SoitM un espace-temps platM GHC futur complet non ´el´ementaire de dimensionn+ 1. On sait grˆace au Th´eor`eme 3.1.37 queM s’identifie au quotient d’un domaine r´egulier futur complet Ω+ par un sous groupe discret sans torsion Γ de SO+(1, n)⋉ R1,n. Soit S une hypersurface de Cauchy deM. Elle se rel`eve en une hypersurface de Cauchy compl`ete ˜S de
R1,n. La seconde forme fondamentale Π de ˜S est d´efinie comme suit : pour tous champs de vecteurs X et Y de R1,n tangents `a ˜S, ∇(X, Y) = ¯∇(X, Y) + Π(X, Y)n, o`u ∇ et ¯∇ sont respectivement les connexions de la m´etrique ambiante de Minkowski et de sa restriction `a
˜
S etnest la fonction normale de l’hyprsurface ˜S.
D´efinition 3.2.1. Soit S˜ une hypersurface de classe C2 de R1,n. On dit que S˜ est dite convexe si et seulement si sa seconde forme fondamentaleΠ est positive.
Remarque 3.2.2. Il n’est pas difficile de voir qu’une hypersurface est convexe si et seule-ment si elle est future convexe, en d’autres termes queJ+( ˜S)est un sous-ensemble convexe de Minkowski. Ceci permet en particulier de d´efinir la notion de convexit´e mˆeme pour des hypersurfaces qui ne sont pasC2.
Soit T une fonction temps de Cauchy d´efinie sur M. Quitte `a reparam´etrer nous sup-posons toujours qu’elle prend ses valeurs dans tout ]0,+∞[. Cette fonction se rel`eve en une fonction temps de Cauchy Γ-invariante ˜T : Ω+
→]0,+∞[. Ses niveaux sont alors des hypersurfaces plong´ees deR1,n munie chacune d’une action isom´etrique cocompact de Γ
D´efinition 3.2.3. La fonction temps de CauchyT˜ est dite quasi-concave si et seulement si tous ses niveaux sont convexes.
Un cas particulier est celui o`u la fonction est concave i.e v´erifie ˜T(tx+ (1−t)y) ≥
tT˜(x) + (1−t) ˜T(y). En effet si ˜T(x) = ˜T(y) alors ˜T(tx+ (1−t)y)≥T˜(x).
3.2.1 Fonction temps cosmologique
Soit Ω+ un domaine r´egulier futur complet. Soit Tcos la fonction temps cosmologique associ´ee.
Proposition 3.2.4. ([25, Proposition 4.3]). Le temps cosmologique Tcos de Ω+ est une fonction temps concave et donc quasi-concave au sens de la d´efinition 3.2.3.
D´emonstration. Soitx,y dans Ω+. Pour chaque t∈[0,1], posonsrt=tr(x) + (1−t)r(y). Comme Ω+ est convexe, on a quertest dans ¯Ω+. Donc,
Tcos(tx+ (1−t)y)2=− |(tx+ (1−t)y)−r(tx+ (1−t)y)|2≥ − |tx+ (1−t)y−rt|2
donc
Tcos(tx+ (1−t)y)2
≥t2Tcos(x)2+ (1−t)2Tcos(y)2
−2t(1−t)hx−r(x), y−r(y)i
Or x−r(x) et y−r(y) sont des vecteurs temps futurs, et donc − hx−r(x), y−r(y)i ≥
p
Tcos(x)2Tcos(y)2. Par suite
3.2.2 Fonction temps CMC
SoitM un espace-temps plat M GHC non ´el´ementaire. Soit Ω+ le domaine r´egulier Γ-invariant futur complet associ´e. Soit ˜Sune hypersurface compl`ete de type espace Γ-invariante de Ω+ et Π sa seconde forme fondamentale. Rappelons que la courbure moyenneHS˜ en un point de ˜S est d´efinie par : HS˜ = tr(Π)n i.e HS˜ = λ1+λ2+...+λn
n , o`u les λi sont les valeurs principales en un point de ˜S.
D´efinition 3.2.5. L’hypersurface S˜ est une hypersurfaceCM C siH est constante.
Une des particularit´es surprenante des hypersurfacesCM C dans l’espace de Minkowski est le r´esultat suivant dˆu `a Treibergs [50]
Proposition 3.2.6. Une hypersurfaceCM Ccompl`ete deR1,n est soit strictement convexe i.e toutes ses valeurs principales sont n´egatives, soit strictement concave i.e toutes ses valeurs principales sont positives.
Il en d´ecoule imm´ediatement le r´esultat suivant :
Corollaire 3.2.7. Les hypersurfacesCM Cdans un espace-temps platM GHCfutur complet non ´el´ementaire sont strictement convexes.
Remarque 3.2.8. Bien sˆur on a un r´esultat analogue lorsque nous consid´erons un espace-temps pass´e complet. Dans ce cas les hypersurfacesCM C sont strictement concaves.
Ainsi le corollaire 3.2.7 permet de fournir un exemple s’il existe ! de fonction temps quasi-concave.
D´efinition 3.2.9. Une fonction temps T : Ω+
→R+ est une fonction temps CM C si et seulement si chaque niveauT−1(t) deT est `a courbure moyenne constanteH=−1
t.
Les hypersurfacesCM Cont ´et´e ´etudi´ees dans plusieurs travaux (voir [32], [45], [6]). Un principe g´en´eral est que l’existence d’une hypersurface `a courbure prescrite peut se faire par la m´ethode des barri`eres. Dans le casCM C, le r´esultat suivant a ´et´e prouv´e par Gerhardt [32].
D´efinition 3.2.10. Soita un ´el´ement de R. Une paire de a-barri`eres deM est la donn´ee d’une paire(Σ−,Σ+) d’hypersurfaces de CauchyC2 telles que :
– Σ− est dans le pass´e deΣ+.
– La courbure moyenne deΣ− est major´ee para. – La courbure moyenne deΣ+ est minor´ee par a.
Th´eor`eme 3.2.11. [32]. Soit(Σ−,Σ+)une paire dea-barri`eres dansΩ+, o`uaest un r´eel positif. Alors il existe une hypersurface de Cauchy lisseΣ`a courbure moyenne constante a. De plusΣest dans le futur de Σ− et le pass´e deΣ+.
En utilisant le Th´eor`eme 3.2.11 Andersson, Moncrief et Tromba montrent l’existence du feuilletage CM C dans le cadre des espaces-temps de dimension 2 + 1 qui admettent une hypersurface de CauchyCM C[8]. Dans [2] Andersson montre l’existence du feuilletage
CM Cen toute dimension mais dans le cas tr`es particulier d’un espace-temps plat M GHC
de type hyperbolique i.e admettant une hypersurface de Cauchy hyperbolique. Enfin le cas g´en´eral d’un espace-temps M GHC plat est trait´e dans [15],[4] (voir le Th´eor`eme 3.2.15 ci dessous). Cette preuve est plus g´en´erale et plus g´eom´etrique que celle donn´ee dans [2]. Elle a la particularit´e de se g´en´eraliser aux espaces-temps `a courbure constante (voir [4], [16]). Elle repose entre autre sur la g´en´eralisation de la notion de barri`eres aux hypersurfaces de type espaces qui sont seulementC0.
D´efinition 3.2.12. Soita un nombre r´eel. Une hypersurfaceC0 de type espace S est dite `
a courbure moyenne major´ee (minor´ee) par a en un point p de S s’il existe un ouvert U
g´eod´esiquement convexe de p et une hypersurface lisse S− p (S+
p) dans U contenant p tels que :
1) S− p (S+
p) est dans le pass´e (futur) de S∩U dans U; 2) L’hypersurface S− p (S−
p) est `a courbure moyenne major´ee (minor´ee) para
Ainsi le r´esultat suivant obtenu dans un premier temps pour les hypersurfaces de Cauchy lisses [32] se g´en´eralise facilement au casC0 :
Th´eor`eme 3.2.13. ([4, Th´eor`eme 5.9]). Soit (Σ−,Σ+) une paire de a-barri`eres C0 dans
Ω+, o`u a est un r´eel positif. Alors il existe une hypersurface de Cauchy lisse Σ`a courbure moyenne constantea. De plusΣest dans le futur de Σ− et le pass´e deΣ+.
Un autre ingr´edient utilis´e dans la preuve du Th´eor`eme 3.2.15 est le r´esultat d’estimation suivant :
Th´eor`eme 3.2.14. ([4, Th´eor`eme 4.4]). Soit Ω+ un domaine r´egulier futur complet de l’espace de MinkowskiR1,n. Pour toutadans]0,+∞[l’hypersurfaceCM CΣa est `a courbure moyenne major´ee par− 1
na et minor´ee par−1
a.
Th´eor`eme 3.2.15. ([4, Th´eor`eme 1.2]). SoitM un espace-tempsM GHC plat futur complet admettant une hypersurface de Cauchy hyperbolique. Alors :
– Il existe une unique fonction temps CM C globalement d´efinieTcmc:M →]− ∞,0[; – La fonction temps Tcmc est comparable `a la fonction temps cosmologique Tcos. Plus
pr´esis´ement :
−1
Tcos ≤Tcmc≤ nTcos−1 .
3.2.3 Une propri´et´e d’expansion des temps quasi-concaves
SoitT :M →R+ une fonction temps de Cauchy de classe C2. On noteξT =−∇T son gradient Lorentzien et on consid`ere le flot Φt
T engendr´e par ξT. On note par ˜ΣT
1 le niveau
T−1(1) deT.
Proposition 3.2.16. Soitα: [a, b]→Ωune courbe de type espace contenue dans le pass´e de
˜
Σ1. Alors la longueur de la courbeαest inf´erieure `a celle deα1 o`uα1(s) = Φ1−T(α(s))(α(s))
est la projet´ee deαsur le niveau Σ˜1 le long des orbites de ΦT.
D´emonstration. SoitX un champ de vecteurs tangent `a ˜Σ1. On le prolonge en un champ de vecteursXb sur Ω via le flot Φt
T : pour toutqdans Ω, on poseXqb =DpΦt(Xp) ou (p, t) est l’unique ´el´ement de ˜Σ1×Rtel que q= Φt(p). Remarquons que [ξ,Xb] = 0.
Pour toutt0≥0, on note parXtb0la restriction du champ de vecteursXb au niveau ˜Σt0+1.
Soit maintenant la fonctionf : ˜Σ1×R→R d´efinie parf(p, t) =|DpΦt(X)|2. Pour tout p
fix´e dans ˜Σ1,f(p, .) est une fonction croissante en t. En effet, 1 2 d dt DΦt(X)2 t=t0 =1 2ξ. bX 2 =D b Xt0,∇ξXtb 0E. Or [ξT,Xb] = 0 donc, 1 2 d dt DΦt(X)2 t=t0=D b Xt0,∇Xbt0ξE =D b Xt0,∇Xbt0(λn)E .
o`uλest fonction de Ω dansRd´efinie parλ=√ 1
1 2 d dt DΦt(X)2 t=t0 =D b Xt0, λ∇Xbt0n+Xtb0(λ)nE =λD b Xt0,∇Xbt0nE =λΠ(Xtb0,Xtb0)≥0.
Ceci implique que si α1 est une courbe contenue dans ˜Σ1 alors Φt(α1) (t < 0) est de longueur plus petite que celle deα1. Soit maintenantαune courbe dans le pass´e de ˜Σ1. Soit
α1(s) = Φ1−T(s)(α(s)). On sait que ˙α(s) =−T′(s)ξα(s)+Dα1(s)Φ1−T(s).α˙1(s). Par suite
|α˙(s)|2=
−T′(s)ξα(s)+Dα1(s)Φ1−T(s).α˙1(s)
2
.
Mais comme ˙α1(s) est orthogonale `a ξα1(s)on obtient :
|α˙(s)|2= T′(s)ξα(s) 2 + Dα1(s)Φ1−T(s).α˙1(s) 2 . Donc, |α˙(s)|2≤Dα1(s)Φ1−T(s).α˙1(s) 2 . Or Dα1(s)Φ1−T(s).α˙1(s)2 ≤ |α˙1(s)|2 donc, |α˙(s)|2≤ |α˙1(s)|2,
ce qui donne le r´esultat voulu.
Remarque 3.2.17. Bien que la proposition 3.2.16 exige que le temps de Cauchy soitC2, on pourrait la g´en´eraliser pour des fonctions temps qui sont plus au moins sympathiques (C1,1
par exemple).