Formation du modèle de la rafale

Pour négliger l’influence de la vitesse de vol, quand on compare une analyse avec l’autre, la fonction de PSD des phénomènes atmosphériques est utile en utilisant la fréquence spatiale : Ω = ω/U0, Ω est la fréquence spatiale de la rafale en(rad/m), ω est la pulsation temporelle où l’hélicoptère veut fonctionner (rad/s). U₀ est la vitesse d’équilibre de l’hélicoptère.

2.9.5.3 Représentations des rafales continues

Il y a deux représentations analytiques concernant la PSD de la perturbation atmosphé-rique qui sont beaucoup utilisées dans la commande des systèmes de vol.

Le premier est le spectre de Von Karman. Il est le meilleur spectre obtenu lors de tests sous perturbation atmosphérique, mais son utilisation est moins facile parce qu’il représente une fonction de PSD compliqué. Il est défini par l’équation (2.28) :

Φ_VK(Ω) = ^σ2L π

[1+8/3(1.339LΩ)²]

[1+ (1.339LΩ)²]^11/6 (2.28) où L est la longueur de la rafale en (m), σ est la densité de la rafale en m/s.

Le deuxième est le spectre de Dryden, il est le plus utilisé parce qu’il est simple et facile à implanter (équation (2.29)) :

Φ_Dry(Ω) = ^σ2L π

(1+3L2_Ω2)

[1+L²Ω²]² (2.29)

La figure 2.30 présente les courbes des fonctions PSD pour une plage raisonnable de fréquence. On peut remarquer que la différence entre les deux est petite.

2.9.5.4 Formation du modèle de la rafale

Nous notons maintenant trois approches trouvées dans la littérature et qui sont utilisées pour modéliser la rafale de vent.

Figure 2.30: PSD de Von Karman et de Dryden [7]

Nous trouvons cette approche dans la référence [122]. La densité spectrale de la puissance PSD (Power Spectral Density) [7] de la vitesse de la rafale verticale pour le modèle de perturbation de Von Karman est exprimé par :

Swg wg(Ω) = 4σ2 wgLu π ! 1 4+ (LuΩ)² (2.30) avec la PSD : σ_wg² = Z ∞ 0 Swg wg(Ω)dΩ (2.31)

où Ω est la fréquence spatiale, les clefs du modèle sont la vitesse de la rafale verticale rms, la densité de la perturbation σwg(m/s) et la longueur longitudinale de la perturbation Lu(m). Nous pouvons réécrire l’équation (2.30) :

Swg wg(ω) = ^Luσ 2 wg U0π !^   1 1+ ω αw ₂    (2.32)

où ω est la pulsation angulaire observée et donnée par :

ω= ΩU₀ (2.33)

αw est la pulsation de cassure temporelle de la PSD donnée par : αw = 2U₀

Il est à noter que cette approximation est la même que le modèle spectral classique de Dryden pour la perturbation longitudinale, mais avec la moitié de la longueur de la rafale.

La fonction de transfert du modèle de la rafale Gwg(s)combiné avec (2.32) pour fournir la vitesse de la rafale (wg) quand il est excité par un signal de bruit aléatoire de PSD Snn(ω) est :

Swg wg(ω) = 

G_wg(ω)₂

Snn(ω) (2.35)

Notons que pour le bruit blanc : Snn(ω) =1.

Ainsi la fonction de transfert déterminé par l’équation (2.32) est : Gwg(s) =2σwg s U₀ πLu  1 s+αw  (2.36) Pour notre technique de modélisation, une fonction de transfert de commande de la rafale Gδg(s), est nécessaire pour produire la commande de PSD de la rafale pour une entrée produite par un bruit blanc, cette fonction est obtenue par la combinaison de l’équation (2.36) avec les résultats empiriquement extraits pour le mélangeur PSD (Gδg) de rafale pour déterminer le facteur Kδg : Gδg(s) =Kδg 2σwg s U₀ πLu !  ₁ s+αw  (2.37) qui repésente une fonction de transfert du premier ordre de la forme :

Gδg(s) =  K s+αw  (2.38) Les paramètres de modélisation (K, αw) dans l’équation (2.38) sont obtenus à partir de tests de vol longitudinal et latéral soumis à une rafale. Le tableau 2.3 montre ces paramètres en fonction du type de vol et de vitesse d’équilibre de l’hélicoptère5 UH -60 Black Hawk [122] : La longueur de la perturbation Lu est calculé en se basant sur la fréquence de cassure de la PSD de la rafale (2.34) et elle dépend de la hauteur de l’hélicoptère et du diamètre du rotor principal [135], [122]. La valeur moyenne de Lu est calculée à partir du tableau 2.3 puis en utilisant les valeurs expérimentales de K dans ce tableau, le gain K_δg est calculé, par exemple pour l’hélicoptère UH -60 Black Hawk [122] :

Kδg =0.226σ−0.581

wg (2.39)

5. Vol (1) correspondant à un vol soumis à une perturbation légère. Vol (2) correspondant à un vol soumis à une perturbation forte.

Vol U0(m/s) σwg(m/s) K αw(rad/s) Lu(m)

1(lat.) 9,74 1,15 0,125 0,44 15

1(long.) 9,74 1,15 0,11 0,39 16,97

2(lat.) 12,61 2,87 0,2 0,75 11,49

2(long.) 12,61 2,87 0,19 0,61 14

Table 2.3: Coefficients du modèle de la rafale K/(s+αw)

Le modèle final de fonction de transfert de commande de rafale pour des entrées de rafale longitudinale et latérale est alors :

G_δg(s) = 0.452σ_wg^0.420 s U₀ πLu  1 s+αw  (2.40) Pour utiliser cette représentation du modèle de la rafale de vent en simulation, une source sous forme d’un bruit blanc est utilisé comme une entrée au filtre d’excitation Gδg(s) de la rafale, qui produit un signal de sortie.

• Approche 2

Nous trouvons cette approche dans les références [112][113][114]. Cette approche est basée sur le vecteur de vitesse totale de l’air dû de la perturbation atmosphérique ^−→Vg, où cette vitesse dans n’importe quel point dans l’espace est égale à la somme du vecteur de vitesse d’air perturbé ^−→Vgu dans un point de référence fixe, et un gradient spacial ^−→Vgg:

−→

Vg= −→

Vgu+−→

Vgg (2.41)

L’auteur après avoir extrait le module de la vitesse de l’air qui dépend de la géométrie de la pale (l’angle d’azimut de la pale, vitesse de rotation du rotor principal, l’angle de battement vertical et l’angle de tangage), du vecteur de vitesse de translation et les composantes du vecteur de vitesse de la rafale de vent6. Après l’auteur a étudié l’effet de la perturbation sur l’angle de battement de pale équivalente.

L’angle de battement de pale équivalente

L’incrément de force de sustentation dL pour un élément de pale dr_b est donné (Ψ_b est l’angle d’azimut du pale) :

dL(Ψ_b, r_b) = ^ρ

2^cU2CLααdrb (2.42)

Le gradient de la perturbation va produire des variations dans la vitesse locale de l’air ∆U et dans l’angle d’attaque local de pale ∆α, ou l’incrément de force de sustentation élémentaire dL s’écrit :

dL(Ψ_b, r_b) = ^ρ

2^{c(U+∆U)2CLα(α+∆α)dr}b (2.43) La variation de l’angle d’attaque local de pale ∆α est exprimée en termes de perturbations équivalentes des angles cycliques collectifs, latéraux et longitudinaux :

∆α= δθ₀−δA_1Hcos Ψ_b−δB_1Hsin Ψ_b (2.44) Le développement de l’équation (2.43) va donner la force de sustentation totale avec les différents termes des angles cycliques collectifs, latéraux et longitudinaux (L, δθ₀, δA_1H, δB_1H) [112]. L’auteur a montré les effets de gradient sur le rotor principal qui introduit une perturbation de l’angle cyclique latéral δA_1H et de l’angle cyclique longitudinale δB_1H et une perturbation de l’angle du pas collectif de pale δθ₀. Il a montré que les effets des gradients verticaux de vitesse sur d’autres pièces principales de l’hélicoptère (fuselage, rotor de queue, stabilisateurs horizontaux et verticaux , aile) sont inclus en tant que rotations équivalentes en quelque sorte semblables à l’avion à aile fixe.

• Approche 3

Nous trouvons cette approche dans les références [82][83] [84]. Selon les auteurs l’effet principal de la rafale de vent est de causer une fluctuation aléatoire de la vitesse du véhicule. Les incertitudes de vitesse(∆σ, ∆ω)provoquées par la rafale de vent peuvent être modélisées par les sorties de quelques filtres avec un bruit blanc comme source d’entrée, elles sont donnés de la façon suivante :

∆σ = [ ∆u ∆v ∆w ]^T (2.45)

et :

∆ω = [ ∆p ∆q ∆r ]^T (2.46)

où u, v, w et p, q, r sont respectivement les vitesses de translation et de rotation. Le schéma fonctionnel qui montre la génération de l’effet de rafale de vent est montré dans la figure 2.31. En prenant ∆u comme exemple, la fonction de transfert du filtre produisant ∆u est donnée par :

Hu(s) = q

(2Vt/πLw)σw/(s+Vt/Lw) (2.47) où σw et Lw sont la densité et la longueur de la rafale de vent, respectivement. Vt est la vitesse réelle de l’hélicoptère. σw et Lw sont les principales caractéristiques statiques qui décrivent

Figure 2.31: Schéma fonctionnel montrant la génération de l’effet de rafale de vent : Kg = σw

q

Vt

πLw, ul =Vt/Lw, b est la demi-envergure de l’aile [82].

le comportement de la rafale de vent, où différentes valeurs de σw et Lw donnent différentes types de rafales de vent. Modèle aérodynamique du rotor,

2.10 Conclusion

Nous avons traité dans ce chapitre les notions de base du principe de fonctionnement des hélicoptères. Quelques définitions sur les hélicoptères et les différentes composantes de l’hélicoptère ont été présentées. En général, l’hélicoptère exécute trois modes de vols qui ont été décrits. Dans la section 2.4 nous présentons les différentes configurations du rotor d’un hélicoptère et une description détaillé du rotor principal et du rotor de queue où il existe plusieurs types de rotors, les plus connus sont le rotor rigide et le rotor articulé. Ensuite, nous avons distingué trois grandes familles de rotor, rigide, articulé et semi-rigide. Les stabilisateurs

à inertie permettent dans le cas de l’hélicoptère une bonne stabilisation de l’appareil. Dans un hélicoptère standard, les principales commandes de vol, où sont au nombre de quatre, il y a 4 commandes de vol (le collectif, l’anti-couple et les deux commandes du manche cyclique). Les plus importants types d’hélicoptères ont été décrits et sont utilisés comme plate-forme pour étudier les différentes caractéristiques de vol. Nous remarquons que la plupard des hélicoptère sont utilisés pour exécuter un vol libre sauf le modèle VARIO qui a été monté sur le plate-forme. Nous avons à notre disposition au labortatoire une plate-forme à 5 DDL qui utilise l’hélicoptère Tiny CP 3. Le cœur de ce chapitre est la section 2.9, où nous avons présenté les perturbations affectant le mouvement d’un hélicoptère. Une étude bibliographique a été faite montrant l’influence d’une rafale de vent sur l’hélicoptère. Finalement, nous avons rappelé quelques définitions sur les équations régissant une rafale de vent. Une rafale de vent provoque la fluctation des pales de l’hélicoptère et l’augmentation la charge sur l’hélicoptère qui induit la variation des paramètres du modèle de l’hélicoptère, la commande recherchée doit répondre à l’éxigence de robustesse, de performance et de stabilité nécessaire. Dans le chapitre suivant, nous abordons la modélisation dynamique d’un hélicoptère drone, où nous utilisons un modèle langrangien pour obtenir notre modèle.

CHAPITRE 3