Suite à la limite évidente de l’algèbre des nombres complexes pour une théorie du signal 2D, caractérisée par le manque d’unité entre les coefficients des représentations type Gabor, l’algèbre des quaternions a permis de définir une théorie du signal 2D complète. A partir d’une nouvelle transformée de Fourier dont les atomes sont des combinaisons d’ondes planes - par opposition aux simples ondes planes, une nouvelle notion de phase est apparue, et comprend trois angles :
68 2.6. Conclusion sur les approches quaterioniques
négatives dans les trois quadrants du spectre, offrant un modèle temporel sous forme d’atome de Fourier modulé en amplitude et en phase - selon les trois angles. Les deux premiers angles sont analogues à la phase complexe et encodent des déplacements locaux, mais cette fois-ci de manière plus complète puisque tout déplacement 2D est entièrement caractérisé par (ϕ, θ). Le troisième angle pourrait être associé à une mesure de « directionnalité » des structures, et se révèle intéressant pour la caractérisation des textures. Cette nouvelle notion de phase permet de former des atomes 2D plus élaborés que les ondes planes, incluant des structures locales isotropes, des coins etc.
La QWT réalise une décomposition en ondelettes quaternionique à reconstruction parfaite de redondance 4× par un algorithme rapide, grâce à un lien algorithmique avec le dual-tree 2D. Cette nouvelle transformée transpose la théorie quaternionique dans le monde des ondelettes, et possède une amplitude invariante par translation. Elle constitue une amélioration des ondelettes séparables car elle est munie d’une phase spécialement définie pour les signaux 2D.
La littérature sur la QWT est très faible, et une partie de notre contribution a été de reprendre et de reformuler la définition et la construction de cette nouvelle approche, tout en apportant des éléments nouveaux sur la compréhension des coefficients.
Nous avons conduit deux expérimentations sur la QWT pour la comparer aux ondelettes classiques dans les contextes de codage d’image et de classification de textures. La QWT s’est montrée avantageuse en codage, car elle présente une bonne parcimonie, et permet donc de reconstruire une approximation visuellement plus satisfaisante que la DWT pour une quantité de données égale. Il vient que la phase peut être quantifiée sur un nombre de bits très faible - analogue au codage du signe des coefficients DWT. Ce résultat se place dans un contexte de codage de « moyenne qualité », et recoupe ce qu’on peut obtenir en général avec d’autres représentations redondantes [50]. Il était aussi attendu dans cette perspective une moins bonne restitution des textures, pour lesquelles la DWT est supérieure. La QWT respecte mieux les formes géométriques, les contours, en générant beaucoup moins d’artefacts autour de ces derniers. La classification de textures a également montré que la QWT était avantageuse par rapport à la DWT, en apportant un gain moyen approximatif de 10% au taux de reconnaissance global. Notons que ce gain est très significatif pour les textures consituées de motifs géométriques. En ce qui concerne les textures « type bruit » en revanche, la QWT n’améliore pas les performances, ce qui rejoint la remarque que nous avions faite à propos du codage, dans le cadre duquel ce type de texture est moins bien restitué avec la QWT qu’avec la DWT. Celà est dû à l’orthogonalité de cette dernière qui assure une bonne caractérisation des signaux proches d’un bruit blanc. Les mesures sur l’amplitude QWT donnent des performances équivalentes à la DWT et aux ondelettes complexes, mais l’avantage de la phase QWT est clair car les mesures de phase viennent compléter l’information avec de nouvelles caractéristiques de « quantité de structures diagonales », qui permettent de surpasser la DWT et les ondelettes complexes.
Finalement, nous avons constaté expérimentalement que ce nouveau formalisme pour les signaux 2D permettait d’améliorer la représentation géométrique des images, grâce à une ampli- tude invariante par translation et une phase portant une information structurelle. Cependant, nous avons aussi pointé que la construction séparable de cette transformée rend les représen- tations trop dépendantes de l’orientation des structures, ce qui se traduit par une variance par rotation. Il en résulte également que la QWT présente une classification arbitraire des détails selon les directions horizontale, verticale et diagonale, nous obligeant à une échelle fixée à étudier trois coefficients quaternioniques pour une seule position spatiale. Ceci va à l’encontre de l’idée d’unification de l’information géométrique des structures locales. Enfin, la définition de signal analytique 2D par l’approche quaternionique de T. Bülow n’est pas entièrement satisfaisante car très liée aux lignes et aux colonnes de l’image.
Une solution existe peut-être dans le formalisme « monogène » proposé par M. Felsberg [48], qui prend la suite du travail de T. Bülow mais cette fois dans une perspective isotrope. Et puisqu’une transformée en ondelettes monogène [144] associée à ce modèle a été proposée en 2008, voici l’objet du chapitre suivant.
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Approches isotropes et extension
couleur
D
ans les chapitres précédents, nous avons évoqué deux méthodes pour appréhender les signaux 2D avec les notions d’amplitude et phase.La méthode directionnelle (Gabor, Dual-Tree), applique K analyses 1D dans des directions différentes. Ces représentations manquent d’unification des informations, puisque chaque posi- tion est décrite par K amplitudes et K phases, à chaque échelle. Si K est grand, la redondance est grande et l’information est difficile à synthétiser. Si K est petit, les analyses 1D sous-jacentes se font souvent dans une direction qui ne coïncide pas avec l’orientation locale du signal, ce qui introduit un biais et rend l’analyse variante par rotation du signal.
La méthode séparable (ondelettes quaternioniques), offre une information plus unifiée, grâce à une nouvelle notion de phase 2D, mais souffre également de variance par rotation, liée à un schéma « ligne/colonne ». Les structures sont classifiées dans seulement 4 orientations possibles. Il est pourtant bien connu dans le domaine de la vision par ordinateur, que l’orientation des
contours est une information primordiale, et implicitement nécessaire à une analyse isotrope,
c’est-à-dire invariante par rotation. Une méthode isotrope classique est le tenseur de structure, dont une évolution a été proposée à travers les filtres orientables [54], qui généralisent la notion d’orientation locale, pour aboutir à un calcul optimal de phase « à la Gabor ». Nous discuterons ces analyses.
Nous allons présenter dans ce chapitre le signal monogène, qui offre un formalisme plus efficace pour analyser conjointement la phase et l’orientation, à travers une nouvelle définition de signal analytique 2D. A l’instar du signal quaternionique analytique du chapitre 3, il s’inclut dans un nouveau formalisme général de traitement du signal, et ouvre la voie vers de nouvelles représentations par ondelettes.
La définition de transformées en ondelettes monogènes est encore aujourd’hui un problème ouvert, pour lequel une première solution a été donnée en 2008 par M. Unser et al. [144]. La méth- ode s’appuie sur plusieurs contributions précédentes des auteurs, notamment sur l’introduction de redondance légère dans des bancs de filtres 2D pour améliorer l’invariance et l’isotropie. La transformée en ondelettes monogène fournit des coefficients vectoriels invariants par translation contenant une amplitude et une phase invariants par rotation, et une donnée d’orientation locale. Le banc de filtres à reconstruction parfaite proposé dans [144] pour réaliser cette analyse est peu redondant, et donc se place tout-à-fait dans la catégorie des représentations étudiées dans notre travail. Nous proposons dans ce chapitre une analyse et synthèse concise de ces travaux.