Détermination numérique des paramètres effectifs

Les deux descriptions analytiques introduites dans le paragraphe précédent montrent que les propriétés effectives de l’échantillon sont intimement liées à sa composition (φ

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Figure 2.6 – Tracé de nσ2k0s en fonction de la fréquence avec (trait bleu) et sans

atténuation (trait rouge). On a choisi les paramètres a = 100 µm et φ = 0.01%.

et a). Or, nous disposons de l’outil numérique introduit dans la partie précédente qui nous permet de confronter les prédictions analytiques aux résultats numériques.

Nous allons donc désormais tirer des collections de bulles aléatoires pour lesquelles nous déterminerons les paramètres effectifs. Pour cela, il faut être capable de les ex- traire à partir de simples mesures de champ. La simulation est un outil particulière- ment confortable car elle permet d’avoir accès au champ à l’intérieur de l’échantillon. La méthode la plus naturelle consiste alors à extraire keffvia l’analyse de Fourier dans

l’échantillon. L’inconvénient principal de cette méthode est qu’elle est extrêmement sensible aux effets de bords, notamment pour les fréquences associées aux valeurs de Re(keff) les plus faibles ; c’est-à-dire pour les basses fréquences ainsi que celles situées

dans la bande interdite. Par ailleurs, les cartes de champ obtenues sont polluées par les "points brillants". En effet, le champ diffusé par une bulle étant proportionnel à eik0r_{/r, il diverge pour les petites valeurs de r. On obtiendra donc un point brillant à}

chaque fois qu’une bulle sera située à proximité de la zone d’acquisition. Une solution pour s’en débarrasser consiste à effectuer le moyennage du champ sur un grand nombre de configurations. Mais elle est extrêmement contraignante en termes de temps de cal- cul. On privilégiera donc une méthode ne nécessitant que des acquisitions en champ lointain. Les points brillants ne posent alors plus de difficulté et l’extraction devient nettement plus rapide. Dans la suite, nous introduisons deux techniques similaires mais associées à des géométries différentes. Les résultats simulés seront confrontés aux prédictions du modèle de Foldy.

2.1.3.1 Extraction pour le problème 1D

Il a récemment été montré [33, 34] que dans le cas d’un problème unidimensionnel, on peut extraire les paramètres effectifs d’un échantillon d’épaisseur e à l’aide des seuls coefficients de réflexion et de transmission r et t. La démonstration est reportée en annexe A.1.

Expérience numérique

La méthode en question est adaptée à un problème 1D ce qui ne parait, a priori, pas tout a fait pertinent quand on veut étudier un milieu bulleux. Mais on peut construire un échantillon simili-1D en fabriquant une couche cylindrique et en l’insonifiant à l’aide d’un faisceau gaussien comme représenté sur la figure 2.7. On note w(z) l’extension

Figure 2.7 – Une couche cylindrique de diamètre D et d’épaisseur e contient des bulles de rayon a = 100 µm réparties aléatoirement. On le soumet à une insonification gaussienne d’extension transverse w(z) sous incidence normale.

transverse du faisceau gaussien. Elle vérifie [35] :

w(z) = w0 s 1 + λ₀z πw2 0 2 . (2.42)

Pour se rapprocher du problème 1D, il faut s’assurer que le faisceau ne soit pas trop courbé. Cela revient à imposer w0  λ0. De la même façon, il faut impérativement

s’affranchir des effets de bords. Cela suppose que D  w0. La méthode 1D requiert

donc des échantillons relativement grands. Pour compenser on travaillera sur des épais- seurs e modestes. Techniquement, l’extraction est d’ailleurs plus aisée pour les petites épaisseurs à condition de veiller à ce que l’incertitude δe demeure raisonnable [33]. On génèrera ici une couche fine de dimension D = 30 cm, e = 300 µm et l’extension mini- male du faisceau gaussien w0 = 4 cm. Pour une fraction volumique d’air de φ = 0.01%,

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z avec et sans le milieu bulleux et on en déduit les coefficients en transmission et en ré- flexion t et r. On limite la contribution du champ incohérent en moyennant la mesure sur 10 configurations du désordre. Après application de (A.7), on obtient la dispersion reproduite sur la figure 2.8. On a coloré la gamme de fréquence pour laquelle le critère

Figure 2.8 – Courbe de dispersion numérique obtenue en appliquant la formule (A.7) pour une couche de diamètre D = 30 cm et d’épaisseur e = 300 µm contenant un tirage aléatoire de bulles de rayon a = 100 µm. La fraction volumique vaut φ = 0.01% et on prend Γ = Γrad. On a reporté la partie réelle (à gauche) et la partie imaginaire (à droite) de keff. La zone en couleur indique la gamme de fréquence pour laquelle

le critère de validité de l’approximation de diffusion indépendante (2.41) n’est plus rempli.

de (2.41) n’est pas vérifié. La simulation donne un accord raisonnable avec le modèle. Même dans la zone où l’approximation de diffusion indépendante n’est peut-être pas pertinente, l’écart reste mince. Pour une faible concentration, on retiendra donc que simulation et prédiction de Foldy sont en relatif bon accord. Pour sonder les limites du modèle, il faudra donc considérer des échantillons plus concentrés. Les données ex- périmentales disponibles dans la littérature [36] relatent un bon accord avec le modèle pour les fractions volumiques n’excédant pas 1%. C’est donc cette limite qu’il faut aller sonder. Cependant, du fait des contraintes qui accompagnent la méthode 1D, notamment sur la question de la taille de l’échantillon, les milieux concentrés risquent d’être délicats à simuler. Pour un échantillon similaire à celui de l’exemple précédent et concentré à 1%, il faudrait pouvoir générer un nuage contenant N = 50000 bulles et ce pour chaque configuration du désordre. On touche là aux limites des capacités de calcul disponibles au laboratoire. Enfin, notons que le faisceau gaussien est une solution approchée de l’équation d’onde dans l’approximation paraxiale et est donc lui-même susceptible de constituer une source d’erreur.

2.1.3.2 Géométrie sphérique

On propose ici une approche alternative plus en adéquation avec le caractère tridi- mensionnel de nos diffuseurs. Compte tenu du caractère monopolaire de la diffusion dans le cas des bulles, la géométrie la plus naturelle est celle de la boule. Cet objet présente d’ailleurs l’avantage d’être bien connu des acousticiens et le mécanisme de diffusion par boule a été décrit analytiquement [37]. Nous allons donc générer nos nuages aléatoires sous forme de boules et supposer que ceux-ci diffusent l’onde co- hérente de la même façon qu’une boule homogène d’indice ad hoc. Si c’est le cas, la mesure du champ diffusé loin de la boule devrait, comme précédemment, permettre d’extraire les paramètres effectifs. La méthode d’extraction complète est disponible en annexe A.2.

Tirage du nuage sphérique

La génération du nuage sphérique mérite d’être détaillée. Tout d’abord, quel diamètre D faut-il envisager pour la boule ? Aucune hypothèse n’a pour l’instant été nécessaire. C’est une bonne nouvelle puisque, contrairement à la technique 1D, on devrait pouvoir obtenir une estimation de keff sans avoir recours à des échantillons de taille déraison-

nable. C’est d’ailleurs plutôt l’inverse puisque l’extraction de keff sera d’autant plus

aisée que l’équation (A.15) aura peu de solutions.

En pratique, la technique la plus simple pour obtenir un nuage sphérique consiste à tirer un nuage cubique avant de retirer les bulles qui se trouvent au delà d’une distance D/2 du centre de la sphère. Cette méthode n’est pourtant pas tout à fait satisfaisante puisque la bulle la plus éloignée du centre sera toujours située à une distance strictement inférieure à D/2. Autant le biais introduit ne devrait pas poser problème pour des sphères suffisamment grandes, autant il peut le devenir pour des sphères de petite taille. Or, c’est précisément ce qui constitue l’intérêt principal de la méthode. Une solution consiste à générer le désordre sur des couronnes sphériques successives pour réduire l’incertitude à la dernière couronne sphérique. C’est cette méthode que nous utiliserons ici.

Résultats

Nous générons ici des nuages concentrés à φ = 1%, c’est-à-dire la fraction volumique pour laquelle le modèle de Foldy est susceptible d’échouer. On tire aléatoirement 1000 sphères de diamètre D = 1.6 mm. Cela signifie que chacune de ces sphères contient exactement 5 bulles ! Dans ces conditions, la simulation est extrêmement rapide. On reporte sur la figure 2.9 la dispersion obtenue après extraction des paramètres effectifs via la méthode décrite plus haut. De même que précédemment, on indique la zone pour laquelle le critère de validité du modèle de Foldy (2.41) n’est plus valable. Évidemment, cette zone est bien plus étendue que dans le cas précédent, puisque la concentration est 100 fois plus élevée. On constate que l’accord observé entre théorie et simulation s’est légèrement dégradé. Il est toutefois difficile de garantir que le désaccord incombe à la

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Figure 2.9 – Dispersion numérique obtenue après résolution numérique de l’équa- tion (A.15) pour une boule de diamètre D = 1.6 mm au sein de laquelle on a effectué un tirage aléatoire de bulles de rayon a = 100 µm. La fraction volumique vaut φ = 1% et Γ = Γrad. On a reporté la partie réelle (à gauche) et la partie imaginaire (à droite) de keff. La zone en couleur indique la gamme de fréquence pour laquelle le critère

(2.41) faillit.

défaillance de l’approximation de diffusion indépendante. L’incertitude sur la taille du nuage peut également être dommageable. D’ailleurs, les points litigieux se situent pour la plupart autour de la résonance et l’accord est plutôt convaincant partout ailleurs, et ce même dans la zone colorée pour laquelle le critère (2.41) n’est pas vérifié. En tout état de cause, on dispose désormais d’une technique rapide et efficace pour sonder les propriétés effectives de milieux bulleux concentrés.