Flamme laminaire en expansion sphérique : Vitesse de combustion et relation avec

1.6.1. Vitesse de combustion laminaire d’une flamme en expansion

Nous allons maintenant nous intéresser à la détermination de la vitesse de flamme laminaire dans le cas particulier de flamme laminaire de prémélange en expansion sphérique. Les techniques optiques d’ombroscopie, Schlieren ou tomographie par diffusion de Mie (détaillées dans les chapitres 2 et 5) permettent de déterminer le rayon du front de flamme correspondant au gradient maximal de température dans le front de flamme (avec un degré différent entre l’ombroscopie et le Schlieren) ou bien à l’isotherme associée à la température d’évaporation des particules d’ensemencement utilisées en tomographie. La position du rayon de la flamme considérée est essentielle pour la détermination théorique de la vitesse de flamme laminaire. Il est montré par la suite qu’en pratique, la position du rayon mesurée expérimentalement dans le front de flamme est à l’origine de l’hypothèse de flamme infiniment mince utilisée dans la suite de ce paragraphe.

La vitesse de propagation étirée d’une flamme en expansion laminaire est mesurée expérimentalement grâce à l’évolution temporelle du rayon de flamme . Il s’agit de la vitesse de déplacement du front de flamme dans le référentiel dit du laboratoire :

(1.27)

Ainsi, il s’agit de la seule vitesse pouvant être mesurée expérimentalement sans aucune ambiguïté.

En effet, le passage de la vitesse de propagation laminaire à la vitesse de combustion laminaire repose sur les hypothèses de combustion isobare, de gaz brûlés au repos ainsi que de l’équilibre chimique. Cela implique l’usage de la relation suivante :

( ) ( ) (1.28)

avec et respectivement les masses volumiques des gaz frais et des gaz brûlés à l’équilibre chimique. Toutefois, cette relation approximée ne prend pas en considération les différents phénomènes suivants :

- Au moment du dépôt d’énergie lors de l’allumage de la flamme, une augmentation de la température des gaz brûlés ainsi que de la vitesse de combustion est observée. Cela influence donc les premiers instants de la propagation de la flamme.

- Les effets de courbure (importants sur les flammes en expansion sphérique, même s’ils sont déclinants avec l’augmentation du rayon de flamme) et les effets de diffusion influencent également l’évolution de la propagation de la flamme et la température des gaz brûlés.

L’équation (1.28) ne prend aucunement en compte ces effets en ce qui concerne la masse volumique des gaz brûlés .

- Le confinement de la flamme dans une enceinte fermée influence également la flamme.

Ainsi, pour les grands rayons de flamme, les masses volumiques et , ainsi que la vitesse de flamme sont modifiées du fait de l’augmentation de pression du milieu.

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Pour toutes ces raisons, nous préférerons utiliser ici la démonstration décrite dans les travaux de thèse de Bonhomme [29], permettant de relier la vitesse de consommation des gaz à la vitesse de propagation .

Nous avons déjà vu dans l’équation (1.7) que la vitesse de consommation des gaz frais pouvait s’exprimer en fonction des taux de réaction ̇ des espèces engagées dans la réaction de combustion. Dans le cas de la flamme en expansion sphérique, la relation devient :

( ) ∫ ̇ (1.29)

avec représentant la fraction massique d’une espèce dans les gaz frais, la limite du domaine d’intégration (dans notre cas, représente donc le rayon interne de l’enceinte sphérique de combustion).

D’après l’équation de conservation de l’espèce , on peut également écrire : l’équation (1.31). On utilise maintenant la définition de la vitesse de consommation de l’équation (1.29) que l’on intègre dans l’équation (1.30) :

( )[ ( ) ( )]

[ ] (1.32)

Etant donné notre configuration (enceinte sphérique fermée), la flamme se propage dans un espace dit « fini ». En conséquence, la vitesse de diffusion de l’espèce , et la vitesse des gaz sont nulles en .

De plus, la relation (1.27) étant valable à la fois pour toute espèce réactif ou produit, nous allons nous placer dans le cas d’un produit de combustion, que nous noterons . On définit alors un certain rayon moyen correspondant à une sphère contenant la masse de produits formés :

̅̅̅ (1.33)

avec la fraction massique d’un produit de la rédaction dans l’ensemble des gaz brûlés et ̅̅̅ la masse volumique des gaz brûlés que l’on moyenne dans l’espace entre et .

En recombinant les équations (1.32) et (1.33), on obtient alors :

43 certaines hypothèses sur ̅̅̅ et afin de déterminer la vitesse de consommation à partir de la relation (1.34). On émet ainsi l’hypothèse que les masses volumiques sont indépendantes du temps et de l’espace. C’est pourquoi, la masse volumique des gaz frais reste égale à sa valeur initiale. Les variations de celle-ci à cause du confinement (enceinte fermée) sont donc négligées. Cela revient à supposer l’enceinte suffisamment grande. De la même manière, la masse volumique moyenne ̅̅̅

des gaz brûlés est supposée constante entre les rayons et . Elle est d’ailleurs supposée égale à celle des gaz brûlés à l’équilibre et peut-être calculée avec le logiciel EQUIL [27]. Cette dernière hypothèse est la plus difficile à vérifier quand, à basse pression par exemple, l’épaisseur de flamme est relativement importante. Cependant, la masse volumique moyenne ̅̅̅ peut aussi être considérée comme une constante au cours du temps sous l’hypothèse d’une combustion isobare.

Sous ces conditions, l’équation précédente (1.34) peut-être écrite de la manière suivante :

observée est totalement dépendante de la technique optique mise en place expérimentalement.

Toutefois, l’épaisseur de flamme laminaire est ici très faible et, de plus, diminue au cours de la propagation de la flamme. Cela rend alors impossible la distinction entre les rayons et . C’est pourquoi l’hypothèse d’une flamme infiniment mince sera retenue dans la suite de cette étude et l’égalité suivante sera admise :

(1.36)

1.6.2. Vitesse de combustion laminaire non étirée et longueur de Markstein Il est connu que les flammes en expansion laminaire sont soumises à de forts effets d’étirement de par leur géométrie (flammes courbées). Néanmoins, afin de caractériser au mieux les mélanges réactifs, il est nécessaire d’obtenir une vitesse de propagation non étirée, qui sera ainsi indépendante de la configuration expérimentale, pour déterminer la vitesse de flamme laminaire . Cet effet de l’étirement sur la propagation des flammes laminaires de prémélange a été étudié dans différents travaux théoriques et numériques [21][18][30][31].

Dans le cas d’une flamme sphérique en expansion, l’étirement, introduit en Section 1.4. par l’équation (1.11), subit par la flamme au cours de sa propagation s’écrit :

(1.37)

en utilisant l’aire de surface de flamme de rayon .

Les étirements et , respectivement liés aux contraintes de cisaillement et à la courbure du front de flamme, sont exprimés par Bradley et al. [32] à partir des équations (1.20) et (1.21), proposées par Candel et Poinsot [21], pour une flamme laminaire sphérique de la manière suivante :

44 fortement la propagation de la flamme, et donc sa vitesse. Ce phénomène, suggéré pour la première fois par Markstein [33], a été approfondi par la suite dans les travaux théoriques de Clavin [25][34] et Matalon [31]. Ces études ont conduit à la relation suivante entre vitesse de flamme et étirement :

(1.41)

avec la vitesse de flamme non étirée (pour un étirement nul) et la longueur de Markstein définie du côté des gaz frais. Il est toutefois plus aisé de déterminer expérimentalement l’évolution du rayon de flamme et donc la vitesse de propagation . On utilisera alors la relation suivante :

(1.42)

avec la vitesse de propagation à étirement nul et la longueur de Markstein définie du côté des gaz brûlés. Les longueurs de Markstein côté gaz frais et côté gaz brûlés , dépendent des propriétés physico-chimiques du mélange de réactifs et présentent des valeurs différentes. Dans la plupart des travaux sur les flammes en expansion sphérique, c’est la relation avec la longueur de Markstein côté gaz brûlés qui est utilisée [24][35][36][37]. La vitesse de flamme laminaire est ensuite obtenue en multipliant la vitesse de propagation laminaire (Equation (1.42)) par le facteur d’expansion. Ce choix est souvent motivé par la difficulté expérimentale de mesurer la vitesse des gaz frais devant le front de flamme. Certains travaux utilisent néanmoins la PIV (Particule Image Velocimetry) comme technique pour accéder à et déterminer directement la vitesse de flamme laminaire, comme l’attestent les travaux de Varea et al. [38] ou de Balusamy et al. [39]. On peut noter que la détermination de par la mesure directe du (Equation (1.41)) leur permet de s’affranchir de l’utilisation du facteur d’expansion contrairement à la détermination utilisant (Equation (1.42)). De plus la plage de visualisation utilisée pour la détermination de la vitesse de propagation n’est généralement pas suffisante pour que l’équilibre soit atteint. En conséquence, l’utilisation du facteur d’expansion pour la détermination de la vitesse de flamme non étirée est une hypothèse forte voire une approximation qu’il est important de garder à l’esprit.

Les relations (1.41) et (1.42), que nous qualifierons de linéaires, s’appuient toutefois sur un certain nombre d’hypothèses, et notamment que la flamme est faiblement étirée, c’est-à-dire que le rapport

⁄ est proche de . Ainsi, les limites de la relation linéaire (1.42) ont été évoquées dans de nombreuses études (Chen [40], Chen et Ju [41], C.K. Law [42][43]) pour des mélanges réactifs à grand nombre de Lewis et donc une grande longueur de Markstein positive (hydrocarbures ). La vitesse de flamme laminaire non étirée et la longueur de Markstein sont alors dans ce cas toutes deux grandement surestimées (Figure 1.8). Cette limite incite donc à utiliser un modèle non linéaire pour relier la vitesse de propagation et l’étirement . De plus il apparaît désormais que l’utilisation de la relation non linéaire (1.43) semble plus précise pour l’extrapolation de la vitesse de

45 propagation laminaire à étirement nulle (Kelley et al. [44]). En effet, il a été montré par Halter et al. [45] que l’utilisation de la méthode linéaire (1.42) a pour conséquence une surestimation de longueur de Markstein (spécifiquement lorsque celle-ci devient grande) ainsi qu’une erreur relative sur la détermination de la vitesse pouvant atteindre dans certains cas comme les flammes d’ pauvres (Figure 1.8 (a)) ou les mélanges riches [45].

( ) (( ) + (1.43)

Figure 1.8 : Evolution de la vitesse de propagation linéaire en fonction de l’étirement pour des flammes de prémélange à , et pour des richesses (a) et (b) .

De nombreuses hypothèses accompagnent également cette relation non linéaire (1.43) comme le soulignent Chen et Ju [41] :

- La propagation de la flamme est considérée quasi-stationnaire, ce qui reste discutable selon les plages du rayon de la flamme et de l’étirement considérées. Ce problème n’est pas rencontré, par exemple, en flamme plane.

- Les transferts radiatifs sont négligés. Cette hypothèse devient difficilement défendable notamment dans le cas de forte dilution au [46][47]. Cela peut alors conduire à la sous-estimation des vitesses de flammes mesurées selon la technique optique utilisée (Schlieren notamment) à cause de l’augmentation de avec la dilution qui devient non-négligeable [48].

- La dépose d’énergie d’allumage n’est pas considérée. L’allumage a une influence sur la propagation de la flamme et cet effet sera étudié dans ces travaux (sous-section 3.1.3.). Par ailleurs, le transfert de chaleur dans les électrodes d’allumage pendant la propagation de la flamme n’est pas non plus considérée. Cette perte d’énergie peut être plus ou moins importante selon la matière et l’épaisseur des électrodes à l’intérieur de l’enceinte de combustion.

- Nous considérons que l’effet de confinement n’intervient pas sur la propagation de nos flammes. Cette hypothèse est valable tant que la propagation de la flamme dans l’enceinte reste isobare. L’augmentation de la pression marque le début des effets de confinement

46

précédemment citée) sont observés dans les travaux de Kelley et al. [44], Figure 1.9.

L’hypothèse d’invariance de la pression, valable sur une plage bien définie de la propagation, nous assure aussi une invariabilité des masses volumiques et durant la propagation de flamme.

Figure 1.9 : Evolution de la vitesse de propagation linéaire (notée ici) en fonction de l’étirement (noté ici) pour une flamme de prémélange à , et . Détails des différentes phases de propagation de la flamme [44].

- On considère l’épaisseur de flamme comme négligeable devant le rayon . - Les gaz brûlés sont toujours considérés comme étant au repos.

- L’énergie d’activation des mélanges réactifs est supposée élevée, ce qui nous assure une chimie de réaction infiniment rapide, notamment vis-à-vis de la vitesse de propagation de la flamme.

- Nous supposons la propagation de la flamme comme adiabatique. Cela nous permet de ne pas inclure les échanges thermiques avec l’extérieur de l’enceinte de combustion, qui sont néanmoins extrêmement faibles grâce à la grande inertie thermique de l’enceinte.

- On considère enfin les gaz utilisés comme parfaits et au repos afin de garantir un milieu réactif sans aucun mouvement interne et sans stratification des espèces chimiques au sein du mélange.

Ainsi, en restant sous ces hypothèses, notamment de propagation de flamme à pression constante et d’épaisseur de flamme infiniment mince, nous pouvons écrire d’après l’équation (1.28) :