La famille de langages M n

Nous onstruisons dans ette partiela famillede langagesàniveaux

(Mn)n∈N

>0

etnous dé rivons pour haque entier

k

stri tement positif un automate heminant quire onnaîtlelangage

Mk

.Lelangagedebaseutilisépour onstruire ettefamille a été introduit par M. Boja« zyk et T. Col ombetdans [6℄ pour prouver qu'on ne pouvaitpas déterminiserun automated'arbres heminant.La onstru tiondelafa- millede langages

(Mn)n∈N

>0

àpartirde elangagedebasequenousappellerons

L

3g

est similaireà elle de la famillede langage

(Ln)n∈N

>0

à partir du langage

L

p,p

. Les arbresde

L

3g

sont des arbres quasiment blan s ave trois feuillesétiquetées par

a

. Remarque 6.3 Sion onsidère l'ensembledes arbresquasimentblan sayantexa - tementtroisfeuillesétiquetéesparlalettre

a

,ilexistepour esarbresdeuxstru tures de bran hement possible que nous représentons gure 6.4.

Fig. 6.4 Les stru tures de bran hement possiblesd'un arbre ave 3

a

Notation 6.4 On note

L

3g

l'ensemble des arbres quasiment blan s

t

dont lastru - turedebran hement

σ(t)

estlastru tured'arbrereprésentéegure6.5.On onsidère

Fig. 6.5La stru ture de bran hement possible d'un arbre de

L

3g

que la ra ine des arbres de

L

3g

est étiquetée par la lettre

c

an d'avoir un langage d'arbres à 1 niveau.

Exemple 6.4 L'arbre quasiment blan

t

représenté à gau he de la gure 6.6 ap- partient à

L

p

omme le montre sa stru ture de bran hement représentée à droite de la gure. Dans ette gure, nous avons noté uniquement les feuilles de l'arbre

t

étiquetées par

a

.

a

a

a

t

σ(t)

Fig.6.6 Représentation d'un arbre de

L

3g

Le langage

L

3g

satisfait la propriété dé rite dans le lemme i-dessous qui a été démontré dans [6℄. Ce lemme a pour onséquen e immédiate que

L

3g

ne peut pas êtrere onnu parun automate heminantdéterministeetilsera utilisédans lasous- se tion6.2.3.

Lemme 6.4 Pour tout automate heminant déterministe

A

, il existe un arbre

s

′

dans

L

3g

et un arbre

t

′

qui n'appartient pas à

L

3g

telsque

s

′

et

t

′

sont

0

-équivalents. Le langage

L

3g

satisfait ainsi dire tement la propriété souhaitée ontrairement au langage

L

p

à partir duquel nous avons du dénir

L

p,p

. Le langage

L

3g

lelangage de base de la famillede langages

(Mn)n∈N

>0

quenous dénissons par la suite.

Laproposition i-dessousimpliquequelelangage

L

3g

séparela lassedeslangages re onnus par un automate heminant non-déterministe de la lasse des langages re onnuspar un automate déterministeà 1 jeton.

Proposition 6.3 Le langage

L

3g

est re onnu par un automate heminant non- déterministe.

Preuve. On dé rit dans ette preuve un automate heminant non-déterministe

A3g

quire onnaît lelangage

L

3g

.Etantdonnéun arbre

t

,l'automate

A

3g

ommen e par ee tuer un par ours en profondeur et vérie ainsi de manière déterministe que l'arbre a exa tement trois feuilles étiquetées par la lettre

a

et que tous les autres n÷uds sont étiquetés par la lettre

b

. L'automate

A

3g

doit ensuite trouver lequel des deux arbres de la gure 6.4 est la stru ture de bran hement de

t

. Pour ela, il se rend sur la feuille étiquetée par

a

la plus à gau he de

t

en ee tuant un nouveau par ours en profondeur de gau he à droite jusqu'à e qu'il atteigne une feuille étiquetée par la lettre

a

. A partir de ette feuille,

A

3g

remonte de manière non-déterministejusqu'à un an être

u

de ette feuillepuis ilee tue à partir de e n÷udun par oursenprofondeur dedroiteàgau heeta eptes'il roiseexa tement deuxfeuillesétiquetéesparlalettre

a

au oursde edernierpar ours.Sil'arbre

t

est dans

L

3g

ilexiste toujoursune exé utiona eptantede

A

3g

:par exemple elle pour laquelle

A

3g

remontedemanièrenon-déterministejusqu'au n÷uddontlesous-arbre gau he ontient lafeuilleétiquetée par

a

laplus à gau he de

t

etdont lesous-arbre droit ontient la deuxième feuillede

t

étiquetée par

a

. Si l'arbre

t

a lastru ture de bran hement représenté à droite dans la gure 6.4, l'automate

A

3g

roise toujours 1 ou bien 3 feuilles étiquetées par la lettre

a

dans son par ours en profondeur de droiteàgau he àpartird'un an être

u

delafeuilleétiquetéepar

a

laplusàgau he.



Nous onstruisons maintenant une famille de langages

(Mn)n∈N

>0

à partir du langagede base

M1

= L

3g

. Cette onstru tion est similaireà elle de la famille de langages

(Ln)n∈N

>0

àpartir du langage de base

L3g

.

Dénition 6.4 La famille de langages d'arbres

(Mn)n∈N

>0

est dénie indu tive- ment ainsi :



M1

est le langage

L

3g

.

 pour

n > 0

, le langage

Mn

est l'ensemble des arbres à

n

-niveaux dont le

Ln−1

-repliage est dans

L

3g

.

Lemme 6.5 Pour tout

k ∈

N>0

,

Mk

et son omplément sont re onnus par un automate heminant non-déterministe.

Preuve. On pro èdepar indu tionsur

k

.Le as

k = 1

estrésolu partiellementpar laproposition6.3.

On suppose que

k ≥ 1

.Soit

t

un arbre. L'automateque l'on onstruit pour

Mk

vériedansunpremiertempsque

t

estun arbre

k

niveaux puisvisitetouslesn÷uds duniveau

(k−1)

.Pour ha unde esn÷uds

u

,ildevinesilesous-arbreenra inéen

u

estdans

Mk−1

etvériesi e hoixest orre tensimulantlesautomatesdonnéspar

l'hypothèse d'indu tion pour le langage

Mk−1

et le omplément de

Mk−1

. Il rejète l'arbresi elui ine ontientpasexa tementtrois sous-arbresde

Mk−1

enra inés en unn÷ud du niveau

(k − 1)

. Lasuitede la onstru tionde l'automatepour

Mk

suit lemêmeprin ipeque ellede l'automate

A

3g

de lapreuvede laproposition6.3. On note

u1, u2, u3

les trois n÷uds ordonnés de gau he à droite du niveau

(k − 1)

dont lesous-arbre est dans

Mk−1

.L'automate onstruit pour

Mk

serenden

u1

,remonte dans l'arbre vers un an être

u

de

u1

de manière non-déterministe puis ee tue un par ours en profondeur de droite à gau he en vériant si haque n÷ud du niveau

(k − 1)

qu'ilvisiteest undes troisn÷uds

u1

,

u2

ou

u3

.L'automatepour

Mk

a epte sidurantledernierpar oursen profondeur àpartirdun÷ud

u

,il roise exa tement deux de ses trois n÷uds.

L'automatequ'on onstruitpourre onnaîtrele omplémentde

Mk

véried'abord de manièredéterministesil'arbre

t

est à

k

niveaux. Si e n'estpas le as ila epte. Ilvérieensuitesil'arbre

t

ontientexa tementtroissous-arbresde

Mk−1

enra inés enun n÷udduniveau

(k − 1)

eta epte si e n'estpas le as. Ennl'automatepro- ède ommel'automatepour

Mk

pourvériersile

Mk−1

-repliagede

t

alastru ture de bran hement représenté à gau he de lagure 6.4.



Nous avons ainsi déni une famillede langages

(Mn)n∈N

>0

tels que haque lan- gage

Mk

est re onnu par un automate heminant et telque

M1

vérie la propriété donnée par le lemme6.4.

6.2 Nombre de jetons, déterminisme et pouvoir d'ex-

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