La famille de langages L n

Dans ette partie,nous dénissonslafamillede langage

(Ln)n∈N

>0

etnousmon- trons que haque langage

Ln

est re onnu par un automate déterministe à

n

jetons. Cette famillede langagesest dénie indu tivement à partir du langage

L

p,p

qui lui même onstruit en s'inspirant du langage

L

p

utilisé par M. Boja« zyk et T. Col- ombet pour séparer les langages d'arbres réguliers des langages re onnus par un automate d'arbres heminant.

Notation 6.1 On note

L

p

l'ensemble des arbres quasiment blan s

t

tels que, dans lastru ture debran hement

σ(t)

, tous les heminsde lara ineàune feuilleontune longueurpaire.

tient à

L

p

ar dans sa stru ture de bran hement représentée à droite de la gure, tous les hemins de lara ine àune feuille sont de longueur

2

.

Lelemme i-dessous aété démontré dans [7℄.Sapreuve est te hniqueet di ile et e lemme permet de déduire que

L

p

ne peut pas être re onnu par un automate heminant.

Lemme 6.2 Pour tout automate heminant

A

, il existe un arbre

s

′

dans

L

p

et un arbre

t

′

qui n'appartient pas à

L

p

tels que

s

′

est

0

-simulé par

t

′

. Rappelons qu'étant donné un automate heminant

A

, un arbre

s

′

est

0

-simulé par un arbre

t

′

si, d'après la dénition 5.4, les ouples d'états orrespondant à des bou les de

A

dans

s

′

orrespondent également à des bou les de

A

dans

t

′

. Nous montrons dans la proposition 6.2 que le langage

L

p

est re onnu par un automated'arbresdéterministeàun jeton.Pour onstruire indu tivementlafamille de langages

Ln

, nous allons ependant dénir à partir de

L

p

un nouveau langage d'arbres

L

p,p

qui possède une propriété plus forte que elle du langage

L

p

donnée par lelemme 6.2.

Nousavons en eet besoin d'un langage d'arbres

L

satisfaisantla propriété sui- vante : pour tout automate heminant il existe deux arbres

0

-équivalents tels que l'un est dans le langage

L

l'autre non. En utilisant le lemme 6.2, on obtient deux arbres

s

′

_{∈ L}p

et

t

′

_{∈ L/}

p

tels que

s

′

est

0

-simulépar

t

. Nous voulons en plus que

t

′

soit

0

-simulépar

s

′

.

Rappelons en ore que, d'après la dénition 5.4, étant donné un automate he- minant, deux arbres

0

-équivalents sont deux arbres ayant exa tement les mêmes ouplesd'états orrespondant à des bou les de la ra ineà la ra ine.

Notation 6.2 On onsidère

L

p,p

l'ensemble des arbres quasimentblan s

t

pourles- quels la stru ture de bran hement

σ(t)

ontient un nombre pair de n÷uds

v

de

1

∗₂

telsque, dans le sous-arbre

σ(t)|v

, tous les heminsd'une feuilleà la ra inesont de longueurpaire.

Nousavons vudans l'exemple2.18quelesn÷uds d'unarbre de laforme

1

∗

sont appelés lesn÷uds du hemin le plus àgau he.

Exemple 6.3 La gure 6.3 représente un arbre

t

de

L

p,p

, nous avons marqué les n÷uds du hemin le plus à gau he de la stru ture de bran hement. Nous pouvons ainsivoirquedanslastru turedebran hementde

t

,ilexistedeux n÷udsdu hemin leplus à gau he dont lesous-arbre droit est tel que tous les hemins de la ra ine à une feuille sont de longueur paire. L'arbre représenté sur la gure appartient don bien aulangage

L

p,p

.

Nousmontronsmaintenant quelelangage

L

p,p

satisfait lapropriété vouluedon- née par la proposition suivante.

Proposition 6.1 Pour tout automate heminant

A

, il existe un arbre

s

dans

L

p,p

et un arbre

t

qui n'appartient pas à

L

p,p

bbbbbb

bbbbb

bbbbb

bbbbb

∈ Lp

∈ Lp

/

∈ Lp

/

∈ Lp

Fig. 6.3 Représentation d'un arbre de

L

p,p

Preuve.

On onsidère

A

un automate heminant. Soient

s

′

et

t

′

les arbres donnés par le lemme6.2.On note

m

lenombrede

0

- omportementsde

A

poour des arbres.Etant donné un entier

i

stri tement positif, on note

ti

l'arbre dont le hemin le plus à gau he est de longueur

(m + 1)

ettelqueun sous-arbre enra iné sur un n÷ud de la forme

1

j₂

ave

j ∈ [0, m]

est

s

′

si

j < i

et

t

′

sinon.On observe que

ti

est dans

L

p,p

si etseulementsi

i

est pair. On remarqueensuiteque

ti+1

est obtenuà partirde

ti

en remplaçant un des sous-arbres

s

′

par

t

′

. La suite des

0

- omportements pour

ti

ave

i ∈ [0, m]

est don roissante et omme

m

est le nombre de

0

- omportements pour desarbres,ilexisteun entier

ℓ ∈ [0, m]

telque

A

alemême

0

- omportementpour

tℓ

et

tℓ+1

. Commeun seul de es deux arbresappartient à

L

p,p

,on abien démontré le lemme.



Les langages

L

p

et

L

p,p

ne peuvent don pas être re onnus par un automate heminant.La proposition i-dessous permetalors de séparerla lassedes langages re onnuspar un automate d'arbres à1 jetonde la lasse des langagesre onnus par un automate d'arbres heminant.

Proposition 6.2 Le langage

L

p

, respe tivement

L

p,p

, est re onnu par un automate d'arbres déterministe à 1 jeton.

Preuve.

On ommen e par montrer ette proposition pour le langage

L

p

. On onsidère unarbrequasimentblan

t

eton onstruit i-dessousunautomatedéterministeàun jeton

A

p

quire onnaît elangage.Cetautomate ommen eparee tuerunpar ours en profondeur de

t

. A haque fois qu'il visite un n÷ud dans e par ours,

A

p

pose un jetonsur e n÷ud puis ee tue un simple par ours en profondeur du sous-arbre

ontiennent une feuille étiquetée par

a

et don si e n÷ud est dans la stru ture de bran hement de

t

et, enn, il lève le jeton pour pouvoir le reposer sur le pro hain n÷ud qu'il visite. L'automate

A

p

peut alors al uler la parité du nombre de fois qu'il passe par un n÷ud de la stru ture de bran hement au ours de son par ours en profondeur de

t

. Il vérie que e nombre est impair à haque foisqu'il visiteune feuilleétiquetéepar

a

etre onnaît ainsi le langage

L

p

. On onstruit maintenant

A

p,p

un automate déterministe à1 jetonqui re onnaît

Lp,p

. On onsidère à nouveau un arbre quasiment blan

t

. L'automate

A

p,p

ee tue un par ours en profondeur de

t

. A haque fois qu'il visite un n÷ud

u

, il détermine omme

A

p

si e n÷ud est dans la stru ture de bran hement de

t

. Si 'est le as, avantde leverlejetonde

u

,ilee tueun par oursen profondeur dedroiteàgau he à partir de

u

et vérie si, après avoir visité le sous-arbre enra iné en

u

dans e par ours, l'automate remonte jusqu'à la ra ine sans visiter de feuilles étiquetées par

a

. Il détermine ainsi si le n÷ud

u

appartient au hemin le plus à gau he de la stru ture de bran hement

σ(t)

. L'automate

A

p,p

peut ainsi vérier à haque étape de son par ours s'il est sur un n÷ud du hemin leplus à gau he de lastru ture de bran hement de

t

. L'automate vérie alors pour haque n÷ud du hemin le plus à gau hede

t

silesous-arbredroitde en÷udestdans

L

p

enpro édant omme

A

p

mais en vériant aussi à haque fois qu'ilviste un n÷ud de la stru ture de bran hement s'il est revenu sur le hemin le plus à gau he de la stru ture de bran hement. Il ompteaussi laparitédu nombre de sous-arbresde

L

p

enra inés en un lsdroit du hemin leplus àa gau he de

σ(t)

qu'il a visités. L'automate

A

p,p

re onnaît ainsi le langage

L

p,p

.



Nous onstruisonsmaintenantune famillede langages

Ln

àpartirdu langagede base

L1

= L

p,p

qui satisfait lelemme 6.1. Notation 6.3 On note

(Ln)n∈N

>0

lafamille de langages d'arbres dénis indu tive- ment ainsi :



L1

est le langage

L

p,p

.

 pour

n > 0

, le langage

Ln

est l'ensemble des arbres à

n

niveaux dont le

Ln−1

-repliage est dans

L

p,p

.

Nousétendonsmaintenantlaproposition6.2àtousleslangagesdelafamille

(Ln)n∈N

>0

. Lemme 6.3 Pour tout

k ∈N>0

,

Lk

est re onnu par un automate déterministeà

k

jetons.

Preuve. On pro ède par indu tion sur

k

. Le as

k = 1

est résolu par la proposi- tion 6.2.

On suppose don que

k > 1

. On veut onstruire un automate à

k

jetons

A

qui re onnaît

Lk

. On onsidère un arbre

t

sur l'alphabet

{a, b, c}

. L'automate à

k

jetons qu'on onstruit peut vérier si un n÷ud est sur le hemin le plus à droite de la stru ture de bran hement du

Lk−1

-repliage de

t

de la manière suivante. Il pla e son jeton

k

sur e n÷ud puis il ee tue un par ours en profondeur des sous- arbresdroitetgau he de en÷udmarqué.Pendant e par ours,à haquefoisque

A

visite un n÷ud du niveau

(k − 1)

il simulel'automate à

(k − 1)

jetons obtenu par indu tion pour le langage

Lk−1

et vérie si le sous-arbre enra iné en e n÷ud du

niveau

(k − 1)

appartient à

Lk−1

ounon. Enn il retourne au n÷ud marqué par le jeton

k

etee tue un par ours en profondeur de droite à gau he et vérie qu'après avoirpar ourulesous-arbreenra inéaun÷udmarquépar lejeton

k

ilnevisiteplus quedes feuillesétiquetéespar

b

.Nousdé rivons maintenant omment

A

pro èdesur l'arbre

t

.L'automate

A

ommen eparvérier ommeilestdé ritdanslelemme6.1 que

t

est un arbreà

k

niveaux. Il ee tue ensuiteun par ours en profondeur de

t

et visiteainsitous lessous-arbresenra inés en un lsdroit du heminleplus àgau he delastru turedebran hementdu

Lk−1

-repliagede

t

.On onsidère

t

′

unde essous- arbresde

t

et onnote

V

l'ensembledes n÷uds

v

de

t

′

du niveau

(k − 1)

tels que le sous-arbreenra iné en

v

appartientà

Lk−1

et

W

l'ensembledes n÷udsde

t

′

dont le sous-arbregau heetlesous-arbredroit ontiennent ha unaumoinsun n÷udde

V

. Pour vérier si les hemins de la ra ine de

t

′

à un n÷ud de

V

ontiennent ha un un nombre pair de n÷uds de

W

, l'automate

A

pro ède de la manière suivante. Il ee tue un par ours en profondeur de

t

′

, à haque fois qu'il visite un n÷ud

v

, il pose son jeton

k

sur e n÷ud et vérie si e n÷ud est un ls droit du hemin le plus à gau he pour savoir s'il a ni de visiter

t

′

. Il détermine ensuite si le

v

n÷ud quiest toujours marqué par le jeton

k

est un n÷ud de

W

.Pour ela il vérie si les sous-arbres droit et gau he de

v

ontiennent ha un un n÷ud de

V

. On remarque que omme le niveau

k

de

t

est xé l'automate peut ompter le niveau du dernier n÷udde

t

étiquetépar

c

qu'il a roisé.Parindu tion,l'automate peut don vérier siun n÷uddu niveau

(k − 1)

appartientà

V

en utilisantses

(k − 1)

jetons restants. L'automate ompte ainsi la parité du nombre de n÷ud de

W

qu'il roise dans son par ours de

t

′

et vérie que e nombre est pair à haque fois qu'il est sur le niveau

(k − 1)

. L'automate

A

vérie ainsi si le

Lk−1

-repliage de

t

′

est dans

L

p,p

. Il peut alors ompter laparitédessous-arbres enra inésen un lsdroitdu heminleplus à gau hedelastru turedebran hementdu

Lk−1

-repliagede

t

telsquele

Lk−1

-repliage est dans

L

p

. L'automate

A

re onnaît ainsi le langage

Lk

.



Nous avons ainsi déni une famillede langages

(Ln)n∈N

>0

telle que haque lan- gage

Lk

est re onnu par un automate déterministe à

k

jetons et telleque

L1

vérie lapropriété donnée par laproposition 6.1.

Dans le document Automates d'arbres à jetons (Page 116-120)