L’espace anti-de Sitter

Mod`ele lin´eaire de l’espace anti-de Sitter

Consid´erons l’espaceR^2,ni.e l’espace vectorielRⁿ⁺² muni de la m´etriqueq2,n=−du2

−

dv2+dx2

1+...+dx2

n de signature (2, n).

D´efinition 6.1.1. Le mod`ele lin´eaire de l’espace anti-de Sitter AdSn+1 est le lieu d´efini par :

AdSn+1=

x∈R^2,n tel queq2,n(x, x) =−1

Remarque 6.1.2. 1) L’applicationAdSn+1 →S1×Dn d´efinie par : (u, v, x)→(q ¹ 1 +|x|² u,q ¹ 1 +|x|² v,q ^x 1 +|x|² )

o`u |.| est la norme euclidienne dex, est un diff´eomorphisme entre l’espace anti-de Sitter et

S¹×Dⁿ.

2) Contrairement au cas hyperbolique, l’espace anti-de Sitter est connexe. 3) Le groupe d’isom´etrie de AdSn+1 est O(2, n).

Proposition 6.1.3. Les hypersurfaces totalement g´eod´esiques de AdSn+1 sont les compo-santes connexes des intersections des hyperplans deR2,n avec AdSn+1.

On obtient ainsi deux types d’hypersurfaces totalement g´eod´esiques :

– Les hypersurfaces totalement g´eod´esiques de type espace : ce sont les composantes connexes des intersections entreAdSn+1et les hyperplans de type (1, n) deR²,n. Elles sont isom´etriques `a Hn;

– Les hypersurfaces totalements g´eod´esiques de type temps : ce sont les composantes connexes des intersections entre les hyperplans de type (2, n−1) etAdSn+1. Elles sont isom´etriques `a AdSn.

On obtient de mˆeme trois types de g´eod´esiques :

– Ceux de type espaces : ce sont les intersections entre les hyperplans de type (1,1) et

AdSn+1. Elles sont isom´etriques `aH¹;

– Ceux de type temps : ce sont les intersections entre les hyperplans d´efinies n´egatifs de dimension 2 et AdSn+1;

– Ceux de type lumi´ere : ce sont les intersections entre les hyperplans d´eg´en´er´es de dimension 2 et AdSn+1.

Le champ de vecteurv∂/∂u−u∂/∂v est un champ de vecteurs de type temps tangent `a AdSn+1. Il d´efinit donc une orientation chronologique sur AdSn+1. Le groupe O+(2, n) des isom´etries de AdSn+1 qui pr´eserve cette orientation chronologique n’est autre que la composante neutreO0(2, n).

Plongement conforme de l’espace anti-de Sitter

Nous allons proc´eder comme dans le cas de Sitter. Soit Einn+1 l’espace d’Einstein de dimensionn+ 1. Rapellons qu’il est conform´ement ´equivalent `a (Sn×S1, dx2−dt2), o`udx2

est la m´etrique ronde deSn et dt2celle de S1.

Soit x un vecteur de type espace de R2,n Soit C le cone d’annulation de q2,n. Consi-d´erons la projection U(x) dans Einn+1 de l’intersection de C et de l’hyperplan affine

p∈R²,n+1 tel que :q2,n(x, p) = 1 . Quitte `a composer par un ´el´ement deO(2, n), on peut supposer quex= (0, ,0, ...,1).

Consid´erons la section sx : U(x) → C qui envoie chaque rayon de U(x) sur son unique intersection avec l’hyperplan affine

p∈R²,n+1 tel que :q2,n(x, p) = 1 . Ceci d´efinit une m´etriquegs_x surU(x). Dans ce cas (U(x), gs_x) est isom´etrique au mod`ele lin´eaireAdSn+1

de l’espace anti-de Sitter. D’autre part, l’identification conforme entre Einn+1 et (Sn×

S¹, dx2

−dt2) induit une isom´etrie conforme entreAdSn+1et (Dⁿ×S¹, dx2

−dt2). Ainsi on obtient la proposition suivante :

Proposition 6.1.4. ([16, Proposition 4.16]). Le mod`ele lin´eaireAdSn+1 de l’espace anti-de Sitter est conform´ement ´equivalent `a(Dⁿ×S¹, dx2

−dt2), o`udx2 est la m´etrique ronde de

Remarque 6.1.5. L’ensemble des hyperplan de type lumi`ere deR2,n constitue le bord de Penrose de l’espace anti-de Sitter AdSn+1. Ainsi l’espace AdSn+1∪∂AdSn+1 est confor-m´ement ´equivalent `a ( ¯Dn×S1, dx2−dt2). De la mˆeme fa¸con on obtient que ∂AdSn+1 est conform´ement ´equivalent `a(Sⁿ⁻¹×S¹, dx2

−dt2), o`u dx2 est la m´etrique deSⁿ⁻¹

D´efinition 6.1.6. On appelle espace anti-de Sitter universel, qu’on note_AdSng _{+1, le}

revˆete-ment universel de l’espace anti-de SitterAdSn+1 muni de la m´etrique lorentzienne relev´ee. De la mˆeme mani`ere on d´efinit le bord universel∂_AdSng _{+1 de l’espace anti-de Sitter comme}

´etant le revˆetement universel du bord ∂AdSn+1.

Proposition 6.1.7. L’espace anti-de Sitter universel est conform´ement ´equivalent `a(Dn×

R, dx2−dt2), o`udx2 est la m´etrique ronde de Sn et dt2 celle deR. D´emonstration. Elle d´ecoule imm´ediatement de la Proposition 6.1.4.

Remarque 6.1.8. Le bord universel ∂_AdSng _{+1 de l’espace anti-de Sitter est conform´ement}

´equivalent `a(Sⁿ⁻¹×R, dx2

−dt2).

Lemme 6.1.9. Deux points de_AdSng _{+1 sont causalement reli´es si et seulement s’ils sont}

causalement reli´es dans_Einng _+1.

D´emonstration. Soient p et q deux points de _AdSng _{+1. Supposons que q est dans le futur}

causal depdansAdSng +1. CommeAdSng +1se plonge conform´ement dansEinng +1pest aussi dans le futur depdansEinng +1.

R´eciproquement supposons que q est dans le futur causal de p dans Einng +1. On ´ecrit

p= (xp, tp) (respq= (xq, tq)) avecxp (resp xq) dans Dn et t (resptq) dans R. On a donc

tq−tp> dSn(xq, xp), o`udest la distance d´efinie surS par sa m´etrique ronde. Consid´erons la courbeαd´efinie parα(s) = (x(s), ^tq−tp

dSn(xq,xp)s), o`ux(s) est la g´eod´esique dansDⁿ reliant

xp etxq. La courbeαest donc une courbe de type temps reliant les deux pointspetqdans

g

AdSn+1. Doncqest dans le futur causal deqdans_AdSng _+1.

Remarque 6.1.10. Grˆace au Lemme 6.1.9 on peut facilement voir que l’espace anti-de Sitter universel_AdSng _{+1n’est pas globalement hyperbolique. En effet, siO repr´esente le point}

(0, ...,0,1)∈Sn, alors l’intervalle J+(O,−π

2)∩J−(O,π

2)est l’ensemble des points(x, t) de

Dn×[−π

2,+π

2]tels que :|t| ≤ π

2−dSn(O, x)qui n’est clairement pas compact.

Une autre cons´equence du Lemme 6.1.9 est le corollaire suivant :

Corollaire 6.1.11. Une partie S de _AdSng _{+1 est achronale si et seulement si elle est le}

graphe d’une application 1-lipschitz d’une partie de Dn dansR. En particulier toute partie ferm´ee achronale sans bord de_AdSng _{+1est le graphe d’une application1-lipschitz de}Dⁿdans

R.

On obtient aussi le corollaire suivant :

Corollaire 6.1.12. Une partieS de∂_AdSng _{+1 est achronale si et seulement si elle est le}

graphe d’une application1-lipschitz d’une partie deSn−1 dansR. En particulier toute partie ferm´ee achronale sans bord de∂_AdSng _{+1 est le graphe d’une application1-lipschitz de}Sⁿ⁻¹

Mod`ele de Klein de l’espace anti-de Sitter

D´efinition 6.1.13. On appelle mod`ele de Klein de l’espace anti-de SitterAdSn+1la