Puri et Ralescu ([83]) consid`erent que les r´esultats d’une exp´erience al´eatoire ne sont pas num´eriques mais qu’ils peuvent ˆetre de nature linguistique vague.
2.4.1 Mod`ele classique
Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´e. Consid´erons une variable al´eatoire discr`ete X : Ω→ R telle que P (X = xi) = pi o`u i = 1 . . . n et Pni=1pi = 1. Consid´erons ´egalement un param`etre
fixe y0 telle que l’information disponible sur celui-ci est donn´ee par un ensemble flou associ´e
`a la fonction d’appartenance (distribution de possibilit´e) πy0 : R → [0, 1]. Ainsi, on peut
d´efinir une variable eY : Ω→ eP(R) qui affecte `a chaque ´el´ement w de Ω la mˆeme distribution de possibilit´e πy0 o`u eP(R) est l’ensemble des distributions de possibilit´e de R dans [0, 1]. Ce
sch´ema illustre le fait que le param`etre y0 ne d´epend pas de chaque ´el´ement particulier de Ω.
Consid´erons une fonction F : R2 → [0, 1] et une variable al´eatoire T = F ◦(X, y0). T prend les
valeurs ti = F (xi, y0) avec les probabilit´es respectives pi pour i = 1 . . . n. Alors, l’information
disponible sur T est donn´ee par la variable al´eatoire floue eT : Ω → eP(R) d´efinie de la fa¸con suivante :
e
T (w)(t) = sup
{y∈R/F (X(w),y)=t}
πy0(y) (2.5)
On d´efinit ainsi n distributions de possibilit´e diff´erentes (πTi )i=1...n, une pour chaque image
de T . Pour chaque i ∈ {1, ..., n} et chaque w ∈ Ω, l’ensemble flou eT (w) co¨ıncide avec la distribution de possibilit´e πT
i , d´efinie `a partir de F et πy0 de l’´equation 2.5. Ainsi, la variable
al´eatoire floue eT prend ses n valeurs π1T, . . . , πnT avec les probabilit´es respectives p1, . . . , pn.
Nous pouvons interpr´eter ce r´esultat comme une distribution de masse (pi)i associ´ee `a des
´el´ements focaux flous (πTi )i [28, 40, 99]. Dans le cadre o`u les ´el´ements focaux (πiT)i seraient
des ensembles classiques, nous aurions : Bel(A) = n X i=1 piNiT(A), ∀A o`u NiT(A) = 1 si πTi ⊆ A, 0 sinon
Ainsi, dans le cadre o`u les ´el´ements focaux (πTi )i sont des distributions de possibilit´e, la
cr´edibilit´e Bel(A) et la plausibilit´e P l(A) peuvent s’exprimer comme suit : P l(A) = n X i=1 pisup t∈A πTi (t), ∀A
40 Cadres formels pour repr´esenter les probabilit´es impr´ecises Bel(Ac) = n X i=1 piinf t∈A(1− π T i (t)), ∀A
ce qui correspond `a une extension naturelle des fonctions de croyance.
2.4.2 Mod`ele possibiliste de second ordre
Dans le cas pr´ec´edent, la distribution de probabilit´e affecte un degr´e de probabilit´e pr´ecis `a chaque image de eT (distribution de possibilit´e). Cependant, un autre point de vue dans la litt´erature [21] est d’associer `a chaque ´ev´enement, une distribution de possibilit´e. Cette distribution de possibilit´e refl`ete le caract`ere impr´ecis de la vraie probabilit´e de l’´ev´enement. Soit eT : Ω → eP(R) une variable al´eatoire floue repr´esentant de l’information impr´ecise sur une variable al´eatoire T0 : Ω → R. Consid´erons `a titre d’exemple la variable al´eatoire floue
e
T : Ω→ eP(R) o`u la distribution de possibilit´e eT (w) (voir Figure 2.9) est donn´ee par : e
T (w)(x) =
1− |U(w) − x| si x ∈ |U(w) − 1, U(w) + 1| 0 sinon
et U : Ω→ R est une variable al´eatoire avec une distribution uniforme sur [0, 1]. Pour chaque
−10 −0.75 −0.5 −0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Possibilité p 1 p2 p3 PSfrag replacements Te(w1) Te(w2) Te(w3) [ eT(w1)]0.4 [ eT(w2)]0.4 [ eT(w3)]0.4
Fig. 2.9 – Echantillon de 3 distributions de possbilit´e eT (wi) de la variable floue al´eatoire eT et de 3 intervalles [T (wi)]0.4 de l’intervalle al´eatoire eT0.4
α > 0, la probabilit´e de l’´ev´enement ”T0(w) ∈ [ eT (w)]α, ∀w ∈ Ω” est sup´erieure ou ´egale
`a 1− α. Ceci est en accord avec le fait que la distribution de possibilit´e implique que pour chaque α coupe [ eT (w)]α, le degr´e de n´ecessit´e N ([ eT (w)]α)≥ 1−α. Les α coupes, de la variable
al´eatoire floue de l’exemple, sont donn´ees (voir Figure 2.9) par :
[ eT (w)]α= [U (w)− (1 − α), U(w) + (1 − α)], ∀α ∈ [0, 1]
Sous cette interpr´etation, nous pouvons dire que, pour chaque niveau de confiance 1− α, la distribution de probabilit´e associ´ee `a T0 appartient `a l’ensemble PTeα ={PT|T ∈ S( eTα)}, o`u
Cadres formels pour repr´esenter les probabilit´es impr´ecises 41 est l’ensemble des s´elections de eTα, l’ensemble des variables al´eatoires compatibles avec eTα.
Ainsi, pour un ´ev´enement A⊆ Ω, la probabilit´e PT0(A) appartient `a l’ensemble :
Pe
Tα(A) ={PT(A)|T ∈ S( eTα)} (2.6)
avec un niveau de confiance 1− α. La distribution de possibilit´e ePTe sur les distributions de probabilit´e, donn´ee par :
e
PTe(Q) = sup{α ∈ [0, 1]|Q ∈ PTeα} ∀Q
est vue comme une repr´esentation impr´ecise de la mesure de probabilit´e PT0. En accord avec
l’information disponible la quantit´e ePTe(Q) repr´esente le degr´e de possibilit´e que Q co¨ıncide avec la vraie mesure de probabilit´e PT0 associ´ee `a T0.
D’un autre cˆot´e, pour chaque ´ev´enement A, la distribution de possibilit´e πPe
e
T(A) d´efinie comme
suit : πPe e T(A) (p) = sup{α ∈ [0, 1]|p ∈ PTe α(A)}, ∀p ∈ [0, 1]
repr´esente notre impr´ecision sur la quantit´e PT0(A) = P (T0 ∈ A). Ainsi, la valeur πPe e T(A)(p)
repr´esente le degr´e de possibilit´e que le ”vrai” degr´e de probabilit´e PT0(A) soit p. La Figure
2.10 repr´esente la distribution de possibilit´e πPe
e
T((−∞,0.25])
concernant la variable al´eatoire floue de notre exemple. Les α-coupes de l’ensemble flou πPe
e
T((−∞,0.25]) sont donn´ees par :
[πPe e T((−∞,0.25])]α = (0, 1) si α≤ 1/4 (0, 5/4− α) si α∈ (1/4, 3/4) (α− 3/4, 5/4 − α) si α ≥ 3/4
La mesure de possibilit´e associ´ee `a la distribution de possibilit´e ePTeest une mesure de possi- bilit´e de second ordre. Ce terme est utilis´e car il s’agit d’une distribution de possibilit´e d´efinie sur un ensemble de mesures de probabilit´e [94].
Nous rappelons qu’une distribution de possibilit´e code une famille de mesures de probabilit´e. Par cons´equent, une distribution de possibilit´e de second ordre est associ´ee `a un ensemble de mesures de m´eta-probabilit´e ; chacune d’elles d´efinie sur un ensemble de mesures de proba- bilit´e. Ainsi, une distribution de possibilit´e de second ordre permet de d´eclarer des phrases du type ”la probabilit´e que la vraie probabilit´e de l’´ev´enement T0 ∈ (−∞, 0.25] soit 0.2 est
situ´ee entre 0 et 0.95”, i.e.
0≤ P (P (T0 ≤ 0.25) = 0.2) ≤ 0.95
Il est facile de v´erifier que l’ensemble des valeurs consid´er´ees dans l’´equation 2.6 est limit´e sup´erieurement (voir exemple Figure 2.10) par :
P lα(A) = P ({w ∈ Ω|[ eT (w)]α∩ A 6= ∅})
et limit´e inf´erieurement (voir exemple Figure 2.10) par :
Belα(A) = P ({w ∈ Ω|[ eT (w)]α ⊆ A})
En particulier, si A est un intervalle de la forme (−∞, x], alors P lα(A) et Belα(A) co¨ıncident
avec les valeurs :
42 Cadres formels pour repr´esenter les probabilit´es impr´ecises 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Probabilité (T 0 ≤ 0.25)=F(0.25)
Pl
0.75(T
≤
00.25)
Bel
0.75(T
≤
00.25)
Bel
(T
0 0≤ 0.25)
Pl
0(T
0≤ 0.25)
PSfrag replacements πPe e T((−∞,0.25])Fig. 2.10 – Distribution de possibilit´e que la vraie probabilit´e d’ˆetre inf´erieure `a 0.25 soit ´egale `a F (0.25)
Fα(x) = Belα((−∞, x]) = P ({w ∈ Ω|max[ eT (w)α]≤ x})
Dans [55], Ferson et al. repr´esente l’information concernant PT0 par une famille emboˆıt´ee d’en-
semble de mesures de probabilit´e{P({Fα, Fα})}α∈[0,1]. P({Fα, Fα}) repr´esente l’ensemble des
mesures de probabilit´e obtenu `a partir de Fα et Fα, i.e., l’ensemble :
{Q|Fα(x)≤ Q((−∞, x]) ≤ Fα(x), ∀x ∈ R}
La figure 2.11 repr´esente un ´echantillon de la famille de mesures de probabilit´e [Fα, Fα]
concernant l’exemple pr´ec´edent pour α = 0, α = 0.5 et α = 1. En g´en´eral, pour chaque α ∈ (0, 1], l’ensemble des mesures de probabilit´e PTe
α est plus pr´ecise que l’ensemble des me-
sures de probabilit´e associ´e `a Belα et P lα. Par cons´equent, pour un ´ev´enement quelconque
A, l’ensemble des valeurs PTe
α(A) est inclu dans l’intervalle [Belα, P lα].