4.2.1 Définition
Définition 29 Soit K un corps commutatif. On appelle automorphisme de corps tout isomorphisme de corps
ϕ:K−→K.
Ceci signifie que ϕvérifie
ϕ(x+y) =ϕ(x) +ϕ(y), ϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y)
pour tousx, y∈K,etϕest surjective. Rappelons que tout homomorphisme de corps est injectif et donc la subjectivité de ϕest équivalente à la bijectivité. Rappelons également que si ϕ est un homomorphisme de corps alors
ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1
4.2.2 Le groupe Aut(K)
On note parAut(K) l’ensemble des automorphismes du corps K.
Proposition 38 L’ensemble Aut(K) des automorphismes du corpsK est un groupe pour la composition.
La démonstration est évidente. Cette proposition montre que Aut(K)est un sous-corps du groupe S(K) des permutations de K.
4.2.3 Exemples
Automorphismes de Q
Si ϕ : Q → Q est un automorphisme de corps, on a ϕ(1) = 1, d’où ϕ(n) = ϕ(1 + 1 + · · ·+ 1) = ϕ(1) +ϕ(1) +· · ·+ϕ(1) = n. Si q 6= 0, q ∈ Z alors ϕ(qq) = ϕ(q)ϕ(1q) = 1. Donc ϕ(1q) = 1q et par conséquence, si pq ∈Qalorsϕ(pq) =ϕ(p)ϕ(1q) = pq.Ainsi
AutQ={Id}.
4.2. AUTOMORPHISMES DE CORPS 55 Automorphismes de R
Le raisonnement précédent montre que siϕ∈Aut(R) alorsϕ(x) =x pour tout x∈Q.
Soitx≥0, x∈R.Il existe y∈Rtel que x=y2.On en déduit ϕ(x) =ϕ(y2) =ϕ(y)ϕ(y) =ϕ(y)2.Ainsi ϕ(x)≥0.(Rappelons que muni de la relation≥,Rest un corps ordonné). La propriété x≥0⇒ϕ(x)≥0 implique que ϕ est une application croissante. On en déduit que ϕ est une application continue. En effet soit >0, ∈Ret soitη =ϕ−1().Six−x0< η alors commeϕest croissante,ϕ(x−x0) =ϕ(x)−ϕ(x0)<
ϕ(η) = . De même x−x0 >−η implique ϕ(x)−ϕ(x0) > −. Ainsi pour > 0 donné, |x−x0|< η ⇒
|ϕ(x)−ϕ(x0)|< . Conclusion : tout automorphisme du corps R est continue. Comme sa restriction à Q est l’identité et comme Qest dense dans R, la continuité implique queϕ est l’identité surR.Ainsi
Aut(R) ={Id}.
Automorphismes de C
Contrairement au cas précédent, un automorphisme du corps C n’est pas nécessairement continu, la continuité des automorphismes de R reposant sur la croissance et donc sur le fait que R est un corps ordonné, ce qui n’est pas le cas deC.
Proposition 39 Tout automorphisme continu du corps Cest soit l’identité, soit la conjugaison σ:z→z
Démonstration. La topologie considérée sur C est la topologie métrique usuelle, pour cette topologie les opérations de corps sont continues. Soitϕ:C→Cun automorphisme de corps. Il vérifieϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, t comme précédemment, on en déduit que ϕ(r) = r pour tout r ∈ Q.Soit a6= 0, a∈ Q etb ∈ C tel que b2 =a. Commeϕ(b)2 =ϕ(b2) =ϕ(a) =aalors ϕ(b) est racine de X2 =a et doncϕ(b) =± on en déduit poura=−1etb=iqueϕ(i) =±i. Comsidérons alors l’extensionQ[i]deQ.Commeϕ(i) =±i,ϕrestreint àQ[i]est égal à l’identité où à la conjugaison. OrQest dense dansRet doncQ[i]est dense dansC.Comme ϕ est continue sur C et égal à l’identité ou à la conjugaison sur la partie dense Q[i], elle est aussi égal à l’identité ou à la conjugaison surC.
Conséquence. SoitAut0(C) le sous-groupe deAut(C) formé des automorphismes continus. Alors Aut0(C) ={Id, σ}
oùσ(z) =z.
Dans le cas réel, nous avons vu queAut0(R) =Aut(R).Ce n’est plus le cas dansC. Théorème 13 Il existe des automorphismes deC non continus.
Examinons dans un premier temps comment étendre un isomorphisme de sous-corps deCen un isomor-phisme de sous-corps intermédiaire.
Soitlk1 etlk2 deux sous-corps deCetf :lk1→lk2 un isomorphisme de corps.
a) Soitα∈C−lk1 un élément algébrique surlk1.On peut alors étendref en un isomorphisme de corps f˜:lk1(α)→lk2(β)
56 CHAPITRE 4. AUTOMORPHISMES DE CORPS. GROUPES DE GALOIS
aiXi est le polynôme minimal de α, alors le polynôme minimal de β estPβ =
En particulier sirk2 n’a pas d’élément transcendant, on ne peut étendre f˜àk1(α).
Lemme 5 Soitϕ un automorphisme non continu deC. Alorsϕ(R) est dense dans C.
En effet si ϕ(R) n’et pas continu dansR, il existeb∈Rtel que ϕ(b)∈C−R.Soientq1, q2 ∈Q.On a ϕ(q1b+q2) =ϕ(q1)ϕ(b) +ϕ(q2).
Rappelons que tout automorphisme de Cest l’identité sur Q.Ainsi ϕ(q1b+q2) =q1ϕ(b) +q2.
Fixons q1.L’ensemble{ϕ(q1b+q2), q2∈Q}est dense dans l’ensemble {q1ϕ(b) +x, x∈R}isomorphe à R. Faisons varier q1. On obtient un ensemble dense dans le plan. Or cet ensemble est contenu dans ϕ(R) et ϕ(R) est dense dans C.
Les exemples suivants montrent qu’il existent "beaucoup" d’isomorphismes de corps dans des extensions de Q dans C engendrés par un nombre fini d’éléments. Considérons par exemple Q(√
7). Comme √
7.D’après les remarques ci-dessus, les seules extensions de l’identité sur Q à Q(√
7) sont Idet σ.Considérons à présentQ(√4
7).Considérée comme une extension de Q(√
7) le polynôme minimal appartient à Q(√
7)[X] et est égal à X2 −√
7.Ainsi toute extensionσ˜ de σ ∈Aut(Q(√
73 est un isomorphimse de coprs qui étendσ.
Considérons à présent l’extension Q(√4
7, π) de Q. Il existe beaucoup de possibilités pour étendre σ˜ à Q(√4
7, π).Ces automorphimes ne coïncident pas avec l’identité ni la conjugaison sur C.SI nous prouvons ue de tels automorphimes s’étendent en des automorphimes deC, nous en déduirons l’existence d’automor-phimes de Cnon continus. On montre dans un premier temps le résultat suivant :
4.2. AUTOMORPHISMES DE CORPS 57
Proposition 40 Soient lk1 et lk2 deux sous-corps de C et f :lk1 →lk2 un isomorphisme de corps. Alors f s’étend en un isomorphisme
fe:A(lk1,C)→A(lk2,C).
Rappelons queA(lk1,C) est le sous-corps deCformé des éléments de Calgébrique surlk1.On considère la familleF constitué des isomorphismes étendant f à un sous-corps deA(lk1,C).AlorsF est une famille inductive
(voir chapitre 1 cours Algèbre multilinéaire www.ramm-algebra-center.monsite-orange.fr)
non vide car elle contientf. Elle admet un élément maximal qui est l’isomorphismefecherché. Notons que Imfeest un sous-corps algébriquement clos deA(lk,C) contenantlk.C’est donc A(lk,C).
Théorème 14 Tout automorphisme d’un sous-corps deC s’étend en un automorphisme deC.
Soit ϕun automorphisme d’un sous-corps de C et soitF la famille d’automorphismes qui étendent ϕ à un sous-corps de C. Cette famille est inductive et d’après le lemme de Zorm admet un élément maximal θ. Montrons que θ est un automorphisme de C. Si ce n’est pas le cas, soit K un sous-corps de C qui soit le domaine de θ. Soit α ∈ C−K. Si α est algébrique sur K, alors A(K,C) + K et d’après la proposition précédente, θ s’étend à A(K,Q) ce qui contredit la maximalisé de θ. Donc s’il existe α ∈ C−K, α est transcendant surK. On peut étendreθàK(α)etθ(α)est transcendant dans=θ.Ceci contredit la maximalisé deθ, doncK=C.
4.2.4 Automorphismes d’un corps fini
Commençons par étudier les automorphismes des corps premierFp =Z/pZ. Soient pun nombre premier etϕ un automorphisme du corps Fp. Pour tout r ∈ {0,1,· · ·, p−1}, notons parr la classe de r dansFp. L’automorphismeϕvérifie
ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1.
Il vérifie donc
ϕ(r) =r pour toutr ∈ {0,1,· · · , p−1}. Ainsi
Proposition 41 Soitp un nombre premier, alors
Aut(Fp) ={Id}.
Soit K un corps fini. Sa caractéristique p est non nulle et il existe un entier n tel que K contienne pn éléments. Nous avons noté parFpn un tel corps, ce qui est justifié car il est unique à isomorphisme de corps près.
58 CHAPITRE 4. AUTOMORPHISMES DE CORPS. GROUPES DE GALOIS
Proposition 42 Le groupeAut(Fpn)des automorphismes du corps finiFpn est un groupe cyclique d’ordre n engendré par l’automorphisme de Frobenius
F :x∈Fpn −→xp de Fpn.
Démonstration. Rappelons que le corps Fpn contient pn éléments. Son groupe multiplicatif F∗pn contient pn−1éléments. Il est cyclique et isomorphe au groupeZ/(pn−1)Z.Ainsi tout élément non nul deFpn est d’ordre un diviseur de pn−1. On en déduit que tout élémentx∈Fpn vérifie
xpn =x.
Soit F l’homomorphisme de Frobenius deFpn. CommeFpn est de caractéristiquep, il s’écrit F(x) =xp.
Cet homomorphisme est injectif et comme Fpn est fini, il est surjectif et donc F ∈Aut(Fpn).
Considérons à présent le sous-groupeH deAut(Fpn) engendré par F. Comme Fk=xpk
on a Fn = xpn = x pour tout x ∈ Fpn et donc F est d’ordre fini, son ordre étant un diviseur de n.
Comme F∗pn est isomorphe au groupe Z/(pn−1)Z, l’ordre de F est exactement n. Ainsi le sous-groupe H engendré par F est cyclique d’ordren. On en déduit donc que Aut(Fpn) contient un sous-groupe cyclique d’ordre n. Revenons à l’étude générale de Aut(Fpn). Rappelons que le corps premier deFpn estFp. Soitσ un automorphisme deFpn. D’après la proposition ci-dessus, il vérifie
σ(x) =x, ∀x∈Fp.
On en déduit que σ est un Fp-isomorphisme linéaire du Fp-espace vectorielFpn et dimFpFpn = [Fpn,Fp] =n.
Mais toutFp-isomorphisme linéaire deFpn n’est pas un automorphisme du corpsFpn. Nous devons détermi-ner, parmi ces isomorphismes linéaires, ceux qui sont des homomorphismes du groupe multiplicatifF∗pn. Sup-posons qu’il existen+ 1 automorphismesσ1,· · · , σn+1 deFpn qui soient l’identité sur le sous-corps premier Fp. Soit{e1,· · · , en}une base duFp-espace vectorielFpn. Considérons les vecteursVi = (σi(e1),· · · , σi(en)), i= 1,· · · , n+ 1. Ils appartiennent à l’espace vectorielFnpn, considéré comme unFpn-espace vectoriel. Il est donc de dimension n et la famille {V1,· · ·, Vn+1} est liée. Il existe des scalaires β1,· · · , βn+1 appartenant au corps de baseFpn tels que
β1V1+· · ·+βn+1Vn+1 = 0 soit
β1σ1(ei) +· · ·+βn+1σn+1(ei) = 0 pour i= 1,· · ·, n.Mais ceci implique
β1σ1(x) +· · ·+βn+1σn+1(x) = 0
4.3. GROUPE DE GALOIS D’UNE EXTENSION 59