La force de Bjerknes secondaire est la pression de radiation s’exerçant sur une bulle et résultant du champ diffusé par une bulle voisine (voir figure 4.6).
4.3.1
Expression de la force secondaire
La définition de l’équation (4.5) demeure valable dans le cas de la force secon- daire. La différence essentielle réside dans la structure du champ de pression puisqu’il s’agit désormais du champ diffusé et non d’un champ stationnaire. Comme le montre
d12
Figure 4.6 – Deux bulles voisines respectivement placées en rrr111 et rrr222 et de rayon a1 et
a2 sont soumises à un champ extérieur. La bulle placée en rrr111 diffuse le champ incident
et exerce une force secondaire sur la bulle en rrr222; et réciproquement.
mesuré en rrr s’exprime simplement en faisant intervenir la fonction de diffusion f1(ω) :
p1(r, ω) = p10f1(ω)
eik0||rrr−rrr111||
||rrr − rrr111||
e−iωt (4.12)
où p10 est la pression incidente au niveau de la bulle 1 et où la fonction de diffusion
s’écrit : f1(ω) = − a10ω2 (ω2− ω2 M 1) + iΓω . (4.13)
En remarquant qu’on a le même dénominateur que dans l’équation (4.8), on peut faire intervenir l’amplitude des oscillations ξ10 de la bulle 1 :
f1(ω) = −
ρ0a210ω2
p10
ξ10(ω). (4.14)
En remplaçant dans (4.12), on obtient la pression diffusée par la bulle 1 en r :
p1(r, ω) = −ρ0a210ω 2 ξ10(ω) eik0|r−r1| |r − r1| e−iωt (4.15)
Enfin, on exprime le gradient du champ, que l’on évalue en r2 :
gradp1(r2, ω) = ρ0a210ω2ξ10(ω) d−112 − ik0 e ik0d12 d12 e−iωt rrr222− rrr111 |r2− r1| (4.16)
Pour calculer le volume de la bulle 2, on procède comme précédemment
V2 ≈ 4 3πa 3 20 1 + 3 ξ20 a20 e−iωt. (4.17)
Si bien que, en appliquant l’équation (4.5), on obtient l’expression suivante :
FB2 FFB2B2= 2πρ0ω2a210a 2 20 cos(k0d12) d12 reξ10ξ20∗ ik0− d−112 rrr222 − rrr111 |r2 − r1| (4.18)
4.3.2
Approximation des bulles "proches"
On a traité deux cas bien distincts : celui d’un objet seul placé dans un champ stationnaire et celui d’une paire de bulles ne ressentant que le champ diffusé par leur voisine. Autant le premier cas ne pose pas de problème conceptuel, bien qu’il suppose que l’expérimentateur soit capable d’isoler une bulle, autant le second parait impro- bable. Si plusieurs bulles il y a, alors la force ressentie consistera en une superposition des forces primaire et secondaire. Il convient donc d’évaluer leurs contributions res- pectives. Celle-ci dépend en premier lieu de la distance d12. Le cas où les deux bulles
sont éloignées peut-être traité rapidement puisque la force secondaire décroit avec la distance tandis que la force primaire n’en dépend pas, a priori. En revanche, lorsque les deux bulles se rapprochent, on peut supposer que k0d12 1. C’est d’autant plus
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est toujours petit pour les fréquences qui nous intéressent. On a alors cos(k0d12) ' 1
et k0 1/d12. C’est l’approximation des bulles proches. L’expression de la force
secondaire se réduite à : FB2 FFB2B2= − 2πρ0ω2a210a220 re ξ10ξ20∗ d2 12 r2 rr22− rrr111 |r2− r1| (4.19)
Or, si la force secondaire est en 1/d212cela signifie qu’elle devient extrêmement intense pour les faibles valeurs de d122 et l’emporte alors sur la force primaire. C’est donc ce
régime qui retiendra notre attention.
De cette expression simplifiée, on peut extraire la distance caractéristique pour laquelle les deux contributions sont équivalentes :
|2πρ0ω 2a2 10a220ξ10ξ20 d2 eq | ∼ |πk0ξ20a220p20| (4.20)
soit, en utilisant l’équation (4.14),
deq(ω) =
s
2|f1(ω)|p10
k0p20
de sorte que la force secondaire contribuera seule lorsque d12 < deq. En considérant
Figure 4.7 – Évolution de deq et k0deq en fonction de ω/ωM pour deux bulles de
100 µm placées dans l’eau.
les pressions ressenties p10 et p20du même ordre de grandeur, on obtient l’évolution de
deq reportée en figure 4.7. Ici, on a considéré deux bulles de rayon a10= a20 = 100 µm
immergées dans l’eau. Un premier enseignement que l’on peut en tirer est que la distance d’équilibre deq entre forces primaire et secondaire est de l’ordre de quelques
millimètres. D’autre part, on remarque, en traçant k0deq en fonction de ω, que la
condition k0d12 1 semble déjà satisfaite lorsque d = deq. D’une manière générale,
2. Pour que la condition de non-interpénetration soit respéctée, il faut tout de même s’assurer que d12 reste supérieure à a10+ a20.
on retiendra que, lorsqu’on insonifie un système de bulles de l’ordre de 0.1 mm de rayon et voisines de moins d’un millimètre dans l’eau, la force secondaire l’emporte et son expression se réduit à celle de l’équation (4.19).
4.3.3
Signe de la force
Comme pour la force primaire, FB2 est susceptible de changer de signe, donnant
lieu à des situations d’attraction ou de répulsion. Le signe de la force est piloté par celui de re ξ10ξ20∗ , soit encore |ξ10ξ20| cos(φ1 − φ2). C’est donc du déphasage entre
les deux bulles que dépend la nature de la force. Le cas de deux bulles de même rayon a10 = a20 est extrêmement simple à traiter puisque les deux lorentziennes se
superposent et qu’on a φ1 = φ23. Le signe de la force est toujours négatif, ce qui revient
à dire que les deux bulles ne peuvent que s’attirer. En revanche, lorsque a10 6= a20,
un changement de signe peut s’opérer. Pour s’en convaincre, on trace, figure 4.8(a),
Figure 4.8 – (a) φ1, φ2 et φ2 − φ1 en fonction de ω pour deux bulles de rayons
a10 = 120 µm et a20 = 80 µm dans l’eau. (b) Schéma illustrant la direction de la force
instantanée pour les deux demi-périodes d’une oscillation complète de champ et pour une fréquence choisie dans la fenêtre de répulsion.
les phases φ1, φ2 et la différence φ2 − φ1 pour deux bulles de rayons a10 = 120 µm
et a20 = 80 µm. Il apparait que, pour ω1 < ω < ω2, φ2 − φ1 devient inférieur à
−π/2. Par conséquent, cos(φ2 − φ1) < 0, FB2 devient positif et les deux bulles se
repoussent. Ici encore, on peut fournir une explication plus imagée du phénomène. Dans la fenêtre de fréquence en question, les deux bulles oscillent en opposition de phase. Comme sur la figure 4.8(b), décomposons une oscillation complète en ses deux demi-périodes constitutives. Durant la demi-période pour laquelle la bulle 2 ressent une surpression positive, la force est répulsive puisqu’elle suit la direction opposée
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au gradient de champ. Inversement, pendant la seconde demi-période, la force est de nature attractive. Or, compte tenu du déphasage entre les deux bulles, le volume de la bulle 2 sera maximum durant la première demi-période et minimum pendant la seconde. Une fois moyennée temporellement, la force résultante est donc de nature répulsive.