Extraction des descripteurs

L’extraction de descripteurs est l’algorithme qui calcule une séquence de nombres à partir d’une image, sensés la décrire au mieux. Dans notre cas, il s’agit de caractéristiques de texture. Le descripteur le plus classique parmi les méthodes basées ondelettes est une mesure d’énergie dans chaque sous-bande, qui permet de caractériser le contenu fréquentiel de l’image - très lié par hypothèse au type de texture qu’elle contient. Des mesures statistiques globales comme la moyenne et l’écart-type (ce dernier étant sensiblement le même type de mesure que l’énergie) sont aussi très utilisées. Ici encore, nous nous garderons d’utiliser des méthodes plus complexes, afin de rester dans l’état de l’art.

Mesures sur l’amplitude

Les mesures classiques faites sur des coefficients d’ondelettes réels se transposent naturelle- ment sur l’amplitude des coefficients quaternioniques (ou même complexes). On considère le module du coefficient réel ou quaternionique A_s[k] de la sous-bande s à la coordonnée spatiale

k. La mesure d’énergie relative est donnée par :

ms = 1 E ∑ k (As[k])2 (2.48)

où E correspond à la somme des énergies de toutes les sous-bandes excepté la sous-bande basses- fréquences. La mesure ms s’interprète donc comme la quantité relative d’énergie dans une cer- taine bande de fréquence.

La mesure d’écart-type est donnée par :

ms= √ 1 N ∑ k (As[k]− µ)2 _{µ =} 1 N ∑ k As[k] (2.49)

où N est le nombre de coefficients dans la sous-bande s. Expérimentalement, la mesure d’énergie et celle d’écart-type donnent des performances équivalentes. Nous choisirons la mesure d’écart- type qui est indépendante d’un possible offset dans les données.

Mesures sur la phase

Le premier avantage de la QWT est dans l’invariance de son amplitude, et sera mis à l’épreuve avec les descripteurs précédents. Le second avantage est dans cette nouvelle information de phase

qui apporte une analyse plus riche de l’image, par rapport à la DWT. Comme nous l’avons déjà mentionné, la littérature est assez pauvre au sujet d’une mesure globale sur des phases. On notera la « cohérence globale de phase » [10] qui mesure la netteté d’une image à partir de sa phase locale mais dépend d’un modèle mathématique trop restreint pour notre application. Une modélisation des différences locales de phase dans la_{CWT a été également proposée [152] mais} reste spécifique aux ondelettes complexes.

L’intuition nous suggère qu’une mesure globale comme la moyenne ou la variance des angles

ϕ et θ ne formera pas nécessairement une caractéristique intéressante. En effet, l’information ϕ/θ définit un recalage fin des structures autour de la position du coefficient, ce qui a du sens

localement, mais la façon d’étendre ce genre d’information à une mesure globale sur toute une sous-bande n’est pas immédiate. En revanche, le troisième angle ψ, qui discrimine directement les structures directionnelles des autres, peut à travers une mesure globale comme l’écart-type traduire une notion de « quantité de structures orientées ». L’utilisation de ψ en segmentation de texture par T. Bülow nous influence dans le même sens, et les quelques expérimentations que nous avons faites à partir de mesures sur ϕ et θ ont abouti à une reconnaissance très mauvaise (inférieure à 3%).

Nous allons donc pour exploiter la phase QWT en classification de textures utiliser ψ unique- ment. Le choix de la mesure globale de ψ est assez intuitif. On imagine facilement qu’une moyenne risque de tendre analytiquement vers 0, puisque ψ∈ [−π

4;

π

4], et au vu des histogrammes étudiés

dans le cas de la quantification (figure 2.10), il semble que la distribution de cet angle soit rel- ativement symmétrique autour de 0. La moyenne ne porte donc pas d’information si elle vaut toujours 0. Une mesure d’énergie a du sens lorsque les données correspondent plus ou moins à une notion d’énergie, ce qui est le cas de l’amplitude des coefficients (lorsque la conservation de l’énergie est plus ou moins satisfaite par la tranformée), mais qui s’interprète difficilement dans le cas d’une phase. Finalement, une mesure à la fois simple et adaptée est celle de l’écart-type, qui permettra de mesurer la largeur de la distribution dans chaque sous-bande, temoignant ainsi du profil global des structures présentes : plutôt directionnelles si l’écart-type est grand. La mesure de ψ est donc définie ainsi :

ms = √ 1 N ∑ k (ψs[k]− µ)2 µ = 1 N ∑ k ψs[k] (2.50)

Notons que ψ ne pose aucun « problème de modulo », puisqu’il est borné à _{±π/4, et que} l’information portée à chacune de ses bornes n’est pas la même : diagonale dans un sens ou dans l’autre, donc pas de « circularité » autour de±π/4. Bien qu’il s’agisse d’un angle, l’écart- type se calcule donc de façon directe.

Une idée supplémentaire est de pondérer la mesure par l’amplitude, afin de privilégier les angles liés à des coefficients importants. Celà permettrait de ne pas parasiter la mesure avec des valeurs insignifiantes liées aux coefficients de petite amplitude. On peut alors modifier la mesure précédente de la façon suivante :

ms= √ 1 N ∑ k ws[k](ψs[k]− µw)2 µw= 1 N ∑ k ws[k]ψs[k] ws[k] = As[k] ∑ kAs[k] (2.51) Expérimentalement, cette seconde mesure donne de meilleurs résultats que l’écart-type standard, nous retiendrons donc la version pondérée pour la suite. Voyons maintenant comment combiner ceci avec la mesure sur l’amplitude.

Combinaison des mesures

Le descripteur QWT complet doit exploiter les informations d’amplitude et de phase ensem- ble. Il est commun en classification d’avoir à combiner des données de nature différente - ici, une « dispersion d’énergie » et une « dispersion de phase ». Celà peut produire un manque de

62 2.5. Mise à l’épreuve en classification de textures

cohérence dans le descripteur lors du calcul des distances dans l’algorithme k-ppv. L’utilisation d’une métrique permet en général d’équilibrer les différences d’ordre de grandeur entre les don- nées.

Une méthode classique est de normaliser chaque élément du descripteur par l’écart-type de cet élément dans la base complète. Nous avons constaté expérimentalement que cet ajustement n’augmente pas significativement les performances. Il apparait qu’en pratique, nos mesures sont d’un ordre de grandeur similaire et ne posent pas de problème particulier quant à leur cohabi- tation dans un seul descripteur. Les mesures d’écart-type sur A et d’écart-type pondéré sur ψ seront donc simplement concaténées en un descripteur de taille double sans aucune normalisa- tion.

Mesures par les ondelettes complexes

Il reste à définir les descripteurs basés sur la représentation en ondelettes complexes. Cette partie est un peu marginale dans ce travail car l’approche conceptuelle des ondelettes com- plexes 2D n’est pas celle du signal analytique et de la QWT. Cependant, l’algorithme étant très similaire, une confrontation pratique peut être intéressante.

Nous reprendrons les descripteurs définis dans [21, 22], mesurant la variance et l’entropie de l’amplitude et la variance de la phase des 6 sous-bandes de la _{CWT. Notons que les résultats} présentés dans ces articles sont meilleurs que ceux exposés dans ce travail, puisque les algo- rithmes de classification sont optimisés pour maximiser les performances, notamment avec une sélection/pondération des mesures basée sur une analyse en composantes principale. Comme expliqué plus haut, ce n’est pas l’esprit de notre travail.

Voici également quelques remarques sur ces descripteurs. Contrairement à l’angle ψ de la phase quaternionique, la phase des ondelettes complexe est bien une donnée circulaire définie dans [_{−π; π]. Une mesure de moyenne ou bien d’écart-type sur une telle donnée doit en général} gérer cette circularité, à travers une notion de « modulo π ». Cet aspect n’est pas traité dans [22], et les équations indiquent que les écart-types de phase complexe sont calculés indifféremment. En outre, la notion de pondération par l’amplitude que nous avons proposée n’est pas présente dans la définition de ces descripteurs. Etant donné le schéma de classification très sophistiqué qui est utilisé conjointement, notamment la sélection des descripteurs par ACP, et le fait que les poids résultants de cette ACP ne soient pas indiqués, il est difficile d’établir un lien entre ces différents descripteurs et les types de texture mieux reconnues. Il est donc probable que les mesures sur la phaseCWT soient éliminées dans les expérimentations de [21, 22].