3.5 Mise à l’épreuve en débruitage couleur
3.5.1 Étude des coefficients liés au bruit
Les méthodes classiques de débruitage par ondelettes reposent sur l’hypothèse que la dis- tribution des coefficients liés au bruit peut être modélisée efficacement par une loi gaussienne centrée. Celà implique en général un seuil constant sur l’ensemble des coefficients [44]. Ici, nous avons une transformée non-orthogonale, nécessitant d’étudier le comportement d’un bruit à travers la décomposition monogène couleur.
Coefficients primaires
La figure 3.9 montre que la décomposition d’un bruit gaussien centré de variance σ2 = 1
produit des sous-bandes au comportement également gaussien - centrées, mais avec des variances différentes. Ceci indique que la transformée n’est pas parfaitement normalisée, et donc ce facteur d’amplification doit être injecté dans la procédure de seuillage. Des valeurs expérimentales des ecart-types sont données dans la table 3.2. Les distributions continues théoriques ont été tracées sur les histogrammes (côté gauche de la figure 3.9) et montrent que le modèle gaussien
f (x) = 1 σs √ 2πe −x2 2σ2s (3.90)
100 3.5. Mise à l’épreuve en débruitage couleur 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Original noise 0.000 0.117 0.233 0.350 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Primary part 1st scale
0.000 0.233 0.467 0.700
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Riesz part modulus 1st scale
0.0 0.1 0.2 0.3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Primary part 2nd scale
0.0 0.2 0.4 0.6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Riesz part modulus 2nd scale
0.000 0.117 0.233 0.350
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Primary part 3rd scale
0.0 0.2 0.4 0.6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Riesz part modulus 3rd scale
0.000 0.117 0.233 0.350
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Primary part 4th scale
0.0 0.2 0.4 0.6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Riesz part modulus 4th scale)
Figure 3.9 – Histogrammes (barres) des sous-bandes primaires et du module des sous-bandes de la partie
Riesz ; modèles de densités de probabilités (lignes).
où σsest l’estimation de variance mesurée sur les coefficients, est bien adapté. La décomposition est appliquée à travers un ensemble de filtres passe-bande, avec une corrélation très limitée entre les fonctions de base, ce qui explique que les sous-bandes soient gaussiennes et apparemment indépendantes.
Les valeurs de σspourraient également être calculées analytiquement à partir de la définition des filtres. En effet, le filtrage linéaire y d’un signal aléatoire stationnaire x par un filtre H peut être étudié par densités spectrales de puissances Ψx = |F[x]|2 et autocorrélations Rx(τ ) =
F−1Ψx. On a en particulier Ψy = Ψx|H|2. La variance de sortie σ2
y est égale à Ry(0), ce qui se réduit à σ2 y = σ2 x 4π2 ∫∫(2π,2π) (0,0) |H(ω)| 2dω.
Par exemple la première échelle du banc de filtres est directement liée au filtre passe-haut :
σ21 = σ 2 4π2 ∫∫ (2π,2π) (0,0) ( 4(sin2 ω1 2 + sin2 ω22)− 8 3sin2 ω21 sin2 ω22 )γ 2kωkγ 2 dω (3.91)
Les autres coefficients sont liés à des filtres équivalents à chaque étape du banc de filtres. Des données plus réalistes sont introduites avec l’image peppers dégradée par un bruit blanc gaussien additif (Figure 3.10a). La figure 3.10b illustre l’histogramme de cR (partie primaire,
canal rouge) à la première échelle. Comme dans la méthode classique, nous supposons que la première échelle de la décomposition en ondelettes d’une image naturelle contient en très grande majorité du bruit. On retrouve à nouveau expérimentalement le modèle gaussien.
Pour confirmer le modèle gaussien, nous avons calculé un test de Kolmogorov-Smirnov qui compare les coefficients avec une vraie distribution gaussienne. Le test est positif pour l’image peppers avec une « p-value » de 0.9.
Voyons maintenant les coefficients de la partie Riesz.
Coefficients de la partie Riesz
Rappelons que l’information structurelle est portée par le module et l’argument d’un nom- bre complexe. La manipulation et le seuillage de données circulaires comme un angle n’est pas aisée. Dans ce travail exploratoire, et comme une première étape naturelle, nous nous concen- trerons sur le module. De plus, cette donnée est liée à une notion d’amplitude liée aux structures géométriques, et pour lesquelles un seuillage peut paraître approprié. Seuiller un angle est moins intuitif.
(a) (b)
Figure 3.10 – Image peppers dégradée par un bruit blanc gaussien additif (SNR=83 dB) et distribution
des coefficients de la première échelle du canal rouge cR.
Les coefficients de la partie Riesz peuvent eux aussi être étudiés en tant que sorties de filtrages linéaires passe-bande, c’est pourquoi nous proposons à nouveau de faire une hypothèse gaussienne pour leur distribution. Les parties réelles et imaginaires des sous-bandes suivent donc une loi gaussienne centrée et de variance σ2
s.
L’étude du module implique de caractériser la loi d’une variable aléatoire Z = (X2+ Y2)12
où (X, Y ) sont deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes de moyenne nulle et d’écart- type σs. Dans ce cas, il est bien connu que Z suit une loi de Rayleigh fZ(m) = σm2
se
−m2/2σ2
s1m>0, où 1m>0 est l’échelon de Heaviside. Les moments de Z sont donc E(Z) = σs
√
π/2 et V (Z) = σs2(2−π2). Voici la procédure que nous employons pour décrire la distribution des coefficients de la partie Riesz, illustrée à la figure 3.9 :
– Générer une image-test couleur faite de bruit gaussien seulement ;
– La décomposer à travers la transformée en ondelettes monogènes couleur ;
– Calculer les histogrammes des sous-bandes primaires et du module des sous-bandes de la partie Riesz ;
– Mesurer les écarts-types des sous-bandes primaires pour avoir une valeur expérimentale de σs;
– Calculer et représenter les distributions f et fZ avec les σs mesurés ;
Comme pour la partie primaire, la modélisation du module de la partie Riesz (côté droit de la figure 3.9) correspond bien aux histogrammes mesurés. Notons que la distribution de Rayleigh serait complètement justifiée si X et Y étaient complètement indépendants.
Pour l’image naturelle bruitée introduite plus haut (peppers), on observe l’histogramme de la figure 3.11 pour la première échelle du module de la partie Riesz. On retrouve la forme d’une distribution de Rayleigh, conformément à l’hypothèse selon laquelle la première échelle ne contient que du bruit.
Une illustration plus complète est donnée figure 3.12 avec les histogrammes sur plusieurs échelles. On voit que la dispersion augmente lorsque l’information utile devient, avec l’échelle, plus importante que le bruit. Il semble donc être une bonne idée d’estimer le seuil sur la première échelle, ce qui éliminera tous les coefficients de bruit tout en préservant l’information structurelle dans les autres échelles.
102 3.5. Mise à l’épreuve en débruitage couleur
Figure 3.11 – Histogramme du module de la partie Riesz à la première échelle pour l’image peppers
bruitée.
ainsi qu’une distribution de Rayleigh pour le module de la partie Riesz. Nous pouvons maintenant appliquer cette méthode de seuillage pour débruiter des images couleur.