De la formule à l'automate

Nous montrons dans ette partie, omment onstruire indu tivement à partir d'uneformule

φ

dupremierordreave des lturestransitives, unautomateàjetons re onnaissant lelangagedéni par

φ

.

Pourle asnon-déterministeoùnous onsidéronsuneformuleFO

+pos

TC,nous reprenons i-dessous lapreuve de [19℄ quiest assez simple.

Lemme 4.3 Pourtoute formule loseFO

+ pos

TC

ψ

, ilexiste un

PTAk

quire on- naît le langage déni par

ψ

.

Preuve.

Unevaluationdes variableslibresd'uneformuleFO

+ pos

TC estxée en posant unjetonparvariabledansl'arbredonné.Demanièreformelle,sion onsidèrelafor- mule

φ(x1, · · · , xm)

,un arbre

t

etdes n÷uds

u1, · · · , um

de

t

,l'automateàjetons

Aφ

onstruit pour

φ

doit vérier la propriété suivante : étant donné un arbre

t

où les n÷uds

u1, · · · , um

sont marqués, ilexiste une exé ution de

Aφ

à partirde lara ine etde l'état initialseterminantà lara ine dansun état a eptant sietseulementsi

t |= φ(u1, · · · , um)

.

Pour les formules atomiques, il est très fa ile de onstruire un automate déter- ministe

Aφ

. Par exemple, l'automate orrespondant à la formule

x < y

ee tue un par oursen profondeurde l'arbre

t

donnépour her her len÷udmarqué orrespon- dant à la variable

y

, remonte à partir de e n÷ud jusqu'à la ra ine et a epte s'il roiseau ours de ette remontée len÷ud marqué orrespondant à

x

.

Nouspro édons maintenantpar indu tion sur la formule.

Pour lanégationd'uneformuleatomique

φ

,ilsutde omplémenterl'automate déterministe

Aφ

en utilisant lethéorème 3.5.

Pour l'unionet l'interse tiondeux formules FO

+ pos

TC, nous utilisons lapro- position2.3.

Pour une quanti ation existentielle

∃x φ

, l'automate hoisit de manière non- déterministe un n÷ud de l'arbre orrespondant à la variable

x

, le marque ave un jetonpuis simule l'automate

Aφ

.

Pour une quanti ation universelle

∀x φ

, l'automate ee tue un par ours en profondeurdel'arbre,à haquefoisqu'ilvisiteunn÷udpourlapremièrefoisdans e par ours,ilposeunjetondessusetilsimulel'automate

Aφ

.Si

Aφ

a epte,l'automate qu'on onstruit lève le jeton et ontinue son par ours pour pouvoir tester le n÷ud suivant.

Ilneresteplusqu'àmontrer omment onstruireunautomate

A

qui orrespondà laformuleTC

x′_,y′

x,y

φ(x, y, ~zm)

.Onrappellequelesn÷uds orrespondantauxvariables libres

x

′_{, y}′

et

~zm

sontmarqués.L'automate

A

devineunesuitede n÷udspartantde

x′

etutilise sesjetons pour vérierque

φ

estsatisfaite pour haque oupleden÷uds onsé utifsde ettesuitedelamanièresuivante.L'automate

A

ommen epar poser sonjeton

nx

surlen÷ud

u1

orrespondantàlavariable

x

′

puisil hoisitunn÷ud

u2

etpose son jeton

ny

dessus.Lenuméro de jeton

ny

est telque

nx

= ny+ 1

. Ensuite,

A

simule l'automate

Aφ

obtenu d'après

φ

par indu tion et vérie ainsi sila formule

φ

est bien satisfaite par les n÷uds

u1

et

u2

qui sont marqués par les jetons

nx

et

ny

. Si e n'est pas le as, l'automate

A

rejette et sinon

A

retourne sur le n÷ud

u2

marqué par le jeton

ny

, lève les jetons

ny

et

nx

à partir du n÷ud

u2

et repose le jeton

nx

sur len÷ud

u2

.Remarquons quelejeton

nx

est levéàdistan e,l'automate

A

onstruitest don unautomate àjetons dumodèle fort.Si

u2

est len÷udmarqué qui orrespond à la variable

y

′

, l'automate

A

lève le jeton

nx

et a epte. Sinon,

A

hoisitun nouveaun÷ud

u3

,posersonjeton

ny

dessusetvériesi

φ

estsatisfaitepar lesn÷uds

u2

et

u3

.L'automate

A

ontinuesonexé utionainsijusqu'à equ'ilrejette oubienqu'il hoisisselen÷ud orrespondantàlavariable

y

′

,qu'ilposeson jeton

ny

dessusetqu'ilvérieque

φ

est satisfaite par lesn÷udsmarquéspar lesjetons

nx

et

ny

. Dans e as, l'automateabien vérié qu'ilexiste une suitede n÷uds onsé utifs dun÷ud orrespondantàlavariable

x

′

aun÷ud orrespondant àlavariable

y

′

telle que

φ

est satisfaite pour tout ouple de n÷uds onsé utifs de ette suite.



La di ulté supplémentaire dans le as déterministe de [19℄ est de onstruire indu tivement des automates d'une part pour la négation et d'autre part pour la lture transitive déterministe d'une formule FO+DTC donnée. Nous allons voir que les résultats du hapitre 3 é artent es di ultés. D'après le lemme 3.5, nous pouvonseneet,étantdonnéunautomated'arbresàjetonsdéterministe,d'unepart onstruireunautomateàjetonsdéterministequire onnaîtle omplémentdulangage re onnu par

A

et d'autre part onstruire un automate déterministe équivalent à

A

quine bou le pas.

Lemme 4.4 Pourtoute formule lose FO+DTC

ψ

, ilexiste un

DPTAk

quire on- naît le langage déni par

ψ

.

Preuve. Dansle asdéterministe,onraisonneen oreparindu tionsur laformule. On note d'abord queles automates onstruits pour lesprédi ats élémentaires dans lapreuve du lemme pré édent sont des automates déterministes.

et le omplément on utilise le théorème 3.5. Pour la quanti ation universelle, on pro ède ommedansle as non-déterministe: l'automate onstruit dansle as non- déterministe pour la formule

∀xφ

est déterministe si l'automate onstruit pour la formule

φ

est déterministe Pour une quanti ation existentielle du premier ordre

∃xφ

, l'automate ee tue un par ours en profondeur de l'arbre, à haque fois qu'il visiteunn÷udpourlapremièrefoisdans epar ours,ilposeunjetondessus,simule l'automate

Aφ

onstruit par indu tion. D'après le théorème 3.5, on peut supposer que l'automate à jetons déterministe

Aφ

est à exé utions nies. Si l'automate

Aφ

rejette lorsde ette simulation,l'automate quenous onstruit pour laformule

∀xφ

lève le jeton et ontinue son par ours en profondeur pour tester le pro hain n÷ud visité.

Il ne reste plus qu'à onsidérer un opérateur de lture transitive déterministe. On her he don à onstruire

A

un automateà jetons déterministe orrespondant à laformuleDTC

x′_,y′

x,y

φ(x, y, ~zm)

où

φ

est un prédi atfon tionnelrelativementà

y

.On onsidère l'automateà jetons déterministe onstruit pour la formule

Aφ

.D'après le théorème3.5,onpeutsupposerque

Aφ

est àexé utionsnies.Contrairementau as non-déterministe,onne peut pas deviner le hemin du n÷ud orrespondant à

x

′

au n÷ud orrespondant à

z

′

, onpro ède de manièresimilaire au as non-déterministe mais l'automate

A

doit tester toutes les possibilités à haque étape où il pose le jeton

ny

de la manière suivante. L'automate

A

pose d'abord son jeton

nx

sur le n÷ud

u1

orrespondant à la variable

x

′

puis il ee tue un par ours en profondeur de l'arbre et à haque fois que

A

visite un n÷ud

v

pour la première fois dans e par ours il pose son jeton

ny

= nx

− 1

sur e n÷ud et simule l'automate

Aφ

à exé utionsniespourvériersi

φ

est satisfaitepar

u1

et

v

.Si

Aφ

rejette,l'automate

A

lève le jeton

ny

pour pouvoir le reposer sur le n÷ud qu'il visite juste après dans son par ours en profondeur. Si,pour tous les n÷uds de l'arbre qui sont visités par

A

dans le par ours en profondeur,

Aφ

rejète,

A

rejette aussi. Dans le as ontraire

Aφ

a marqué ave son jeton

ny

l'unique n÷ud

u2

tel que

φ

est satisfaite par

u1

et

u2

.A partirde e n÷ud

u2

,

Aφ

lève lejeton

ny

puis lejeton

nx

etrepose lejeton

nx

sur le n÷ud

u2

. L'automate

A

ontinue son exé ution ainsi jusqu'à e qu'il rejette ou bien qu'il pose son jeton

ny

sur le n÷ud orrespondant à la variable

y

′

et qu'il vérie que

φ

est satisfaite par les n÷uds marqués par les jetons

nx

et

ny

. Dans e as, l'automate a bien vérié qu'il existe une suite de n÷uds onsé utifs du n÷ud orrespondantàlavariable

x

′

aun÷ud orrespondantàlavaraible

y

′

telleque

φ

est satisfaite pour tout ouplede n÷uds onsé utifs de ette suite, la formule est don

bien vériée et

A

a epte.



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