Chapitre 2 : Modélisation du comportement
2.6 Modélisation de la localisation
2.6.2 Formulation du critère de Rice
Dans l’approche de Rice, la localisation est considérée comme une bifurcation à partir d’un état de déformation homogène vers un état où la déformation est concentrée à l’intérieur des bandes de cisaillement. Dans ces mêmes travaux, l’hypothèse d’un milieu infini est faite pour simplifier la démarche ce qui justifie aussi de l’état homogène de déformation. D’après Rudnicki et Rice (1975) et Rice (1976), ce moment de passage d’un état homogène à un état non-homogène correspond à une discontinuité du gradient de vitesse. La formulation du critère de localisation de Rice est basée principalement sur cette hypothèse.
Considérons donc une structure soumise initialement à un état de déformation homogène (voir la Figure 2.3.), où on cherche à déterminer le moment d’apparition de la localisation par le traitement du problème de perte d’unicité (bifurcation) de la solution. Pour rendre compte de ce mode de localisation de la déformation, on imagine une bande de localisation dans un milieu infini à déformation homogène. On note les champs gradient de vitesse à l’intérieur et à l’extérieur de la bande G et − G , les champs de contraintes nominales correspondants + N −
et N , et n la normale à la bande délimitée par les surfaces notés + Σ et ′′′ Σ .
2.6.2.1 Condition du saut au travers de Σ
Nous cherchons à déterminer la condition pour laquelle la continuité du taux de certaines grandeurs n’est plus vérifiée, c-à-d. existence d’un saut. L’opérateur
[ ]
• indique le saut de la grandeur considérée entre l’intérieur et l’extérieur de la bande, c-à-d.[ ]
• = • − • .( ) ( )
+ −Pour le vecteur taux de contrainte nominale, nous avons l’équation de continuité suivante : ⎡ ⋅ ⎤= ⋅⎡ ⎤=
⎣n N⎦ n N⎣ ⎦ 0 (2.137)
Cette condition est appelée également condition de compatibilité statique dans le cadre des modèles indépendants du temps (continuité normale du vecteur taux de contrainte nominale
Figure 2.3. Position du problème de localisation.
D’un autre côté, le champ gradient de vitesse est discontinu à la traversée de la surface singulière ∑ . Le saut du champ gradient de vitesse a une forme particulière. Ceci est donné par l’application de la condition de compatibilité de Hadamard (1903), qui montre qu’il existe un vecteur λ tel que le saut du gradient de vitesse est donné par
[ ]
G = ⊗λ n (2.138)où λ représente le mode de localisation. Cette forme du saut de G est appelée également condition de compatibilité géométrique de Maxwell. Dans le cas où λ 0= , on a un saut nul du gradient de vitesse (c-à-d. pas de bifurcation).
2.6.2.2 Condition de localisation
On peut réécrire les relations de comportement précédentes, reliant le taux de contrainte de Cauchy au taux de déformation totale, pour avoir un nouveau module tangent reliant le taux de la contrainte nominale au gradient de vitesse par la relation
: =
N L G (2.139)
où L est le module tangent analytique défini dans un repère fixe et dont les formules seront déduites plus loin dans les deux cas : élasto-plasticité en grandes déformations avec ou sans endommagement.
En remplaçant N par son expression (2.139) dans (2.137) et en utilisant la définition du
saut d’une grandeur, on aura
(
:)
(
:)
+(
:)
−⋅ = ⋅ − ⋅ =
Avec l’hypothèse de continuité du module tangent qui s’exprime par
[ ]
L = 0 (2.141)l’équation (2.140) peut s’écrire sous la forme
[ ]
:
⋅ =
n L G 0 (2.142)
En introduisant la condition de compatibilité cinématique portant sur le gradient de vitesse (2.138) dans cette dernière équation, on obtient
(
)
:
⋅ ⊗ =
n L λ n 0 (2.143)
que l’on peut écrire également sous la forme
(
n⋅ ⋅ ⋅L n λ = 0)
(2.144)S’il existe une discontinuité du taux de déformation de part et d’autre de la bande, alors
≠
λ 0 (2.145)
La condition nécessaire d’apparition d’une bande de localisation se traduit ainsi par
(
)
det n⋅ ⋅ =L n 0 (2.146)
Cette condition correspond à la singularité du tenseur acoustique, qui est également la condition de perte d’ellipticité des équations d’équilibre en vitesse. C’est une condition nécessaire d’apparition d’une bande de localisation et correspond au critère de localisation de Rice.
2.6.2.3 Quelques remarques
Si n et λ sont colinéaires, le mode de localisation est dit d’ouverture, s’ils sont orthogonaux c’est un mode de cisaillement ; autrement, on aura des modes de localisation quelconques.
La condition est dite de bifurcation continue, car le module tangent L est considéré continu à travers la surface de singularité Σ . Dans le cas où cette hypothèse n’est pas vérifiée, on parle de bifurcation discontinue. Elle correspond à l’apparition d’une décharge élastique autour de la bande. Elle est appelée également condition de bifurcation élastique/plastique.
A rappeler que cette condition est établie dans le cas d’un milieu infini où le champ de déformation est initialement homogène et où les conditions aux limites n’interviennent pas. Benallal et al. (1990, 1993) ont montré qu’il faut satisfaire trois conditions pour la localisation dans le cas d’un milieu fini :
2. Une condition complémentaire à la frontière.
3. Une condition complémentaire d’interface lorsque le solide est initialement hétérogène.
Dans divers travaux (Ottosen et Runisson, 1991 ; Benallal et Comi, 1994 etc.), on s’est intéressé à la détermination du module d’écrouissage critique correspondant à une bifurcation localisée. Tous ces travaux rejoignent ceux de Rice (1976), qui montre que dans le cas de la plasticité associée, la bifurcation en mode localisé ne peut intervenir en phase d’écrouissage positif, alors qu’elle est possible pour une loi non associée où la surface de plasticité présente des points anguleux. En effet, au voisinage de ces points plusieurs directions d’écoulement plastique sont possibles, d’où la possibilité d’apparition d’instabilités plastiques, telles que les bandes de localisation.
En accord avec les résultats de la littérature ci-dessus mentionnés, et comme nous allons le montrer à travers des applications au Chapitre 5, sans l’introduction d’un effet adoucissant dans le modèle élasto-plastique, le critère de Rice ne détectera aucun mode de localisation. Avec le modèle couplé à l’endommagement ceci sera cependant possible.