Convergence de Hausdorff-Gromov

Soit (X, d) un espace m´etrique. Pour tout sous-ensembleS deX etr >0, ler-voisinage deS est l’ensemble d´efini parVr(S) =∪x∈SB(x, r).

D´efinition 2.6.10. La distance de Hausdorff entre deux sous-ensembles non vides S1,S2

deX est d´efinie pardH(S1, S2) = inf{r >0 :S1⊂Vr(S2) etS2⊂Vr(S1)} si un telrexiste etdH(S1, S2) = +∞sinon.

A moins de se restreindre aux sous-ensemble ferm´es deX,dH n’est pas une distance sur l’ensembleP(X) des parties deX. En effet :

Proposition 2.6.11. ([27, Proposition 7.3.3]). Soit(X, d) un espace m´etrique.

– 1)dH est une pseudo-distance sur l’ensembleP(X)\ {∅} des parties non vides deX; – 2)dH(S1, S2) = 0si et seulement si S1=S2.

Un corollaire imm´ediat de la proposition pr´ec´edente est le fait que l’ensembleF(X) des sous-ensemble ferm´es non vides de X muni de la distance de HausdorffdH est un espace m´etrique qui s’identifie `a l’espace m´etrique quotient (P(X),d^¯).

Proposition 2.6.12. ([27, Proposition 7.3.7, Th´eor`eme 7.3.8]). Soit (X, d)un espace m´e-trique.

– 1) Si (X, d)est complet, alors(F(X), dH) est complet. – 2) Si (X, d)est compact, alors(F(X), dH) est compact.

La distance de Hausdorff-Gromov est d´efinie entre deux espaces m´etriques quelconques, l’id´ee est d’identifier les espaces isom´etriques. Ce qui am`ene `a se restreindre aux espaces compacts.

D´efinition 2.6.13. La distance de Hausdorff-Gromov entre deux espaces m´etriques X1 et

X2 est d´efinie comme ´etant la borne inf´erieure des r > 0 pour lesquels il existe un espace m´etriqueX et deux sous espaces m´etriquesX′

1etX′

2isom´etriques `aX1etX2respectivement v´erifiantdH(X′

1, X′

2)< r. On la notedGH(X1, X2).

Dans la d´efinition pr´ec´edente au lieu de prendre tous les espaces m´etriques X qui ad-mettent des plongements isom´etriques deX1et X2, on peut se restreindre aux espaces m´e-triques qui sont obtenus comme des espaces quotients de l’union disjointe deX1 etX2par une pseudo-distancedv´erifiant : d|X1 =d1 et d|X2 =d2. En d’autres termes,dGH(X1, X2) est la borne inf´erieure des r >0 pour lesquels il existe une pseudo-distance d sur l’union disjointeX1∪X2, prolongeant les distances d1 et d2 et v´erifiantdH(X1, X2)< r. En effet, soit X un espace m´etrique et soit f1, f2 deux plongements isom´etriques de X1, X2 dans

X tel quedH(f1(X1), f2(X2)) < r. D´efinissons la pseudo-distance d sur X1∪X2 par : si

x1 ∈ X1 et x2 ∈X2 alors d(x1, x2) =dX(f1(x1), f2(x2)). Pour cette pseudo-distance on a

dH(X1, X2)< r.

Proposition 2.6.14. ([27, Proposition 7.3.13]). La distance de Hausdorff-Gromov v´erifie l’in´egalit´e triangulaire :

dGH(X1, X3)≤dGH(X1, X2) +dGH(X2, X3).

Il existe une autre formulation de la distance de Hausdorff-Gromov utilisant la notion de correspondance :

D´efinition 2.6.15. Une correspondance entre deux ensemblesX1etX2est un sous-ensemble

R⊂X1×X2 tel que les projectionsπ1:R→X1 etπ2:R→X2 soient surjectives.

D´efinition 2.6.16. SoitR une correspondance entre deux espaces m´etriquesX1 etX2. La distorsion deR est d´efinie par :

dis(R) =sup{|dX1(x1, y1)−dX2(x2, y2)|: (x1, x2)∈R et(y1, y2)∈R}.

Le th´eor`eme suivant donne une autre d´efinition ´equivalente `a celle de 2.6.13 de la distance de Hausdorff-Gromov.

Th´eor`eme 2.6.17. ([27, Th´eor`eme 7.3.25]). Soient X1, X2 deux espaces m´etriques non vides. Alors

dGH(X1, X2) =¹

2^inf{dis(R), o`uR est une correspondance entreX1 etX2}.

Soit f : X1 → X2 une isom´etrie entre X1 et X2. Consid´erons la correspondance R

d´efinie parR={(x, f(x)) :x∈X1}. Dans ce casdis(R) = 0. R´eciproquement, siRest une correspondance entreX1 et X2 telle que dis(R) = 0, alors il existe une isom´etrief :X1→

X2 telle que R = {(x, f(x)) :x∈X1}. En effet, pour tous (x1, x2), (y1, y2) dans R on a

dX1(x1, y1) =dX2(x2, y2). Ceci implique en particulier que pour tout x1 dans X1, il existe un unique f(x1) = x2 dans X2 tel que (x1, f(x1)) ∈ R. Il est clair que f est l’isom´etrie voulue. On obtient en particulier que siX1etX2sont isom´etriques, alorsdGH(X1, X2) = 0. La r´eciproque reste vraie dans le cas compact :

Th´eor`eme 2.6.18. ([27, Th´eor`eme 7.3.30]). La distance de Hausdorff-Gromov d´efinie une distance sur l’espace des classes d’isom´etries des espaces m´etriques non vide compacts c’est-`

Remarque 2.6.19. Si dGH(X1, X2) = 0 avec X1 compact et X2 complet, alors X2 est compact et donc isom´etrique `a X1. En effet, pour tout ǫ > 0 il existe une correspondance

R telle quedis(R)< ǫ. Comme X1 est compact, il existe un sous ensemble finiX′ tel que

dist(x1, X′)< ǫ pour tout x1 dans X1. Notons Y l’ensemble desx2 dansX2 pour lesquels il existex1 dansX′ v´erifiant (x1, x2)∈R. Il est clair quedist(x, Y)<2ǫpour toutxdans

X2. Comme X1 est compact, il existe donc un sous-ensemble finiY′ deY tel que pour tout

xdansX2 on ait dist(x, Y′)<4ǫ. Leǫ´etant quelconque etX2´etant complet, ceci implique queX2 est compact.

Le th´eor`eme 2.6.18 permet de d´efinir une notion de convergence entre espaces m´etriques compacts :

D´efinition 2.6.20. On dit qu’une suite (Xn)n∈N d’espaces m´etriques non vides converge pour la topologie de Hausdorff-Gromov vers un espace m´etrique non vide compact X si et seulement si

dGH(Xn, X)−−−−→_n→∞ 0.

Une cons´equence directe du Th´eor`eme 2.6.17 est le corollaire suivant :

Corollaire 2.6.21. Une suite d’espaces m´etriques non videsXn converge pour la topologie de Hausdorff-Gromov vers un espace m´etrique non vide compact X si pour tout ǫ > 0 , il existe n0 ≥0 tel que : pour tout n ≥ n0, il existe une correspondance Rn entre Xn et X

v´erifiant :

|dXn(xn, yn)−dX(x, y)|<2ǫ, pour tous (xn, x),(yn, y) dansRn.

Exemple 2.6.22. Soit(X, dn)n∈Nune suite d’espaces m´etriques non vides compacts conver-geant uniform´ement vers un espace m´etrique(X, d). Alors(X, dn)n∈N converge vers(X, d)

pour la topologie de Hausdorff-Gromov.

La proposition suivante r´esume les propri´et´es de la convergence au sens de Hausdorff-Gromov.

Proposition 2.6.23. [26, Proposition I.5.38] SoitX un espace m´etrique complet. On sup-pose queX est une limite Hausdorff-Gromov d’espaces m´etriquesXn.

– 1) Si chaque Xn est un espace de longueurs, alorsX est un espace de longueurs. – 2) Si chaque Xn est propre, alors X est propre.

– 3) Si chaque Xn est propre et g´eod´esique, alors X est propre et g´eod´esique. – 4) Si chaque Xn estCAT(0), alorsX est CAT(0).

D´efinition 2.6.24. Une famille d’espaces m´etriques compacts(Xi, di)i∈I est dite unifom´e-ment compacte si :

– 1) Il existe une constante C telle quediam(Xi)≤C pour touti;

– 2) Pour toutǫ >0, il existe un entier naturelN(ǫ)tel que pour touti,Xi contient un ensemble fini ǫ-denseYi (c’est-`a-diredist(x, Yi)≤ǫ pour toutxdansXi) de cardinal inf´erieur `aN.

Le th´eor`eme suivant est un th´eor`eme de pr´e-compacit´e dˆu `a Gromov :

Th´eor`eme 2.6.25. ([26, Th´eor`eme I.5.41]). Toute famille uniform´ement compacte d’espaces m´etriques compacts est pr´e-compact pour la topologie de Hausdorff-Gromov. En d’autres termes toute suite (Xn)n∈N extraite de cette famille admet une sous-suite convergente pour la topologie de Hausdorff-Gromov.