Etude des incertitudes sur le mod`ele de la concentration

Dans un premier temps, nous calculons le minimum et le maximum du mod`ele consid´er´e `a l’aide du Recuit Simul´e pr´esent´e dans l’Annexe D `a l’aide des supports des distributions propos´ees dans la Section 6.3.1. Cette approche permet de d´efinir les cas extrˆemes mais n’est pas suffisamment informative compte tenu de notre ´etat de connaissance sur les param`etres qui est plus riche qu’une connaissance base´ee uniquement sur des intervalles.

Dans un deuxi`eme temps, nous supposons toute l’information concernant les param`etres de nature al´eatoire et nous propageons celle-ci `a travers le mod`ele consid´er´e en utilisant la tech- nique de Monte-Carlo avec hypoth`ese d’ind´ependance stochastique entre les param`etres (cadre purement probabiliste).

Pour finir, nous propageons l’information `a travers le mod`ele consid´er´e en essayant de rester fid`ele `a l’information r´eellement disponible et ainsi prendre en consid´eration l’information de nature impr´ecise. Les m´ethodes de propagations utilis´ees sont la m´ethode ”Hybride” et la m´ethode ”Independent Random Sets”.

Le but est de quantifier l’effet de la repr´esentation de la connaissance impr´ecise sur le r´esultat de la concentration Cpc au point de conformit´e en le comparant au r´esulat obtenu dans le

cadre purement probabiliste. Le point de conformit´e est d´efini `a 300 m `a l’aval hydraulique de la source, dans l’axe du panache et `a la surface de la nappe, correspondant `a la coordonn´ee (301.5,0,0,1000) par rapport au centre de la source.

6.2.2.1 Calcul d’intervalles

Tous les param`etres sont mod´elis´es par des intervalles (min-max), puis on calcule les ex- tremas de la concentration Cpc `a l’aide de la proc´edure d’optimisation du Recuit Simul´e de

l’Annexe D. Cette m´ethode permet d’obtenir un encadrement (min-max) de la concentration Cpc sans pour autant nous renseigner sur la vraisemblance d’atteindre telle ou telle valeur `a

l’int´erieur de cet encadrement.

Le Tableau 6.41 pr´esente le maximum et le minimum de la concentration Cpc en TCE au

point de conformit´e (301.5,0,0,1000). Nous rappelons que la vitesse v et le facteur de retard R (voir Section 6.2.1.3) d´ependent de la porosit´e φ. Ainsi, pour une valeur fix´ee de φ, l’op- timum potentiel (pour ce φ fix´e) sera atteint pour une vitesse v ∈ [2.21_φ , 31.54_φ ] et un retard R _{∈ [1 +} 0.68_φ , 1 + 2.04_φ ]. Il en est de mˆeme pour les coefficients de dispersivit´e αx, αy et αz.

Nous remarquons que la concentration minimale en TCE est nulle. Ceci est principalement dˆu `a la valeur haute que peut atteindre le facteur de retard R = 10.27 et `a la prise en compte de la d´egradation.

6.2.2.2 Calcul purement probabiliste

L’incertitude sur les param`etres du mod`ele, dans ce paragraphe, sera uniquement due au caract`ere al´eatoire (suppos´e) de l’information (incertitude=variabilit´e). Nous utilisons la tech- nique dite Monte-Carlo avec hypoth`ese d’ind´ependance pour estimer la concentration Cpc. La

Figure 6.28 permet de mettre en ´evidence que l’utilisation des mesures pour la pluie annuelle ou de la loi normale cal´ee sur les donn´ees fournit des r´esultats similaires. Par cons´equent,

146 Application sur des cas r´eels simplifi´es Contraintes des valeurs

F (g.an−1) [323.61,7046.193] λ (-) [0.15,0.03] φ (-) [0.3,0.22] v (m.s−1_{) [}2.21 φ , 31.54φ ] R (-) [1+0.68_φ , 1+2.04_φ ] αx (-) [5.00 , 150.00] αy (-) [0.1αx , 0.2αx] αz (-) [0.01αx , 0.02αx] Cpc (µg.l−1) [0, 957]

Tab._{6.34 – R´esultat du maxima et du minima de la concentration Cpc en TCE au point de} conformit´e (301.5,0,0,1000) `a l’aide du Recuit Simul´e.

nous d´ecidons pour la suite de cette ´etude de travailler uniquement avec la pluie efficace d´eduite des mesures de la pluie. La Figure 6.29 repr´esente la probabilit´e que la concentration

10−1 100 101 102 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Concentration au point (301.50,0.00,0.00,1000) µg.l−1 Probabilité(Concentration>seuil)

Cas purement probabiliste, Q mesures Cas purement probabiliste, Q normale Seuil fixé par l’OMS (10 µg.l−1₎

Fig._{6.28 – Comparatif des r´esultats sur la concentration Cpcselon la loi de probabilit´e utilis´ee} (mesures - normale) sur la pluie d´eterminant la pluie efficace Q (voir Section 6.3.1).

en TCE d´epasse un certain seuil et permet de faire une premi`ere comparaison avec l’approche s´ecuritaire consistant `a d´eterminer les valeurs extrˆemes (voir Section 6.2.2.1).

La variabilit´e des r´esultats concernant la concentration Cpc en TCE peut se caract´eriser par

l’intervalle [F_C−1_pc(0.5), F_C−1_pc(0.95)] o`u FCpc est la fonction de r´epartition (probabilit´e cumul´ee)

de la concentration Cpc. La Table 6.35 pr´esente les fractiles `a 5% et 95% de la concentration

Cpc. L’approche s´ecuritaire nous informe que la concentration Cpc est certaine de se trouver

dans l’intervalle [0, 957] µg.l−1. L’approche probabiliste nous informe que la concentration Cpc se trouve dans l’intervalle [0.33, 15.57] µg.l−1 avec une probabilit´e de 90%. Nous pouvons

Application sur des cas r´eels simplifi´es 147 ´egalement dire que la probabilit´e de d´epasser le seuil fix´e par l’OMS (Cpc = 10 µg.l−1) est

de 12% seulement. Ces affirmations sont toutefois contestables dans la mesure o`u nous avons suppos´e arbitrairement que toute l’incertitude sur les param`etres pouvaient ˆetre repr´esent´ee par des distributions de probabilit´e uniques.

10−2 10−1 100 101 102 103 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Concentration au point (301.50,0.00,0.00,1000) µg.l−1 Probabilité(Concentration>seuil)

Cas purement probabiliste Valeur maximale Seuil 10 µg.l−1

Fig._{6.29 – Comparatif sur la concentration Cpc en TCE entre un traitement purement pro-} babiliste et un traitement par calcul d’intervalles.

Fractile `a 5% Fractile `a 95% Rapport Fractile 95%/5%

Cadre purement probabiliste 0.33 15.57 47

Tab._{6.35 – Fractiles de la concentration Cpc en µg.l}−1 _{dans le cadre purement probabiliste.}

6.2.2.3 Calculs ”Hybride” et ”Independent Random Sets”

Nous consid´erons `a pr´esent que l’information, sur les param`etres θQ, Cs, K, i, φ, αx,

αy, αz, λ, Kd n’est plus de nature al´eatoire mais de nature impr´ecise. Ces param`etres sont

donc mod´elis´es `a l’aide d’un intervalle ou d’une distribution de possibilit´e suivant le cas (voir Tableau 6.33). Nous allons donc combiner de l’information de nature al´eatoire au travers de la pluie et de l’information de nature impr´ecise au travers des param`etres cit´es pr´ec´edemment, `a l’aide du calcul ”Hybride” puis du calcul ”Independent Random Sets”.

6.2.2.4 Les effets du caract`ere impr´ecis de l’information sur le calcul de la concentration Cpc en TCE

Nous consid´erons en premier lieu que la concentration Cs est repr´esent´ee par la distribu-

tion de possibilit´e trap´ezo¨ıdale (voir Figure 6.19). La Figure 6.30 permet d’observer les effets sur l’incertitude de la concentration Cpc en TCE au point de conformit´e selon que l’on se

place dans le cadre purement probabiliste ou dans le cadre o`u l’on tient compte du caract`ere impr´ecis de l’information. Dans ce dernier cas, l’incertitude sur la concentration n’est plus

148 Application sur des cas r´eels simplifi´es 10−10 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Concentration au point (301.50,0.00,0.00,1000) µg.l−1 Probabilité(Concentration>seuil)

Cas purement probabiliste Probabilité basse Probabilité haute Valeur maximale Seuil 10 µg.l−1

Fig._{6.30 – Impacts sur l’incertitude de la concentration selon que l’on consid`ere l’information,} sur Cs, K, i, φ, αx, αy, αz, λ et Kd, de nature al´eatoire ou impr´ecise.

uniquemement due `a de la variabilit´e mais est due `a de la variabilit´e plus de l’impr´ecision. L’´ecart entre la probabilit´e haute et la probabilit´e basse refl`ete le caract`ere impr´ecis sous les conditions de (in)d´ependances impos´ees dans le cadre de la m´ethode ”Hybride”. Ainsi, `a l’aide de la Table 6.36, nous remarquons que l’incertitude totale, dans le cadre du calcul ”Hybride”, est de plus de 1235% sup´erieure `a celle obtenue dans le cadre probabiliste. Dans le cadre pure- ment probabiliste, nous aurions conclu que la probabilit´e de d´epasser 10 µg.l−1 ´etait de 12%, valeur qui pourrait sembler acceptable en terme de risque. Mais avec la m´ethode ”hybride” qui tient compte du caract`ere impr´ecis de l’information dont nous disposons, nous arrivons `a un risque de d´epassement qui ne peut ˆetre jug´e tol´erable. En effet, dans un contexte sanitaire ou environnemental, nous aurions tendance `a consid´erer la courbe de probabilit´e haute de d´epassement de seuil. Or, la Figure 6.31 indique une probabilit´e haute de d´epassement de seuil ´egal `a 1, c’est `a dire qu’il est tout `a fait ”possible” que

P (concentration en TCE > 10 µg.l−1) = 1

ce qui peut ˆetre jug´e inacceptable en terme de risque.

Fractile `a 5% Fractile `a 95% Rapport Fractile 95%/5%

Cadre purement probabiliste 0.33 15.57 47

Probabilit´e basse 8e10−9 5e10−3

Probabilit´e haute 20.7 203.5 2e10

10

Application sur des cas r´eels simplifi´es 149 6.2.2.5 Les effets de la convexit´e de Cs sur l’incertitude de concentration Cpc en

TCE

Dans cette sous-section, nous allons mettre en ´evidence que le fait de rajouter de la connaissance en jouant sur la convexit´e de la distribution de possibilit´e πCs (voir Figure 6.20)

r´eduit l’´ecart entre la probabilit´e haute et basse. En effet, une certaine convexit´e impos´ee sur la branche droite de πCs, rendant ainsi la distribution de possibilit´e πCs plus informative, aura

pour cons´equence de fournir des r´esultats sur la concentration Cpcplus informatifs. La Figure

6.31 met en ´evidence les effets de la convexit´e de la concentration dans l’eau de percolation Cs

dans la m´ethode ”hybride”. Nous pouvons observer que l’´ecart entre les probabilit´es haute et basse se resserre un peu quand la repr´esentation de Csest plus informative due `a sa convexit´e

`a droite. Ceci semble naturel dans le sens o`u plus on est informatif et plus on obtient des r´esultats pr´ecis. 10−10 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Concentration au point (301.50,0.00,0.00,1000) µg.l−1 Probabilité(Concentration>seuil)

Cas purement probabiliste Probabilité basse

Probabilité haute Valeur maximale Seuil fixé (10 µ g.l−1₎

Probabilité basse, C_s convexe Probabilité haute, C_s convexe

Fig._{6.31 – Impacts sur l’incertitude de la concentration selon que l’on consid`ere l’information,} sur θQ, Cs, K, i, φ, αx, αy, αz, λ Kd, est de nature al´eatoire ou impr´ecise et selon la convexit´e

`a droite ou non de la distribution de possibilit´e repr´esentant Csol.

6.2.2.6 Les effets de la m´ethode de propagation choisie sur l’incertitude de la concentration Cpc

Cette section permet de mettre en ´evidence que l’incertitude sur la concentration Cpc

diff`ere selon la m´ethode choisie (”Hybride” ou ”Independence Random Sets”) du fait notam- ment des (in)d´ependances impos´ees par chacune d’elle.

La Figure 6.32 permet de comparer les deux m´ethodes de propagation sous les conditions de (in)d´ependances qui leur sont propres. Nous pouvons remarquer `a l’aide de la Table 6.37 que l’incertitude, dans le cadre de la m´ethode ”Independence Random Sets”, est inf´erieure de 14% `a celle de la m´ethode ”Hybrid”. Quelque soit la m´ethode utilis´ee, la probabilit´e que la concentration en TCE au point de conformit´e d´epasse 10 µg.l−1 peut potentiellement at- teindre 1 et on n’est absolument pas certain d’ˆetre en dessous de 10 µg.l−1. C’est `a dire qu’il

150 Application sur des cas r´eels simplifi´es 10−10 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Concentration au point (301.50,0.00,0.00,1000) µg.l−1 Probabilité(Concentration>seuil)

Cas purement probabiliste Probabilité basse, hybride Probabilité haute, hybride Seuil (10 µg.l−1)

Valeur maximale

Probabilité basse, homogène Probabilité haute, homogène

Fig._{6.32 – Impacts de latechnique de propagation utilis´ee sur l’incertitude de la concentra-} tion.

est tout `a fait possible que :

P (concentration en TCE > 10 µg.l−1) = 1 ce qui est jug´e inacceptable en terme d’impact sur l’environnement.

Fractile `a 5% Fractile `a 95% Rapport Fractile 95%/5%

Cadre purement probabiliste 0.33 15.57 47

Probabilit´e basse, hybride 8e10−9 5e10−3

Probabilit´e haute, hybride 20.7 203.5 2e10

10

Probabilit´e basse, Ind. Rand. Sets 3e10−7 4e10−3

Probabilit´e haute, Ind. Rand. Sets 30.5 175 6e10

8

Tab. _{6.37 – Fractiles de la concentration Cpc en µg.l}−1 _.