6.4.1 Définition
Dans le chapitre 4, nous avons défini la notion d’extension galoisienne finie comme une extension de degré fini dont le groupe de Galois est d’ordre égal à ce degré. Soitlk⊂Kune telle extension. Considérons K1 le corps fixe du groupe de Galois Gal(K/lk). On alk ⊂K1 et|Gal(K/lk)|= [K;K1](voir le paragraphe 4.4).
Or, par hypothèse, |Gal(K/lk)|= [K;lk].Ainsi
[K;K1] = [K;lk]
et donc
lk=K1=F ix(Gal(K/lk).
On en déduit que cette extension est normale séparable.
Inversement, soitGle groupe de Galois d’un polynômeP ∈lk[X], c’est-à-dire correspondant à l’extension de lk par le corps de décomposition de P. Tout élément ϕ ∈ G envoie les racines distinctes de P sur les racines distinctes de P. Ainsi ϕ peut être assimilé à une permutation de l’ensemble des racines distinctes de P. Si P admet r racines distinctes,Gs’identifie à un sous-groupe du groupe symétriqueP
r et donc|G|
divise r!.SiP est séparable surlk, il existe donc[K;lk]lk-automorphismes et donc dans ce cas
|G|= [K;lk].
On a donc une extension finie galoisienne. Nous pouvons donc redéfinir cette notion ainsi : Définition 42 On appelle extension galoisienne toute extension finie normale et séparable.
Nous pourrions remplacer dans cette définition extension finie par algébrique. Mais nous ne ferons pas usage d’une telle généralisation.
6.4.2 Les sous-groupes du groupe de Galois
Considérons une extension galoisiennelk ⊂Kde lk. Alorslkcoïncide avec le corps fixeF ix(Gal(K/lk)du groupe de Galois, c’est-à-dire
lk={x∈K, ϕ(x) =x ∀ϕ∈Gal(K/lk)}.
Nous avons vu aussi que si K1 est un corps intermédiaire, c’est-à-dire si on a la tour d’extension lk ⊂K1⊂K
alorsKest une extension galoisienne deK1. Par contreK1n’est pas nécessairement une extension galoisienne de lk. Nous verrons en exercice, que lk⊂K1 est galoisienne si et seulement si K1 est invariant globalement par tout les éléments deGal(K/lk). Nous allons voir le lien entre les sous-corps intermédiaire d’une extension galoisienne et les sous-groupes du groupe de Galois de cette extension.
Proposition 57 Soitlk ⊂Kune extension galoisienne de lket soitK1 un corps intermédiairelk⊂K1 ⊂ K. Alors le groupe de GaloisGal(K/K1)de l’extension galoisienne deK1 est un sous-groupe deGal(K/lk).
De plus si l’extension lk ⊂K1 est une extension galoisienne, alors le groupe de Galois Gal(K2/lk) est un sous-groupe distingué de Gal(K/lk).
6.4. EXTENSIONS GALOISIENNES 83 Démonstration. En effet, si φ ∈ Gal(K/K1), alors φ est un automorphisme de K tel que φ(x) = x pour tout x ∈ K1. En particulier φ(x) = x pour tout x ∈ lk et donc φ ∈ Gal(K/lk). Supposons maintenant que l’extension lk ⊂ K1 soit galoisienne. Alors pour tout φ1 ∈ Gal(K/lk) sa restriction φ1 à K1 vérifie φ(K1) =K1 et défini un élément de Gal(K1/lk).L’application
Ψ :Gal(K/lk)→Gal(K1/lk)
qui a φ fait correspondre φ1 est un homomorphisme surjectif de groupes. Son noyau correspond aux lk-homomorphismes deKvérifiantφ1=Id. C’est donc unK1-automorphisme deKet donc le noyau deΨest Gal(K/K1).C’est donc un sous-groupe distingué deGal(K/lk).Notons que sous ces hypothèsesGal(K1/lk) est isomorphe au groupe quotient
Gal(K/lk) Gal(K/K1)
Théorème 25 Soitlk⊂K une extension galoisienne de lk. L’application
∆ :K1 →Gal(K/K1)
de l’ensemble des corps intermédiaires de l’extension lk ⊂K dans l’ensemble des sous-groupes du groupe de Galois Gal(K/lk) est bijective et décroissante relativement à la relation d’ordre donnée par l’inclusion.
Démonstration.Soit K1 un corps intermédiaire de l’extension galoisiennelk⊂K. On a la tour lk⊂K1 ⊂K
et l’extension K1 ⊂K est galoisienne. D’après la proposition précédente, l’application ∆ est bien définie.
Montrons qu’elle est bijective. Comme K1 ⊂ K est galoisienne, ceci implique en particulier que K1 = F ix(Gal(K/K1)).Soient K1 etK2 deux corps intermédiaires de l’extensionlk⊂K. Alors
K1=F ix(Gal(K/K1)), K2 =F ix(Gal(K/K2)).
SiK1etK2sont des sous-corps deKdistincts, alors les corps fixesF ix(Gal(K/K1))etK2=F ix(Gal(K/K2)) sont distincts ce qui impliquent que les groupes de GaloisGal(K/K1) etGal(K/K2) soient distincts. Ainsi l’application∆est injective. Montrons qu’elle est surjective. Soit H un sous-groupe deGal(K/lk). AlorsH est un sous-groupe fini deAut(K) et donc K est une extension galoisienne de F ix(H) ={x∈ K, φ(x) = x∀φ ∈H}. Ainsi K1 = F ix(H) est une extension intermédiaire et ∆(K1) =H. L’application ∆ est donc surjective et donc bijective.
Montrons qu’elle est croissante pour l’inclusion. SoientK1etK2deux corps intermédiaires tels queK1 ⊂K2. Soil φ ∈ Gal(K/K2) = ∆(K2). Alors φ(x) = x pour tout x ∈ K2 et donc φ(x) = x pour tout x ∈ K1. Ainsi φ ∈ Gal(K/K1) et donc ∆(K2) ⊂ ∆(K1). Inversement, si K1 et /K2 sont des corps intermédiaires tels que Gal(K/K2) ⊂Gal(K/K1).Comme K1 =F ix(Gal(K/K1), pour tout x ∈K1 on a φ(x) =x pour toutφ∈Gal(K/K1)et donc φ(x) =x pour toutφ∈Gal(K/K2). AinsiK1 ⊂F ix(Gal(K/K2) =K2. Exemple. Considérons le polynôme irréductible P = X3 −2 de Q[X]. Soit K = DQ(P) son corps de décomposition. Comme P est séparable sur Q l’extension Q ⊂ K est galoisienne. Les racines de P sont
√3
2, j√3 2, j2√3
2et donc K=Q(√3
2, j).On en déduit
|Gal(K/Q)|= [Q[j];Q].[K,Q[j]] = 2×3 = 6.
84 CHAPITRE 6. EXTENSIONS GALOISIENNES Les automorphismes de Kqui prolongentφ1 sont
Ainsi le groupe de Galois de P est
Gal(K/Q) ={Id, ϕ2, ϕ3, ϕ4, ϕ5, ϕ6}.
Il est isomorphe au groupe symétrique P
3 d’indice3, un isomorphisme étant donné par
ce qui montre que Gal(K/Q) contient 6et seulement 6sous-groupes :
G1={ϕ1}, G2 ={ϕ1, ϕ6}, G3 ={ϕ1, ϕ4}, , G4 ={ϕ1, ϕ5}, G5 ={ϕ1, ϕ2, ϕ3}, Gal(K/Q).
Pour chacun de ces sous-groupes Gi correspond un sous-corps de K défini comme le sous-corps fixe du sous-groupe de Gal(K/Q) isomorphe àGi. Ainsi
6.5. DES EXTENSIONS GALOISIENNES DEQ: LES CORPS CYCLOTOMIQUES 85
2]. Le calcul est similaire pour les autres cas.
Théorème 26 Soit lk ∈ K une extension galoisienne du corps lk. Soient K1 et K2 deux corps inter-médiaires etG1 = Gal(K/K1) et G2 = Gal(K/K2) leurs groupes de Galois. Si les corps K1 et K2 sont isomorphes, G1 et G2 sont des sous-groupes isomorphes de Gal(K/lk)
Démonstration.Rappelons que deux sous-groupesG1 etG2 d’un groupeGsont conjugués, s’il existeh∈G tel que G2 =h−1G1h.Supposons les osu-corpsK1 etK2 de Kisomorphes. Soit
ρ:K1 →K2 cet isomorphisme.
6.5 Des extensions galoisiennes de Q : les corps cyclotomiques
6.5.1 Racines primitives de l’unité
Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Le polynôme complexe P = Xn−1 admet n racines distinctes complexes
C’est un homomorphisme de groupes. Son noyau est l’ensemble des entiersktels quee2ikπn = 1 c’est-à-dire des entiersk=np, p∈Z.Ainsiker ρ=nZetImρest isomorphe àZnZ. Or l’image de/rhoest l’ensemble des racines n-ièmes de1. Notons par∆n l’ensemble de ces racines :
Un={ξ0 = 1, ξ1=e2iπn ,· · · , ξk=e2ikπn ,· · · , ξn−1=e2i(n−1)πn }.