Calcul du tenseur acoustique et algorithme de résolution

(

)

(

)

(

)

2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 3 1 3 3 1 2 3 3 3 2 3 2 3 3 2 jk i ijkl l jk jk jk jk jk jk jk jk jk H n n n n n n n n n n n = = + + + + + + + + L L L L L L L L L L

L’expression de son déterminant peut être également développée analytiquement pour donner le problème de minimisation suivant

(

)

(

)

( )

1 2 1 2 1 2 minimiser , avec 0 2 et 0 2 , det _jk f f H π ψ ψ ψ π ψ ψ ψ ⎧ _{≤ < ≤ ≤} ⎪ ⎨ ⎪ ₌ ⎩ (3.213)

Il est à noter que peu de travaux ont été consacrés à la résolution de ce problème avec l’application au calcul de structures en 3D. Keryvin (1999) a proposé une méthode composée de deux étapes :

1. Discrétisation en n valeurs _ψ1i _{de l’intervalle de variation de}

1

ψ . 2. Résolution de l’équation _f

(

_{ψ ψ1}i, ₂

)

_{= pour chacune des valeurs} 0

1

i

ψ par une méthode itérative (Newton-Raphson par exemple).

Cette méthode ne garantit pas de retrouver tous les minima possibles et dépend fortement de la discrétisation de l’intervalle de variation de _ψ1.

Une autre méthode proposée par le même auteur, consiste à :

1. Déterminer en première approximation des minima de f par discrétisation des intervalles de variation de _ψ1 et _ψ2, puis calcul de f en chacune de ces valeurs discrètes.

2. Calculer des minima par une méthode itérative (méthode des gradients ou des gradients conjugués par exemple).

Face à la difficulté de trouver une méthode donnant tous les minima possibles de f , nous avons fait le choix de travailler avec une méthode assez simple, bien qu’elle soit coûteuse en temps de calcul et qui consiste à

1. Discrétiser en n valeurs _ψ1i _{l’intervalle de variation de}

1

ψ et m valeurs _ψ2j l’intervalle de variation de ψ₂.

2. Calculer pour tous les couples

(

_{ψ ψ1}i, ₂j

)

_{les valeurs} ij

f correspondantes et tester si les minima vérifient la condition f_ij = . Les couples 0

(

1, 2

)

i j

ψ ψ correspondants à ces minima définissent les directions normales aux bandes de localisation.

Notons que la précision de cette méthode est liée à l’incrément de discrétisation ∆ des _ψ intervalles de variation de ψ₁ et ψ₂. L’erreur ainsi commise sur la prédiction de la direction

n est de l’ordre de ±∆ . Le temps CPU est d’autant plus important que la discrétisation _ψ

ψ

∆ est fine. Néanmoins, la méthode est très efficace, car toutes les directions possibles peuvent être retrouvées par cette stratégie.

Tableau 3.5 : Algorithme de calcul du module tangent analytique de localisation pour le modèle élasto-plastique-endommagement dans la routine UVARM.

1. Récupérer les variables de ABAQUS, données en fin d’incrément dans le repère tournant :

⎯ σˆ_I , Vˆ_I, d, H_λ, α

2. Passer de la notation vectorielle de Voigt à la notation tensorielle :

⎯ σˆI

(

Voigt

)

→σˆij

⎯ V Voigtˆ_I( )→Vˆ _ij

3. Changement de repère pour avoir les variables dans le repère global :

⎯ σ_ij =R_ikR_jlσˆ_kl ⎯ V_ij =R R V_{ik jl kl}ˆ

4. Calculer le module tangent pour la localisation dans le repère global :

⎯ L_ijkl =L_ijkl+L_1ijkl −L_2ijkl −L_3ijkl

Avec : ⎯

(

)

2 2 4 1 _{ij kl} 2 _{d ij kl} ijkl ijkl G d V V GH V L C H_λ H_λ σ α⎛⎜ − ⊗ ⊗ ⎞⎟ = − _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠     ⎯ L_1ijkl =σ δ_{ij kl} ⎯ L2ijkl = 21⎡⎣δ σik lj+δ σil kj⎤⎦ ⎯ L3ijkl = 12⎡⎣σ δ σ δik lj− il jk⎤⎦

Ce critère de localisation a été implanté dans le code ABAQUS/Standard via la routine utilisateur UVARM, afin de l’appliquer directement lors de calculs de structures. L’algorithme développé est composé de deux parties. La première partie consiste à calculer le module tangent constituant le tenseur acoustique et qu’il convient d’introduire dans le critère de localisation à la fin de l’incrément. Le Tableau 3.5 donne quelques éléments de son calcul dans la routine UVARM. La deuxième partie consiste à traiter le problème de minimisation (3.213) suivant la méthode proposée. Le Tableau 3.6 illustre la procédure d’implantation du critère de localisation.

3.6 Conclusion

Ce chapitre a été consacré entièrement à l’implantation de l’ensemble des modèles de comportement et du critère de localisation développés au Chapitre 2. Trois points ont été abordés dans ce chapitre.

1. Une étude détaillée et approfondie sur l’intégration numérique des modèles de comportement élasto-plastique. Nous avons explicité deux grandes méthodes d’intégration : les schémas explicites et les schémas implicites. Avec chaque schéma, nous avons construit des algorithmes d’intégration à implanter directement dans les codes de calcul par éléments finis. Le module tangent cohérent relatif à chaque schéma Tableau 3.6 : Algorithme d’implantation du critère de localisation.

1. Récupérer le module tangent L (algorithme du Tableau 3.5). 2. Initialiser le déterminant minimum à une valeur maximale.

⎯ detmin=detmax

3. Recherche de la direction n_min, correspondant au déterminant minimum Choix du pas de balayage : ∆ , _ψ1 ∆ψ2

⎯ Aller de ψ₁ =0 ⎯ Aller de ψ2 =0

Calculer f

( )

n =det . .

{

n nL

}

pour n

(

_ψ1,_ψ2

)

Si f

( )

n <det min, alors :

(

)

min = ψ ψ1, 2

n n

{

}

det min det . .= n nL

⎯ Jusqu’à ψ₂ =π ⎯ Jusqu’à ψ₁=2π

2. Une deuxième étude a été consacrée à l’implantation du modèle élasto-plastique couplé à l’endommagement, en généralisant l’algorithme de résolution par intégration implicite du modèle élasto-plastique et en réduisant le nombre d’équations à résoudre par la méthode de Newton-Raphson. Comme précédemment, le module tangent cohérent a été développé.

3. Enfin, nous avons traité le problème d’implantation du critère de localisation de Rice. Un algorithme a été développé de telle manière à l’implanter directement dans un code de calcul par éléments finis (dans notre cas ABAQUS/Standard) dans la perspective des applications directes sur des structures en mise en forme.

Le prochain chapitre sera consacré à l’étude approfondie des capacités de chaque algorithme d’intégration des modèles de comportements introduits. La validation de ces schémas d’intégration numérique constitue une étape importante avant de les appliquer sur des structures beaucoup plus complexes. Egalement, des essais rhéologiques à trajets directs et séquentiels sur un point matériel et sur de simples structures seront simulés. Pour le critère de localisation de Rice, son application sera abordée au chapitre 5, notamment pour le tracé de courbes limite de formage à localisation.

Dans le document Contribution à la modélisation de la mise en forme des tôles métalliques : application au retour élastique et à la localisation (Page 122-126)