Il ressort de ce tableau en particulier ; que les valeurs de nombre de Froude Fr, calculées par la relation trouvées (II.89) pour une sérié des cordonnées ( , ), sont réparties sur deux branches de la courbe présentée sur la figure (II.20). La première branche correspond au nombre de Froude Fr, supérieur à l’unité qui représente le régime torrentiel de l’écoulement, et la deuxième branche correspond au nombre de Froude Fr, inférieur à l’unité et celle-ci présente le régime fluvial de l’écoulement. Il faut également noter que le sommet C, correspond à la valeur maximale de paramètre adimensionnel , représente également le régime critique qui correspond au nombre de Froude Fr égal à l’unité.
Exemple d’application II.4.
On considère un canal de section rectangulaire de largeur et de profondeur d’écoulement incident , où le débit d’eau est , débouche dans un bassin de grande dimensions.
1- Quel est le régime d’écoulement dans le canal ?
2- Quel est le niveau d’eau, dans le bassin à une distance telle qu’on puisse considérer la vitesse nulle ?
(On négligeant la perte de charge à l’entrée du bassin) Solution
1- Le régime d’écoulement dans le canal est déterminé par la valeur de la profondeur critique.
L’expression de la profondeur critique d’un écoulement franchisant un canal rectangulaire est donnée par la condition de criticité, réduite à la relation (II.59).
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Figure II.21 : Coupe transversale du canal rectangulaire
√ ( ⁄ ) √
( ⁄ )
Pour un écoulement uniforme dans ce canal et pour une profondeur d’eau, . Puisque, , (la profondeur normale est strictement inférieur à la profondeur à la profondeur critique), alors le régime d’écoulement est torrentiel.
2- Quand l’eau enfonce dans le bassin ; le régime devient fluvial. En effet de la cause du passage brutal du régime torrentiel dans le canal au régime fluvial dans le basin, il ya un ressaut hydraulique dans le canal comme montre la figure ci-dessous.
Figure II.22 : Schéma simplifier d’une coupe longitudinale d’un écoulement dans un canal raccordé avec un bassin de grandes dimensions
La valeur de la profondeur d’eau , juste après le ressaut hydraulique dans le canal est donnée par la relation des profondeurs conjuguées avec la profondeur critique ou par la relation de (Bélanger,1838) suivante :
Niveau critique
Ressaut hydraulique
Nc (niveau critique) Nn (niveau normal)
Canal Bassin
101
Avec et , on trouve .
Si on néglige la perte de charge singulière engendrée par l’élargissement à l’entrée du bassin, la charge spécifique est constante entre la section de la profondeur et le bassin, c’est-à-dire :
Etant la vitesse , dans le bassin est très faible, le carrée de cette vitesse est tend vers le zéro, alors l’égalité ci-dessus est devenue comme suit :
Et avec ⁄ on a la valeur de la profondeur d’eau dans le bassin égale à .
Conclusion
Le présent chapitre de notre étude a eu pour objectif de proposer un état de connaissance sur la description l’écoulement critique ; nous avons également monté que ce type d’écoulement présent un état instable, dues aux fluctuations de la surface libre caractérisées par une vitesse critique égale la célérité d’onde. (Bakhmettef 1932, Chow, 1959 ; Henderson, 1966 ; French, W. Hager, 1983 ; French ,1985 et Naudascher, 1987) ont montré que l’écoulement critique est régie par la relation universelle, ( ⁄ ) ( ⁄ ) et la solution de cette équation présente la profondeur critique. Cette profondeur correspond au minimale de la charge et au maximum de débit franchisant la section critique. Dans ce chapitre nous avons examiné cette notion sur les canaux de forme rectangulaire et triangulaire et montre que la solution de la condition de criticité est exacte, et pour les autres formes nous nous somme traiter le chapitre suivant de cette étude.