0 ——> SB'/A' -^ ©B'/A' ——^ ^
"B'/A'
(ii) Soit A'une A-algèbre quelconque, et posons B'=B®^A'; alors z'=tôi :A'^B' et j'=j®i ^'-^A' vérifient ( 2 1 . 3 . 1 . 1 ) et (21.3.1.2), et Pon a
"B7A'-"B/A®AA'=^AB'
(20.5.5); on en déduit un A'-isomorphisme canonique (21.3.6.1) ©B/A^A^eB'/A' et aussi un 'S'-homomorphisme canonique
( 2 1 . 3 . 6 . 2 ) W^®^ ^
("B'/A')^-21.4. Cas des extensions de corps.
(21.4.0) Soient K un corps de caractéristique p>o, k un sous-corps de K; alors Panneau Â;[K?] est égal au corps ^(K^) puisque k est algébrique sur K?. On pourra donc appliquer les résultats des numéros précédents en remplaçant partout A, B et A\W}
par k, K et kÇK^.
Lemme (21.4.1). — Soient k un corps de caractéristique p>o, K une extension de k.
Pour qu'un élément xeK soit p'libre sur k, il faut et il suffit que x^k^).
258
§ 2i PRÉLIMINAIRES 163
En effet, x est racine du polynôme X^—^ de Â;(K^)[X], et l'on sait (Bourbaki, Alg,, chap. V, § 8, n° i, prop. i) que si x^kÇK^ ce polynôme est irréductible, de sorte que les éléments i, x, . . . , ^-1 forment une base du À: (K^)-module ^(K2^).
Théorème (21.4.2). — Soient k un corps de caractéristique p>o, K une extension de k, S un système de p-générateurs de K sur A, Le S une partie p-libre sur k. Il existe alors une p-base B de K sur k telle que LcBcS. En particulier, toute extension de k admet une p-base sur k.
On peut se borner au cas où K^ck. En vertu du théorème de Zorn, il existe dans K une partie B telle que LcBcS, j^-libre sur k et maximale parmi les parties de S ayant ces propriétés. Il suffit de voir que le sous-corps K' de K engendré par A; et B est égal à K. Dans le cas contraire, il existerait xeS non dans K'; comme K^ck, on a K'^K^K^); donc x serait j&-libre sur K' (21.4.1), et par suite Bu{^} sérails-libre sur k (21.1.10), contrairement à la définition de B. La dernière assertion de (21.4.2) s'obtient en prenant L = 0 , S = K . C.Q.F.D.
Corollaire (21.4.3). — Soient k un corps de caractéristique j^>o, K une extension de k.
Pour qu'une famille [x^ d'éléments de K soit p-libre sur k, il faut et il suffit que, pour tout a, x^ n'appartienne pas au corps K^ engendré par Â;(K^) et par les x^ d'indice (B=(=a.
La condition est nécessaire en vertu de (21.1.10). Inversement, supposons-la remplie; on peut se borner au cas où (^) est un système de ^-générateurs de K. Il existe alors une sous-famille de (^J qui est une j&-base de K (21.4.2)3 mais cette famille ne peut être distincte de {Xy), sans quoi, en vertu de l'hypothèse, ce ne serait pas une famille de ^-générateurs de K.
Corollaire (21.4.4). — Soient k un corps de caractéristique p>o, K une extension de k.
Pour que Q.^ = o, il faut et il suffit que K= ^(K^). En particulier, pour que Q^==o, il faut et il suffit que K soit un corps parfait.
En effet, si (^J est une j^-base de K sur k, les d^(x^) forment une base du K-espace vectoriel Q^/fc (2 T •2 • 5) •
Théorème (21.4.5). — Soient k un corps de caractéristique p>o, K une extension de k, (x^) une famille d'éléments de K. Pour que (^) soit p-libre sur k (resp. une famille de p-générateurs de K sur k, resp. une p-base de K sur k), il faut et il suffit que la famille (â^/fcC^a)) s01^ une famille libre (resp. un système de générateurs, resp. une base) dans le 'K-espace vectoriel iî^.
Soit K' le sous-corps (égal au sous-anneau) de K engendré par ^(K^) et les x^, compte tenu de (20.4.7), on voit que les û^/fcC^a) engendrent ^'ik^^^k'fk' Si les
^K/fc^a) engendrent ^^=^1^(^)5 ^a flèche de gauche dans la suite exacte (20.5.7. i)
^(K^K'K^QK//^) -^K/K' ^0
est surjective, donc ^^'==0, ce qui implique K ' = K par (21.4.4).
Si maintenant (^J est une famille j^-libre, elle est une sous-famille d'une j^-base de K sur k (21.4.2)5 donc les d^[Xy) font partie d'une base du K-espace vectoriel O.^^
(21.2.5), et sont par suite linéairement indépendants sur K. Prouvons réciproquement que si les d^^(x^) sont linéairement indépendants sur K, la famille (xj est ^-libre sur k.
259
164 A . G R O T H E N D I E C K Chap. o
Compte tenu de (21.4.3), il suffit de voir que, pour chaque a, ^ n'appartient pas à K^.
Or, dans la suite exacte
^W^K^-^^IHKP^^klK^ -^0
les images par la flèche de gauche des d^{x^) pour p+ a sont les d^(x^), donc engen-drent un sous-espace vectoriel de ^^(K^) ne contenant pas d^{x^), et comme ce sous-espace vectoriel est le noyau de la flèche de droite, on voit que ^/K (^a) + °3 donc x^K^.
Corollaire (21.4.6). — Soient k un corps de caractéristique p>o, K une extension de k, x un élément de K. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
a) ^(K^).
b) 4/fcW+o.
c) L'élément x est p-libre sur k.
Proposition (21.4.7). — Soient L un corps de caractéristique p>o, K un sous-corps de L tel que I7CKCL. Alors la suite de ï^-espaces vectoriels
(21.4.7.1) O->O^®KL->Û^->Û^K^O est exacte; en d'autres termes^ on a ^L/K/L^^0
-C'est un cas particulier de (21.2.4), compte tenu de (21.4.2).
Proposition (21.4.8). — Sous les hypothèses de (21.4.7), l'homomorphisme canonique ( 2 1 . 4 . 8 . 1 ) (^K^YL/K
est bijectif; si (x^) est une p-base de L sur K, les éléments d^{x^)®î forment une base du L-espace vectoriel ÏL/K*
C'est un cas particulier de (21.3.5).
2 i . 5 . Application : critères de séparabilité.
Dans ce numéro et les deux suivants, on ne suppose plus que les anneaux considérés soient de caractéristique j&>o.
(21.5.1) Notons d'abord que le critère ( 2 1 . 2 . 7 ) permet de démontrer une partie du théorème de Cohen sur les extensions séparables (19.6.1), savoir que si k est de caractéristique p>o et si K est une extension séparable de A, alors K est une A-algèbre formellement lisse. En effet, K admet unej&'base sur k (21.4.2), et d'autre part, il résulte du critère de MacLane (Bourbaki, Alg^ chap. V, § 8, n° 2, prop. 3) que dans une clôture algébrique de K, k^ et K sont linéairement disjoints sur A, et par suite que l'homomorphisme canonique P'^K-^Â^'^K) est bijectif, ce qui est précisément la condition (i) de ( 2 1 . 2 . 7 ) , après transport de structure par l'isomorphisme A*->^.
Proposition (21.5.2) (MacLane). — Soient A, B deux anneaux de valuation discrète complets, m, n leurs idéaux maximaux respectifs^ K==A/în et L=B/n leurs corps résiduels, u : A-»B un homomorphisme tel que B^(m) ==n, UQ=U®I : K->L l'homomorphisme corres-pondant pour les corps résiduels. On considère les conditions suivantes :
a) L est une extension séparable de K {pour Uo).
b) Pour tout anneau de valuation discrète complet B' d'idéal maximal u' et de corps résiduel L',
§ 2i PRÉLIMINAIRES 165
tout homomorphisme u1 : A->B' tel que BYÇm)^^ et tout K-isomorphisme CT : L-»L' (relatif à UQ etUQ==u'®î : K-^L'), il existe un isomorphisme w : B->B' tel que u' ==wou et que WQ == w® î soit égal à o.
b') Pour tout homomorphisme u' : A-^B tel que Bu'(m) ==n et tel que UQ==U'®Î : K->L soit égal à UQ, il existe un automorphisme w de B tel que u' ==wou et que WQ==W®Î : L->L soit l^identité.
c) Désignant par u^ : A/m2-> B/n2 Vhomomorphisme déduit de u par passage aux quotients, alors, pour tout homomorphisme local u[ : A/m^B/n2 tel que gio(^) =gro(^)( ==Uo), il existe un automorphisme w^ de B/n2 tel que gro(^i) soit l'identité et que u[==w^ou^
c') Pour tout homomorphisme local u[ : A/m^B/n2 tel que gio(^) ==gro(^) et gr^(u[) = gii(^) (homomorphisme de m/m2 dans n/n2), il existe un automorphisme w-^ de B/n2
tel que gio(wi) soit l'identité et que u[==w-^ou^.
Alors on a les implications c)oc')oa) =i>b) =>b').
Si de plus A est un anneau de Cohen, les cinq conditions précédentes sont équivalentes.
Les implications b)=>bf) et c)^cf) sont triviales. Montrons que a) implique b).
L'homomorphisme u fait de B un A-module sans torsion, puisqu'il transforme par hypothèse une uniformisante de A en une uniformisante de B; il en résulte que B est un A-module plat (Oi,6.3.4), donc une A-algèbre de Cohen (19.8.1); le fait que a) implique b) est alors conséquence de (19.8.2, (i)) appliquée G==B', 3==^, B'étant considéré comme A-algèbre pour u' et l'homomorphisme B-^B'/îV étant le composé B-^B/n-^B'/n', qui est un A-homomorphisme en vertu de l'hypothèse UQ=(SOUQ. Le même raisonnement prouve q u e ' a ) entraîne c ) , en prenant cette fois G==B/n2, ^^n/n2, G étant considéré comme A-algèbre pour u[.
Prouvons en second lieu que c ' ) implique a). Les deux homomorphismes u^ et u[
sont tels que u[ ==u^ +D, où D est une dérivation de A/m2 dans n/n2 (20. i . i) ; d'ailleurs, l'hypothèse gr^(u[) =gr^(u^) signifie que D est nulle dans m/m2, et peut par suite être considérée comme une dérivation de K == A/m dans n/n2, et n/n2 s'identifie (par choix d'une uniformisante de B) au K-module L (pour Uo). D'autre part, les conditions imposées à w^ entraînent que gr^w-^) est aussi l'identité (puisque Mi(m/m2) engendre n/n2) ; w^ est donc de la forme ^->^+D'(^), où D' est cette fois une dérivation de B/n2 dans le (B/n2)-module n/n2; comme w^ est l'identité dans n/n2, D' peut encore (par l'identi-fication précédente de n/n2 et de L) être considérée comme une dérivation de L dans L;
enfin, la relation u[==w^ou-^ signifie que D' prolonge D. Notons d'autre part que toute dérivation D de K dans L correspond à un homomorphisme u[ vérifiant les conditions de c ' ) (20. i. i) ; la condition c ' ) signifie donc que toute dérivation de K dans L se prolonge en une dérivation de L dans lui-même, c'est-à-dire (20.6.5) que L est séparable sur K.
Prouvons enfin que, lorsque A est un anneau de Cohen, b ' ) entraîne c ' ) . Prouvons d'abord que sous les hypothèses de c ' ) , il existe un homomorphisme u' : A-^B qui vérifie les hypothèses de b ' } et, par passage aux quotients, donne u[ : A/m2 -> B/n2. En effet, cela résulte de (19.8.6, (i)) appliqué à l'homomorphisme composé v ' : A-^A/m^B/n2; 261
166 A . G R O T H E N D I E C K Chap. o
ce dernier se factorise donc en A^>B->B/n2 et les hypothèses sur gro(^) et gr^(u[) entraînent gîoM =gro(^) ==^o et g1!^') ^g^^)? donc rimage par u1 d'une uniformisante de A est une uniformisante de B, et l'on a par suite B^'(m) ==n. Il suffit alors, pour obtenir un automorphisme u\ répondant à la question, de prendre Pautomorphisme déduit par passage aux quotients de l'automorphisme w de B fourni par l'application de V ) à rhomomorphisme u\
Remarques (21.5.3). — (i) Les propriétés différentielles des corps permettent de résoudre la question de V unicité du corps de représentants dans un anneau local noethérien complet G (19.8.7, (ii)). Soient en effet 3 l'idéal maximal de G, K = = C / 3 le corps résiduel de G ; on peut se borner au cas 3 4= o. Supposons qu'il existe un homomorphisme u : K-^C qui, composé avec l'augmentation C->K, donne l'identité; alors, pour que cet homomorphisme soit unique, il faut et il suffit que ti^ = o. En effet, la condition Q^ == o entraîne que K est formellement non ramifié sur son corps premier (20.7.4); s'il existait un second homomorphisme v 4= u répondant à la question, il y aurait un plus grand entier n tel que y contienne l'ensemble des u{x)—v[x) pour xeïi', par passage au quotient, u et v donne-raient deux homomorphismes distincts u\ -o' de K dans C/y"^, dont les composés avec C/y4'1 -> C/y seraient égaux, ce qui contredit la définition (19.10.2). Inversement, supposons que îî^4=o; il existe alors une dérivation D 4 = o de K dans 3/32 (20.4.8), donc un homomorphisme v^ : K->G/32 tel que, si u^ : K->C/32 est obtenu par passage au quotient à partir de u, on ait v^==u-^-}-'D (20. i . i). Si À: est le corps premier de K, G est une A-algèbre et K une A-algèbre formellement lisse ( 19.6. i ), et les restrictions de u^
et z^ à k coïncident, donc v^ se factorise en K->C->C/32 et l'on a v 4=^.
Rappelons ((20.6.20) et (21.4.4)) que la condition QK==O signifie que K est parfait s'il est de caractéristique 4= o, et extension algébrique de Q, s'il est de carac-téristique o.
(ii) De la même manière, soient W un anneau de Cohen, G un anneau local noethérien complet, 3 un idéal 4= o de G contenu dans l'idéal maximal; pour que la factorisation W^>G-^C/3 dans (19.8.63 (i)) soit unique, il faut et il suffit que le corps résiduel K de l'anneau de Cohen W soit tel que 0^=o. En effet, si 0^4=0 et si m désigne l'idéal maximal de W, il suffit de composer une dérivation D 4= o de K dans 3/m3 avec l'augmentation W->K pour obtenir une dérivation D'4=o de W dans 3/m3 et l'on termine le raisonnement comme dans (i) en formant à l'aide de D' un homomor-phisme ^i : W->C/m3 distinct de l'homomorhomomor-phisme u^ : W->C/m3 déduit de u par passage au quotient; on achève le raisonnement en invoquant cette fois (19.8.6, (i)). Si au contraire f2^ == o, l'unicité de v résulte déjà de (i) lorsque W = K est un corps de caracté-ristique o. Dans le cas contraire, on a Û^ = o ; en effet, on a alors m ^W, p étant la carac-téristique de K ( 19.8.5), et l'homomorphisme canonique m/m2 -> 0^1 mO^- (20.5.11.2) est par suite nul. La suite exacte (20.5.12.1) appliquée à W et à K = W / m entraîne alors que ^==mt2w? d'où notre assertion. Mais alors (20.7.4) W est formellement non ramifiée (pour sa topologie adique) sur Z, et l'unicité de v se prouve comme dans (i).
262
§ 2 I PRÉLIMINAIRES ^
ai . 6. Corps admissibles pour une extension.
(21.6.1) Étant donnés quatre corps  ^ C A c K c L , il résulte de (20.6.16) et (20.6.17) que l'on a une suite exacte
( 2 1 . 6 . 1 . 1 ) o ->YK^®KL -^Y^ ^YL/K/^YL/K/. -> o.
Lorsqu'on laisse fixes ko, K et L et qu'on fait « varier » le corps intermédiaire k entre Ao et K, on a évidemment Y^^Y^ lorsque k=k^ Lorsque F homomorphisme canonique s de (21.6. i . i) est encore bijectif, on dit que k est un corps ko-admissible pour l'extension L de K. L'intérêt de l'existence, sous certaines conditions, de tels corps k, qui soient pourtant « suffisamment proches » de K (par exemple tels que [K : k] soit fini) est qu'ils permettent de remplacer dans certaines questions les modules de différentielles f21.
T^kl / • -•^-/'^O
et ^L/A-o (q111 peuvent être « trop grands », par exemple lorsque ko est le corps premier) par ti^ et f2^, plus aisément maniables.
Lorsque ko est le corps premier, on dira « corps admissible » au lieu de « corps Ao-admissible ».
On posera (21.6.1.2)
A(L/K, klko) -Coker(Y^®KL -.Y^J ^ Ker(Y^ ->Y^)
(espace vectoriel sur L); son rang sera noté rf(L/K, klko) et appelé défaut de ko-admissibilité de k pour l'extension L de K (il est évidemment nul si et seulement si k est ^-admissible pour cette extension). Lorsque ko est le corps premier, on écrira A(L/K, k) et d{LIK,k) au lieu de A(L/K, k / k o ) et rf(L/K, ^o).
Proposition (21.6.2). — Soient ^ C A C K C L quatre corps.
(i) Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) Le corps k est ko-admissible pour l'extension L de K (autrement dit, l'homomorphisme
^/K/fc, -> ^L/K/fc est injectif, donc bijectif).
b) L'homomorphisme canonique u : T^,^ -> ^i^ est nul.
c) L'homomorphisme canonique v : ^i^®^L -^Yi^ est surjectif (donc bijectif).
d) On a d(LIK,klko)==o {ou A(L/K, klko) =o).
(ii) Les conditions équivalentes de (i) sont vérifiées lorsque l'on est dans l'un des cas suivants : a) L est séparable sur k', (3) L est séparable sur K; y) on a AcA^K^), en désignant par p l'exposant caractéristique de ko.
(i) Les assertions résultent trivialement de l'exactitude de la suite (21.6.1.1).
(ii) Si L est séparable sur A:, on a Y^^==o (20.6.19), donc la condition b) de (i) est remplie; si L est séparable sur K, on a YL/K/^==O (20.6.19), donc la condition a) de (i) est remplie; enfin, si l'on a kCkoÇK^, il en résulte que ^K^^LW en vertu de (21. i .5. i), et la condition a) de (i) est vérifiée.
263
i68 A. G R O T H E N D I E C K Chap. o
(21.6.3) Supposons que Pon ait un diagramme commutatif de monomorphismes de corps
KQ —> K —> 1\. —>• JLj
î î î î
^ _> k —^ K —> L
II résulte alors de ( 2 0 . 6 . 1 7 3 (ii)) que Pon a un homomorphisme canonique (21.6.3.1) A(L/K, klk,) -> A(I//K', k'^
avec une propriété de transitivité évidente, de sorte que Pon peut dire que A(L/K, kjko) est un foncteur en le quadruplet (^05 ^5 K., L).
Proposition (21.6.4). — (i) Soient Â:CÂ;'CÂ:"CKCL cinq corps. On a une suite exacte d^homomorphismes canoniques
( 2 1 . 6 . 4 . 1 ) o->A(L/K, AW-^A(L/K, ^7A)->A(L/K, A'V^-^o
et par suite F égalité
(21.6.4.2) rf(L/K, ^7A)=rf(L/K, A'V^) +rf(L/K, À'/A).
(ii) 5'oî^ AoCAcKcLcM cinq corps. On aune suite exacte d^homomorphismes canoniques (21.6.4.3) o->A(L/K, A;/^)®LM^A(M/K, ^o)->A(M/L, ^o)->o
^^ ^ûr jMî^ V égalité
(21.6.4.4) dfMIK, klk,) =</(M/L, A/^) +rf(L/K, ^o).
(i) Considérons le diagramme commutatif
o —> YT^/J^L —> Y^/^/fc^L —> YT./,.,,/,,®^L —> o'^Klk'lk®]^ ^K|k"^k(^K^ ^K/^V^^K^ •
' ~^LIk'lk ' ->YL/A;"/fc ' T
l-L|k"|k'
o -> A(L/K, A'/A:) -^ A(L/K, A;"//;) -> A(L/K, Â;"/^) -> o
où Pon peut considérer les trois lignes comme des complexes T[, Tg, T^ respectivement;
la suite exacte (21.6.1.1) et la définition de A (21.6.1.2) montrent que l'on a une suite exacte de complexes o—^T^->T^->T^->o; appliquons-lui la suite exacte de
coho-§ 21 PRÉLIMINAIRES 169
mologie, et notons que, en vertu de l'exactitude de (21.6.1.1), la cohomologie de T[
et celle de T^ sont nulles sauf en un seul et même degré, pour lequel les modules de cohomologie sont tous deux égaux à Y^^®^L; comme T[ et T^ ont ainsi même cohomologie, celle de T^ est nécessairement nulle, ce qui prouve (i).
(ii) Considérons de même le diagramme commutatif
o -> A(L/K,A/Ao)®iM -^ A(M/K,A/Ao) -> A(M/L, kjk^) -^ o
^LlKlk^ïM - M/L/fc,--> YM/K/AO Y
0 - - - ^/K/fc0!^ YiM/K//C
Y
M/L/fcoù de nouveau on considère les trois lignes comme des complexes T[\ T^ et T^; la suite exacte ( 2 1 . 6 . 1 . 1 ) et la définition de A ( 2 1 . 6 . 1 . 2 ) donnent ici une suite exacte de complexes o->T^ ->T^ —-Tg'-^o à laquelle on applique encore la suite exacte de cohomologie; cette fois, en vertu de l'exactitude de (21.6. i . i), la cohomologie de T^
et celle de T^* sont nulles sauf en un seul et même degré, pour lequel les modules de cohomologie sont tous deux égaux à YM/L/K? on conclut donc ici que la cohomologie de TI* est nulle, ce qui établit (ii).
Corollaire (21.6.5). — (i) Étant donnés cinq corps kck1 ck" cKcL, pour que k"
soit k-admissible pour l'extension L de K, il faut et il suffit que k' soit k-admissible et que k" soit k'-admissible pour l'extension L de K.
(ii) Étant donnés cinq corps AgCAcKcLcM, pour que k soit k-admissible pour l'extension M de K, il faut et il suffit qu'il le soit pour l'extension L de K et pour l'extension M de L.
Cela résulte aussitôt des relations (21.6.4.2) et (21.6.4.4), les valeurs de d étant ^ o.
Corollaire (ai. 6.6). — Soient AoCÀcKcL quatre corps, et supposons que k soit k-admissible pour l'extension L de K. Alors; si k^ A', K', L' sont quatre corps tels que AoC^cA'cAcKcK/cL'cL, k ' est k-admissible pour l'extension I/ de K'.