4 .1 Modélisation dynamique de l’hélicoptère/plate-forme A partir du modèle général représenté dans le paragraphe 3.4 du chapitre 3, nous
4.3 Étude de la dynamique des zéros associée au modèle réduit de l’hélicoptère à 3DDLréduit de l’hélicoptère à 3DDL
Définition : La dynamique des zéros d’un système non-linéaire est la dynamique interne
du système qui se manifeste quand toutes les sorties ainsi que toutes leurs dérivées sont nulles quand t tend vers l’infini [52] [51]. Les systèmes non-linéaires possédant une dynamique des zéros instables, sont appelés "systèmes à déphasage non-minimal". Ils sont appelés systèmes à déphasage faiblement non-minimal lorsque les zéros sont marginalement stables [66].
Les sorties de notre système hélicoptère monté sur la plate-forme sont : y=h
z φ iT
et les entrées de commande sont :
u=h
u1 u2 iT
Le calcul des degrés relatifs donne [52] : r1 =r2=2. La dimension de notre modèle est n= 6, alors, r1+r2 < n ce qui implique l’existence d’une dynamique interne. Si la commande non linéaire par retour d’état (linéarisante) est utilisée, il est nécessaire de vérifier la stabilité de cette dynamique interne [52]. En fait, la dynamique de rotation du rotor principal ˙γ représente
la dynamique de zéros de (4.18). D’ailleurs, les termes non linéaires du modèle non perturbé (vra f = 0) peuvent être compensées en introduisant deux nouvelles commandes V1 et V2 comme suit : u1 = c1 8˙γ2[c0V1−c9˙γ−c10+c7] u2 = c 1 5c11˙γ2 (c1c5−c42)V2+c4((c12˙γ+c13)u1+c14˙γ2+c15) . (4.19)
Un système non linéaire d’équations est alors obtenu : ¨z=V1; ¨φ=V2 ¨γ = 1 c1c5−c24[b1V1+b2V2+b3] (4.20) où : b1= c4c0 c5c8˙γ2(c12˙γ+c13)(c1c5+c4) b2=c4 c5(c1c5−c24) b3=c4 c5(c1c5+c4)[(c12˙γ+c13)(−c9˙γ−c10+c7) 1 c8˙γ2+c14˙γ2+c15)] (4.21)
La dynamique de zéros du modèle non perturbé peut alors évidemment être obtenue en faisant : z=φ =0 ˙z= ˙φ =0 ¨z= ¨φ=0 ⇒V1=V2= 0 (4.22) ¨γ= 1 c1c5−c24b3 = c4 c5(c1c5−c42)(c1c5+c4) (c12˙γ+c13)(−c9˙γ−c10+c7) 1 c8˙γ2 +c14˙γ2+c15) (4.23) L’équation (4.23) peut s’écrire sous la forme :
¨γ =b4˙γ2+ b5 ˙γ2+ b6 ˙γ +b7 (4.24) avec : b4=c4c14 (c1c5+c4) c5(c1c5−c24) =4, 1425×10−5 b5=c4c13(c1c5+c4) c5c8(c1c5−c42)(c7−c10) = −7, 783×105 b6= c4(c1c5+c4) c8c5(c1c5−c24)(−c10c12+c7c12−c13c9) = −6, 142×103 b7= c4(c1c5+c4) c8c5(c1c5−c24)(c15c8−c12c9) =0, 1814 (4.25)
Pour obtenir les points d’équilibre possibles de (4.24), l’équation suivante est résolue :
b4˙γ4+b7˙γ2+b6˙γ+b5=0 (4.26) Les quatre solutions numériques de (4.26) pour le cas de l’hélicoptère VARIO sont :
˙γ∗(rad/s) = −219, 5±468, 2i 563, 71 −124, 6 (4.27) Seulement les deux valeurs réelles de ˙γ∗ ont une signification physique pour le système. D’autre part, la valeur (˙γ∗ = 563, 7rad/s) est trop grande au regard de la fragilité des pales. En conséquence, le seul point d’équilibre à considérer est ˙γ∗ = −124, 6rad/s. La ˙γ−dynamique (4.24), linéarisée autour du point d’équilibre ˙γ∗ = −124, 634 rad/s, a une valeur propre égale à −0, 419. Par conséquent, toutes trajectoires commençant suffisamment près de ˙γ∗ convergent vers ce dernier.
Il vient alors que la dynamique des zéros de (4.20) a un comportement stable. Pour la trajectoire et les gains choisis, ˙γ converge rapidement vers une valeur constante. C’est un point intéressant à noter puisqu’il montre que la dynamique et la commande par le retour non linéaire produisent des conditions de vol proches de celles de vrais hélicoptères qui volent avec une vitesse de rotation du rotor principal ˙γ constante et c’est grâce à une régulation locale de la commande par le retour non linéaire de ˙γ (qui n’existe pas sur le modèle réduit de l’hélicoptère VARIO) [11].
Pour trouver les valeurs des entrées de commande u1 et u2 à l’équilibre, nous reportons V1= V2 =0 de l’équation (4.22) dans (4.19) avec ˙γ∗ = −124, 6rad/s, nous trouvons les valeurs suivantes :
u1 = −4, 588×10−5m (4.28)
u2 = 5, 025×10−7m (4.29)
4.4 Conception de la commande
La conception de la commande des hélicoptères drones est une tâche délicate puisque la dynamique du système est fortement non linéaire et pleinement couplée, et également sujette aux incertitudes paramétriques. Souvent, lors de manœuvres complexes de l’hélicoptère, la force de poussée est une fonction des angles de roulis, de tangage et de lacet. Les
entrées de commande sont invariablement limitées aux variations longitudinales des pales du rotor principal et du rotor de queue, et à la commande de puissance du moteur. En outre, le rotor de queue doit compenser exactement le couple de rotation dû au rotor principal afin que l’hélicoptère maintienne un angle de lacet régulier. Les hélicoptères drones fonctionnent dans un environnement où l’exécution de la trajectoire peut facilement être affectée par des turbulences atmosphériques. Certains paramètres du système dépendent des conditions d’environnement (par exemple les constantes aérodynamiques) ou de l’hélicoptère (par exemple la pente de la courbe de portance). Les paramètres inconnus du système rendent également les conditions d’équilibre de l’hélicoptère inconnues. Nous considérons ici le problème de commande d’un modèle lagrangien de l’hélicoptère à 3-DDL monté sur une plate-forme et soumis à une rafale de vent lors d’une mission (décollage, inclinaison, vol, descente et atterrissage). Le modèle mathématique du système est très simple mais sa dynamique est non triviale (non linéaire en état, et sous actionné).
4.4.0.1 Stratégies de commande trouvées dans la littérature
Plusieurs stratégies de commande d’un hélicoptère ont été proposées dans la littérature. Les années récentes ont été témoin d’une apparition rapide de nouvelles méthodologies pour la commande en boucle fermée des systèmes non linéaires. Du fait du caractère fortement non linéaire de l’hélicoptère drone, les techniques de commande non linéaire utilisant le principe de la linéarisation par retour d’état est particulièrement bien adaptée.
Durant ces dernières années, des méthodologies de conception de lois de contrôle, principalement basées sur des techniques linéaires de commande, ont été développées pour la stabilisation du vol d’hélicoptères. Ces méthodologies gouvernent le mouvement de l’appareil sur une trajectoire planifiée ou le stabilisent à une position tridimensionnelle désirée. Toutefois, les solutions récentes liées à la commande de ce type d’engin ont suggérées d’autres alternatives basées sur des techniques de contrôle non linéaire très peu étudiées jusqu’à présent.
Le principe de commande par linéarisation par retour d’état est la décomposition en plusieurs sous-systèmes permettant une linéarisation partielle ou totale du système non linéaire. Un sous-système de dynamique lente correspond aux mouvements de translation. Les vitesses angulaires représentent la dynamique rapide qui constituent les autres sous-systèmes. La théorie de la linéarisation par retour d’état est très bien développée dans [52]. La robustesse de cette stratégie de commande a été étudiée dans [51].
Nous trouvons des techniques de linéarisation en boucle fermée appliquées aux modèles d’hélicoptère dans [95][55][145][12] et [11]. La difficulté principale dans l’application de telles techniques est le fait que, pour n’importe quel choix significatif des sorties, l’hélicoptère a une dynamique de zéros pas forcément stable, et par conséquent n’est pas directement linéarisable par entrée-sortie. Cependant, il est possible de trouver de bonnes approximations de la dynamique de l’hélicoptère afin que le système approché soit linéarisable par entrée-sortie, et ainsi le suivi de trajectoire peut être réalisé.
Dans la littérature, nous trouvons des applications de différentes types de commandes sur le modèle réduit de l’hélicoptère drone, et surtout les travaux de l’équipe du Pr. Lozano à l’université de Compiègne, voir [10] et [11], nous trouvons des commandes non linéaires utilisant des propriétés dissipatives. La commande de l’angle de lacet de l’hélicoptère par la technique de placement de pôles et l’altitude par la technique de placement de pôles adaptative est étudiée dans [102].
Dans [146], les auteurs construisent le modèle de l’hélicoptère avec 3 systèmes SISO (single input single output). Ils ont utilisé une commande de type PD pour chaque sous-système afin de stabiliser leurs angles d’Euler pendant le vol stationnaire, une vérification expérimentale est effectuée. Une autre application de la commande PD se trouve dans [147] sur un modèle de l’hélicoptère Quanser à 3 DDL. Les auteurs dans [148] utilisent un modèle langragien d’un hélicoptère de laboratoire à 3 DDL de type Toy, et une commande LQR.
On peut aussi citer les techniques qui se basent sur la commande par la méthode de backsteppingcomme dans [80]. Dans [29], nous trouvons une application de la méthode directe de Lyapunov pour assurer la stabilité d’un modèle à 2 DDL de l’hélicoptère pour exécuter un vol vertical.
La plupart des articles ne traitent pas de l’influence d’une perturbation sur la trajectoire de l’hélicoptère, cette influence fait l’objet de notre étude. Fondamentalement, beaucoup de méthodes de commande traitant l’atténuation de la perturbation peuvent être utilisées. Dans ce chapitre, nous abordons le problème de la commande de l’hélicoptère drone VARIO à 3 DDL perturbé par une rafale de vent. Contrairement à beaucoup de travaux concernant la commande de systèmes mécaniques, nous utilisons les entrées réelles de l’hélicoptère comme entrées de commande en faisant attention particulièrement au choix des trajectoires désirées qui s’avère un point crucial afin de respecter les saturations des entrées de commande.
Dans ce paragraphe, nous résumons notre investigation pour commander l’hélicoptère sous-actionné monté sur la plate-forme par l’utilisation de différentes méthodes décrites
précédemment. Nous développons un contrôleur pour commander la dynamique de rotation en lacet φ et l’altitude z. Dans ce cas, nous ne commandons pas directement la vitesse de rotation du rotor principal ˙γ.