Etude des incertitudes de l’activit´e racinaire

Nous d´etaillerons l’´etude des incertitudes sur l’activit´e racinaire uniquement pour le ma¨ıs. En effet, les ph´enom`enes observ´es sont similaires pour l’herbe. Le but est de montrer les effets de la mod´elisation de la connaissance impr´ecise sur le r´esultat de l’activit´e racinaire comparativement au cadre purement probabiliste.

6.1.1.2.1 Calcul d’intervalles

Tous les param`etres sont mod´elis´es par des intervalles (min-max), puis on calcule l’ensemble des valeurs possibles de l’activit´e racinaire par un calcul d’intervalles (voir r´esultats Table 6.3). Cette m´ethode permet d’obtenir un encadrement (min-max) de l’activit´e racinaire sans pour autant nous informer dans quelle mesure on peut atteindre telle ou telle valeur `a l’int´erieur de cet encadrement.

Pour les param`etres mod´elis´es par des lois de probabilit´e (facteur de transfert sol/Plante F rac et masse volumique Ro), on prendra comme bornes les fractiles `a 0.5% et 99.5%.

Ma¨ıs F rac (Bq.kg sec de v´eg´etal−1/Bq.kg de sol−1) 0.114 1.63

Ro (kg.m−3) 493.005 2327

P r (m) 0.15 0.3

Activiteracinaire (Bq.kg−1 sec) 1.63e10−4 0.022

Application sur des cas r´eels simplifi´es 111 6.1.1.2.2 Calcul de r´ef´erence

Le calcul de r´ef´erence correspond `a un calcul d´eterministe. Les valeurs modales de chaque param`etre sont s´electionn´ees et on calcule l’activit´e racinaire du ma¨ıs `a partir de celles-ci. Le mode d’une loi log-normale de param`etre (m, σ) est donn´ee par em−σ2. Ainsi, la valeur modale, pour le facteur de transfert sol/plante F rac, est de 0.33. La table 6.4 r´epertorie les valeurs modales de chaque param`etre et le r´esultat du calcul de l’activit´e racinaire du ma¨ıs.

Ma¨ıs F rac (Bq.kg sec de v´eg´etal−1 /Bq.kg de sol−1) 0.33

Ro (kg.m−3) 1410

P r (m) 0.225

Activit´eracinaire (Bq.kg sec−1) 1.04e10−3

Tab. _{6.4 – R´esultat de l’activit´e racinaire du ma¨ıs (Bq.kg sec}−1_{) pour une s´election des} valeurs modales de chaque param`etre.

6.1.1.2.3 Calcul purement probabiliste (variabilit´e)

Dans ce paragraphe, l’incertitude sur l’activit´e racinaire du ma¨ıs est uniquement due au caract`ere al´eatoire (suppos´e) de l’information (incertitude=variabilit´e). La figure 6.1 nous montre les effets de la variabilit´e sur les r´esultats de l’activit´e racinaire du ma¨ıs comparative- ment au calcul de r´ef´erence (voir Section 6.1.1.2.2). L’incertitude sur les param`etres : profon- deur racinaire, rendement et facteur de transfert est mod´elis´ee par des lois de probabilit´es (voir Section 6.1.1.1) et on utilise la technique dite Monte-Carlo avec hypoth`ese d’ind´ependance pour estimer l’incertitude sur l’activit´e racinaire du ma¨ıs. Pour caract´eriser l’incertitude sur l’activit´e racinaire, on utilisera l’intervalle [F<sub>activite</sub>−1 <sub>racinaire</sub>(0.5), F<sub>activite</sub>−1 <sub>racinaire</sub>(0.95)] o`u Factiviteracinaire est la fonction de r´epartition (probabilit´e cumul´ee) de l’activit´e racinaire.

La table 6.14 r´epertorie les fractiles `a 5% et 95% de l’activit´e racinaire du ma¨ıs en injec- tant progressivement de la variabilit´e dans le mod`ele au travers des param`etres Pr, Ro et

F rac. Cette table et la figure 6.1 montrent que plus on injecte de la variabilit´e dans le mod`ele (activit´e racinaire du ma¨ıs) et plus la variabilit´e de l’activit´e racinaire du ma¨ıs est importante i.e _{1.04e10−3_}ref ⊆ [7.99e10−4, 1.49e10−3]Pr ⊆ [6.58e10−4, 1.96e10−3](Pr,Ro) ⊆

[5.28e10−4, 3.94e10−3](Pr,Ro,F rac). La figure 6.2 met en ´evidence (comparativement `a la figure

Fractile `a 5% Fractile `a 95% Rapport Fractiles `a 95% / 5%

Pr (indice=2) 7.99e10−4 1.49e10−3 1.86

Pr (indice=2), Ro 6.58e10−4 1.96e10−3 2.98

Pr (indice=2), Ro , F rac 5.28e10−4 3.94e10−3 7.46

Tab._{6.5 – Synth`ese des effets de la variabilit´e sur l’activit´e racinaire du ma¨ıs (Bq.kg sec}−1_).

6.1) que lors d’une analyse de sensibilit´e du mod`ele, l’ordre dans lequel on injecte la variabilit´e au travers des param`etres du mod`ele g´en`ere des r´esultats diff´erents. Cela montre notamment

112 Application sur des cas r´eels simplifi´es la quasi-impossibilit´e d’avoir des indicateurs de sensibilit´e pertinents `a partir d’´etudes mono- param´etriques.

La figure 6.2 montre ´egalement les effets sur l’activit´e racinaire du ma¨ıs selon diff´erentes repr´esentations de la profondeur racinaire Pr (uniforme, triangulaire, constant). On peut

conclure `a ce stade de l’analyse (cadre purement probabiliste) que quelle que soit la repr´esentation du param`etre Pr(valeur fixe, probabilit´e uniforme ou triangulaire), celle-ci n’a pas de cons´equence

sur l’activit´e racinaire (notamment sa variabilit´e). Ceci est dˆu d’une part au fait que la varia- bilit´e de la profondeur racinaire Prest faible devant celle du facteur de transfert F rac et de la

masse volumique Ro et d’autre part `a l’hypoth`ese d’ind´ependance entre les param`etres incer-

tains. Ainsi, on constate sur la figure 6.2 que prendre le param`etre Pr´egal `a sa valeur nominale

ou mod´elis´e par une loi uniforme n’influe quasiment pas sur la distribution de probabilit´e de l’activit´e racinaire. L’incertitude du param`etre Prest donc noy´ee dans l’incertitude provenant

des param`etres R0 et Frac, Cependant, ceci ne signifie pas que la valeur de Pr est sans effet

sur l’activit´e racinaire, mais seulement que sa variabilit´e n’apparaˆıt pas. Pour illustrer ce

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Probabilité (activité racinaire > seuil)

Activité racinaire du maïs (Bq.kg−1 sec) Référence 1.04 e10−3 P r Uniforme P r Uniforme, R0 Normal P

r Uniforme, R0 Normal, Frac Lognormal

Fig. _{6.1 – Effets de la variabilit´e sur l’ac-} tivit´e racinaire du ma¨ıs dans le cadre pro- babiliste. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Probabilité (activité racinaire > seuil)

Activité racinaire du maïs (Bq.kg−1₎

Référence 1.04 e10 Frac lognormal

Frac lognormal, R_o normal

Frac lognormal, R_o normal, P_r Uniforme

Frac lognormal, R_o normal, P_r Triangulaire

PSfrag replacements

-3

Fig. _{6.2 – Effets de la variabilit´e du pa-} ram`etre Pr sur l’activit´e racinaire du ma¨ıs

dans le cadre probabiliste.

point, supposons par exemple que l’incertitude sur Pr soit mod´elis´ee par une loi de probabi-

lit´e uniforme sur [0.15, 0.225] ou par une loi de probabilit´e uniforme sur [0.225, 0.3]. Ces deux mod´elisations : Pr entre [0.15, 0.225] et Prentre [0.225, 0.30] correspondent `a des informations

plus pr´ecises que Pr entre [0.15, 0.30] et en premi`ere analyse on pourrait s’attendre `a ce que

les valeurs possibles de l’activit´e racinaire r´esultant de ces deux mod´elisations du param`etre Pr soient incluses dans la gamme de valeurs obtenues avec Pr variant entre [0.15, 0.30]. Ce

n’est pas le cas comme le met en ´evidence la figure 6.3. Le r´esultat visualis´e sur la Figure 6.2, `a savoir que la variabilit´e du param`etre Prest n´egligeable devant la variabilit´e des param`etres

R0 et Frac est encore davantage vrai si on r´eduit la variabilit´e de Pr. Il est donc important de

retenir que la Figure 6.2 montre l’effet de la variabilit´e de Pr et la Figure 6.3 montre l’effet

de Pr. L’effet de la variabilit´e d’un param`etre et l’effet d’un param`etre sont des notions bien

diff´erentes et c’est pour les distinguer de fa¸con naturelle que nous allons utiliser une m´ethode combinant la th´eorie des probabilit´es (effet de la variabilit´e des param`etres) et la th´eorie des possibilit´es (effet des param`etres).

Application sur des cas r´eels simplifi´es 113 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Probabilité (Activité racinaire > seuil)

Activité racinaire du maïs (Bq.kg sec−1₎

Frac lognormal, Ro normale, Pr uniforme sur [0.15,0.3]

Frac lognormal, Ro normale, Pr triangulaire sur [0.15,0.3]

Frac lognormal, Ro normale, Pr uniforme sur [0.15,0.225]

Frac lognormal, Ro normale, Pr uniforme sur [0.225,0.3]

Fig. _{6.3 – Effet sur l’activit´e racinaire du ma¨ıs selon diff´erentes lois de probabilit´e de Pr.}

6.1.1.2.4 Calcul ”Hybride” (Combine impr´ecision-variabilit´e).

On consid`ere `a pr´esent que l’information sur la profondeur racinaire Pr n’est plus de nature

al´eatoire mais de nature impr´ecise. Ce param`etre sera donc mod´elis´e `a l’aide d’un intervalle ou d’une distribution de possibilit´e triangulaire (Indice 1 ou 3) qui sera plus coh´erente avec notre ´etat de connaissance sur Pr (voir Section 6.1.1.1.3). Nous allons donc combiner de l’in-

formation de nature al´eatoire au travers du facteur de transfert sol/plante F rac, de la masse volumique Roet de l’information de nature impr´ecise au travers de la profondeur racinaire Pr

`a l’aide du calcul ”Hybride” (voir Section 4.2). La prise en compte de l’impr´ecision et de la variabilit´e, trait´ee par la m´ethode ”Hybride”, g´en`ere un ensemble de distributions de possibi- lit´e (voir Section 4.2). La prise en compte de l’impr´ecision dans le traitement des incertitudes, trait´ee par la th´eorie des possibilit´es ou des fonctions de croyance, g´en`ere non plus une proba- bilit´e unique mais une famille de probabilit´es. Le post-traitement du calcul ”hybride” fournit une probabilit´e haute et basse (voir Section 5.2.4). L’´ecart entre la probabilit´e haute et basse refl`ete le caract`ere impr´ecis de l’information sur les valeurs des param`etres. La probabilit´e basse comme la probabilit´e haute montrent l’effet de la variabilit´e des param`etres. La figure 6.4 permet d’appr´ecier les effets sur l’incertitude pour le mod`ele de l’activit´e racinaire du ma¨ıs suivant la mod´elisation de la connaissance sur la profondeur racinaire Pr `a savoir une

mod´elisation probabiliste ou possibiliste. L’incertitude sur l’activit´e racinaire du ma¨ıs n’est plus uniquement due `a la variabilit´e des param`etres : R0, Frac et Pr, mais est due `a la varia-

bilit´e des param`etres : R0, Frac et `a l’impr´ecision sur les valeurs possibles du param`etre Pr.

Ainsi, `a l’aide de la table 6.6, on remarque que l’incertitude totale augmente de 57% dans le cadre du calcul ”Hybrid”. Dans le cadre purement probabiliste, on avait conclu que l’incerti- tude sur la profondeur racinaire Pr, mod´elis´ee par de la variabilit´e n’avait pas d’influence sur

l’incertitude de l’activit´e racinaire du ma¨ıs. En revanche, le fait de mod´eliser l’incertitude sur la profondeur racinaire Prcomme de l’impr´ecision conduit `a une augmentation significative de

l’incertitude totale sur l’activit´e racinaire. La figure 6.5 permet de comparer les incertitudes sur l’activit´e racinaire pour le ma¨ıs entre le calcul purement probabiliste, le calcul d’intervalle puis le calcul ”Hybride” pour diff´erentes repr´esentations de la profondeur racinaire Pr. On

observe que plus notre information est riche concernant la profondeur racinaire Pr (intervalle

114 Application sur des cas r´eels simplifi´es 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10−3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Probabilité (Activité racinaire > seuil)

Activité racinaire du maïs (Bq.kg sec−1)

Cas purement probabiliste avec P

r triangulaire

Probabilité basse avec P

r intervalle

Probabilité haute avec P_r intervalle Référence 1.04 e10−3

IMPRECISION

VARIABILITE

VARIABILITE + IMPRECISION

Fig._{6.4 – Impact sur les probabilit´es de l’activit´e racinaire du ma¨ıs selon que l’on consid`ere} l’information sur la profondeur racinaire Pr de nature al´eatoire ou impr´ecise.

Fractile `a 5% Fractile `a 95% Rapport Fractiles `a 95% / 5%

Cas purement probabiliste 5.48e10−4 _3.92e10−3 _7.15

indice Pr=1, Probabilit´e haute 8.23e10−4 5.70e10−3 13.83

indice Pr=1, Probabilit´e basse 4.12e10−4 2.85e10−3

Tab. _{6.6 – Impact sur les fractiles de l’activit´e racinaire du ma¨ıs (Bq.kg sec}−1_{) selon la} repr´esentation math´ematique de la connaissance sur la profondeur racinaire Pr (al´eatoire ou

Application sur des cas r´eels simplifi´es 115 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

activité racinaire maïs

Probabilité Pl, indice Pr=1 Bel, indice Pr=1 Pr Uniforme Pl, indice Pr=3 Bel, indice Pr=3 Pr Triangulaire Ecart dû à l’imprécision de Pr Probabilités hautes Pl résultant

de la combinaison (variabilité−imprécision)

Probabilités basse Bel résultant de la combinaison (variabilité−imprécision)

Calcul d’intervalles

Fig._{6.5 – Influence de la repr´esentation de la profondeur racinaire Pr sur la probabilit´e que} l’activit´e racinaire du ma¨ıs soit sup´erieure `a un certain seuil.

racinaire du ma¨ıs diminue (diminution de 30% de l’incertitude). La repr´esentation de la pro- fondeur racinaire Pr par une distribution de probabilit´e triangulaire sous-estime l’incertitude

de l’activit´e racinaire de 48% (resp. 18%) comparativement au cas o`u Pr est repr´esent´e par

un intervalle (resp. une distribution de possibilit´e triangulaire). Pour la profondeur racinaire Pr repr´esent´ee par la distribution de possibilit´e triangulaire, on peut dire que :

0.01≤ PActiviteracinaire([0.005,∞[) ≤ 0.03

A noter que cette derni`ere repr´esentation domine les deux distributions uniformes extrˆemes qui avaient ´et´e utilis´ees pour la profondeur racinaire Pr dans la section pr´ec´edente (voir Fi-

gure 6.3). En fait, la probabilit´e haute (resp. basse) en rouge de la figure 6.5 (indice Pr=3)

co¨ıncide avec la probabilit´e haute (resp. basse) en bleu de la figure 6.3. Ces premiers r´esultats Fractile `a 5% Fractile `a 95% Rapport Fractiles `a 95% / 5%

Cas purement probabiliste 5.48e10−4 3.92e10−3 7.15

indice Pr=1, Probabilit´e haute 8.23e10−4 5.70e10−3 13.83

indice Pr=1, Probabilit´e basse 4.12e10−4 2.85e10−3

indice Pr=3, Probabilit´e haute 6.57e10−4 4.15e10−3 8.75

indice Pr=3, Probabilit´e basse 4.73e10−4 2.91e10−3

Tab. _{6.7 – Impacts sur les fractiles de l’activit´e racinaire du ma¨ıs (Bq.kg sec}−1_{) selon} diff´erentes repr´esentations de la profondeur racinaire Pr.

mettent en ´evidence que dans un cadre purement probabiliste, on aurait conclu que la pro- fondeur racinaire Pr n’´etait pas un param`etre influent. Cependant, en restant fid`ele `a l’´etat

116 Application sur des cas r´eels simplifi´es alors un param`etre influent sur l’incertitude totale. Repr´esenter la profondeur racinaire par une distribution de probabilit´e unique donne des r´esultats informatifs (pr´ecis) mais qui sont arbitraires dans le sens o`u l’on a rajout´e implicitement de l’information `a notre ´etat d’igno- rance partielle sans justification. En proc´edant ainsi, on confond l’effet de l’impr´ecision sur les valeurs des param`etres (ici Pr) avec l’effet de la variabilit´e des param`etres. En tenant compte

du caract`ere impr´ecis de l’information, les r´esultats obtenus pour l’activit´e racinaire du mais sont plus discriminants que le calcul d’intervalle et plus conservatifs que le cas purement probabiliste.

Dans le document Représentation et propagation de connaissances imprécises et incertaines: Application à l'évaluation des risques liés aux sites et sols pollués. (Page 111-117)