Cas des homomorphismes locaux; théorèmes d'existence et d'unicité

Dans ce numéro, lorsqu'un anneau semi-local est considéré comme un anneau topologique, il est toujours sous-entendu qu'il s'agit de sa topologie t-préadique, où r est son radical. Tout homomorphisme local d'anneaux locaux est donc automatiquement continu.

Théorème (19.7.1). — Soient A, B deux anneaux locaux noethériens, m, n leurs idéaux maximaux respectifs, k == A/m le corps résiduel de A', on suppose A et B munis respectivement des topologies m-préadique et n-préadique. Soit cp : A—^B un homomorphisme local, et posons BQ== BO^Â;.

Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) B est une A-algèbre formellement lisse.

200

§ ^ PRÉLIMINAIRES 105

b) B est un A-module plat et \ == B/mB (muni de la topologie quotient) est une k-algèbre formellement lisse.

La démonstration se fait en plusieurs étapes.

(19.7.1.1) Démontrons d'abord que b) entraîne a ) , nous allons appliquer le critère (19.4.7), avec 3== m; en vertu de la seconde hypothèse dans b ) , tout revient à montrer que B est un A-module formellement projectif. L'hypothèse entraîne que pour tout h>o,B|mîlB est un (A/m^)-module plat (Om, 10.2.1); comme les m" forment un système fondamental de voisinages de o dans A et que (B/m^B^^^Bo, on peut remplacer A et B par A/m^ et B/m^B respectivement, et par suite supposer A artimon (donc discret). Gomme Bç est une Â-algèbre formellement lisse, c'est un anneau régulier (19.6.5); soit (^)i^^ un système régulier de paramètres pour Bç (17.1.6), et pour tout i, soit ^eB tel que x°, soit son image dans Bo=B/mB; comme les x°,

n

engendrent l'idéal maximal no=n/mB de Bo, les idéaux S^= S (x^Bo (pour w>o) forment un système fondamental de voisinages de o dans Bg, car fi^ est évidemment

n

contenu dans n?, et d'autre part contient n^. Posons 3^== S x^B pour tout m>o;

il est clair que n==3i+mB; comme il existe un h>o tel que mh=o, on a n^cg^-^Cn^"^

pour m>h, et comme on a vu que 3^3 y, on voit que les ^ forment un système fondamental de voisinages de o dans B. Tout revient par suite à prouver que les B/y sont des A-modules libres, et il revient au même de voir que ce sont des A-modules plats (Oui, 10.1.3). Or, l'hypothèse que (^°) est une suite Bo-régulière d'éléments de l'idéal maximal de Bo entraîne la même propriété pour la suite des {x^ (i^i^n) pour tout m> o (15. i .20) ; la conclusion résulte donc de (15. i . 16, b) et c}).

Lemme (19.7.1.2). — Soient A un anneau topologique, B, C deux A-algèbres topologiques qui sont des anneaux locaux noethériens. On suppose en outre que G est complet et que le corps résiduel B/m de B est un A-module de type fini. Soit E le produit tensoriel complété Bd^C. Alors :

(i) E est un anneau semi-local noethérien complet.

(ii) U idéal mE est contenu dans le radical de E, et pour tout A>o, E/m^E est isomorphe à

(B/m^^C-(iii) Si C est un A-module plat, E est un B-module plat.

Par définition, E est le séparé complété du produit tensoriel B®^C pour la topo-logie définie par les idéaux ImÇm'^G)+Im(B®^nQ ( O i , 7 . 7 . 5 ) . Si l'on pose t=Im(m®AC)+I m(B 0An)5 on a r^cIm^^A^+^B^A^)^ donc E est aussi le séparé complété de B®^C pour la topologie r-préadique. Par hypothèse, (B^C^r^B/m^AWn) est un (C/n)-module de type fini, donc un anneau artinien;

en outre, r/r2, étant un quotient de ((m/m2) ®^C) © (B®^ (n/n2)), est un (B®^ G)-module de type fini; appliquant (Oi, 7 . 2 . n), on voit donc que E est un anneau noethérien; en outre, E/rE, isomorphe à (B®^G)/r, étant artinien, E est semi-local. Notons maintenant que E, qui est isomorphe à Hm((B/mQ®^(C/nO), est aussi isomorphe, par le théorème

»,?"» /

de la double limite projective, à limÇlim^B/mQ^GMO)); m^ lim^B/m1)®^/^))

i j j

14

io6 A . G R O T H E N D I E C K Ghap. o

est le séparé complété de (B/Tn')®^? et comme G est complet, ce n'est autre que (B/mQ^C lui-même, B/rtf étant un A-module de type fini puisque m/m¹ est un (B/m) -module de type fini (0;, 7.3.6). On a donc E^^iïn^B/mO^C:). Pour tout

i

entier h>o, m^E, étant un idéal de E, est fermé dans E (O;, 7.3.5), donc complet, et d'autre part il est évidemment dense dans lim^mÇm^/m^')®^))? donc ég^ à cette

i

dernière limite projective. En outre, tous les systèmes projectifs considérés sont définis par des homomorphismes surjectifs, il résulte donc de (Oju, 13.2.2) que E/m^E est isomorphe à (B/m^)®^^ (B®^)/!¹¹¹^^⁰)- En particulier comme ImÇm^C) Cr, cela montre que mE est contenu dans rE, donc dans le radical de E. Enfin, l'hypothèse que G est un A-module plat entraîne que (B/nt^fc)®^G=E/Tn^fcE est un (B/m^)-module plat pour tout A>o : comme B et E sont noethériens et que mE est contenu dans le radical de E, il résulte de (Om, 10.2.2) que E est un B-module plat.

Lemme (19.7.1.3). — Soient A un anneau local noethérien, m son idéal maximal, k son corps résiduel, B() une k-algèbre; on suppose que B() est un anneau local noethérien, complet et régulier.

Alors il existe une A-algèbre topologique B qui est un anneau local noethérien complet, un A-module plat, et tel que \ soit k-isomorphe à B®^=B/mB.

Comme À est plat sur A et a même corps résiduel, on peut se borner au cas où A est complet.

Soit K le corps résiduel de Bo, et distinguons deux cas :

I) K est une extension séparable de A. En vertu de (19.6.4), BQ est Â-isomorphe à un anneau de séries formelles K[[Ti, . . ., TJ]. Lorsque BQ=K, le lemme a déjà été démontré (Om, 10.3.1); soit G un anneau local noethérien complet qui est un A-module plat et tel que C®Jc soit isomorphe à K. Pour n^î, il suffit de prendre (avec la notation précédente) B=G[[Ti, ...,TJ]; on sait en effet (Bourbaki, Alg, comm., chap. III, § 3, n° 4, cor. 3 du th. i) que B est un C-module plat, donc aussi un A-module plat, et d'autre part, il est immédiat que C[[Ti, . . . , TJ]®^ est isomorphe à (C/mC)[[T,, ...,TJ]=Bo.

II) K est de caractéristique p>o, et par suite il en est de même de k. Notons P le corps premier Vy, et W(P) l'anneau local complet des nombres ^-adiques Zy, qui est un anneau de valuation discrète (donc régulier), et a P pour corps résiduel. Montrons d'abord qu'il existe un homomorphisme continu d'anneaux W(P)->A faisant donc de A une W(P) -algèbre topologique. En effet, si j : Z->A est l'homomorphisme canonique, o n a ^ Z ) C m par hypothèse, d'où j~1 (m) ==^Z, et par suite j se factorise en Z->Zpz->A, où/est un homomorphisme local, donc continu, qui (puisque A est complet) se prolonge par continuité en l'homomorphisme W(P)-^A cherché.

Comme k est extension séparable de P, le cas I) montre qu'il y a un homomor-phisme local W(P)-^W(A;), où W(A) est un anneau local noethérien complet et un W(P)-module plat, tel que W(A;)®W(P)P ^solt isomorphe à k. D'ailleurs, comme l'unifor-misante p de W(P) est un élément W {k) -régulier par platitude (Oi, 6.3.4) et comme 202

i9 PRÉLIMINAIRES ₁₀₇

V^f{k)lpW(k)==k, pW(k) est l'idéal maximal de W(Â:), ce qui entraîne que ce dernier anneau est un anneau de valuation discrète complet (Bourbaki, Alg. comm., chap. VI, § 3, n° 5, prop. 9). Par (19.7.1.1) on voit en outre (puisque k est séparable sur P, donc une P-algèbre formellement lisse (19.6. i ) ) que W(A) est une W(P) -algèbre formellement lisse.

Le W(P)-homomorphisme continu Vf{k)->k se factorise donc en W(k)-^A->k (19.3.11), ce qui permet de considérer A comme une W (A)-algèbre topologique. Appliquant main-tenant le cas I) à B() considéré comme P-algèbre et à W(P), on voit qu'il existe une W(P)-algèbre Bp qui est un anneau local noethérien complet, un W(P)-module plat, et telle que Bp®^p)P soit P-isomorphe à B^. Utilisant de nouveau le fait que W(Â:) est une W(P)-algèbre formellement lisse, on voit par (19.3.11) que Phomomorphisme composé W(Â;)-^-^Bo se factorise en W(Â;)->Bp-^Bo$ en outre, comme Â;=W(Â;)/J&W(A), on a Bp®w(fc)^Â;=^Bp/^^Bp=Bp⁰w(P)^p=Bo• Montrons que Bp est un W (A) -module plat;

comme W(Â;) est un anneau de valuation discrète dont p est l'uniformisante, il suffit de vérifier que Bp est un W (A:)-module sans torsion (Oj, 6.3.4), ou encore que p est un élément Bp-régulier, ce qui résulte de ce que Bp est un W(P)-module plat (O;, 6.3.4).

Posons maintenant

B=Bpd_'W{k)A

et notons que le corps résiduel de A étant égal à celui de W(A:), est a fortiori un W(A;)-module de type fini. Il résulte donc tout d'abord de ( 1 9 . 7 . 1 . 2 ) que B est un anneau semi-local noethérien complet, mB étant contenu dans le radical de B; en outre B/mB est A-isomorphe à Bp^^^^^Bo? donc B est en fait un anneau local. Comme Bp est un W(A;)-module plat, (19.7.1.2) montre enfin que B est un A-module plat. C.Q.F.D.

Lemme (19.7.1.4). — Soient A un anneau, 3 un idéal de A, M, N deux A-modules séparés pour la topologie ^-préadique. On suppose en outre que N est complet pour la topologie

^-préadique et que M soit un A-module plat. Soit u : N—^M un A-homomorphisme; si u®\ : N®^(A/3) -> M€^(A/3) est bijectif, alors u est bijectif.

Les modules gradués associés étant pris relatifs aux filtrations 3-préadiques, il résulte des hypothèses sur M et N relativement aux topologies 3-préadiques qu'il suffit de prouver que gr(z/) : gr.(N)-^gr.(M) est bijectif (Bourbaki, Alg. comm., chap. III,

§ 2, n° 8, cor. 3 du th. i). Or, on a un diagramme commutatif

ro(M)®l

gro(N)OO^gr.(A) -^?ro(^ gro(M)®^gr.(A)

ÇN

gr.(N)

gr(u) gr.(M)

203

108 A. G R O T H E N D I E C K Chap. o

où Aç==A/3==gio(A), et 9^ et 9^ sont ^es applications canoniques (Om, 10.1.1.2).

Par hypothèse, gio(^) est bijectif ainsi que 9^ (uni? 10.2.1), et 9^ est surjectif; on en déduit d'abord que gr^z/)®! est bijectif, puis que 9^ ^est mjectif, donc bijectif, et enfin que gr(u) est bijectif.

Lemme ( 1 9 . 7 . 1 . 5 ) . — Soient A un anneau noethérien^ 3 ^{un îû}^ de A, B, B' ûfcî^

A-algèbres qui sont des anneaux locaux noethérienSy les homomorphismes A—>-B, A-^B' étant continus pour la topologie ^-préadique sur A. On suppose que : i° B et B' sont complets pour les topologies

^-préadiques; 2° B est une A-algèbre formellement lisse; 3° B' est un A-module plat. Posons Ao==A/3, et soit UQ : B®^AQ -> B'®^AO un ÂQ-isomorphisme; alors il existe un A-isomorphisme u : B—»-B' tel que UQ^U®! (ce qui entraîne que B' est une A-algèbre formellement lisse et B un A-module plat).

Posons B()=B®^AO, BO=B'®^A(). Notons que si m et m' sont les idéaux maximaux de B et B', les topologies 3-préadiques sur B et B' sont séparées puisque 3Bcm et

^B'cm'; en outre, comme 3B' est fermé dans B' pour la topologie 3-préadique, l'homomorphisme composé B-^B^BQ, qui est continu pour les topologies ^rpréadiques, se factorise en B-^B'-^B^, où u est un A-homomorphisme continu (19.3.10). On a évidemment UQ==U®Î, et l'hypothèse que UQ est bijectif entraîne qu'il en est de même de u en vertu de (19.7.1.4).

(19.7.1.6) Fin de la démonstration. — Pour achever de prouver (19.7.1), il faut montrer que a) entraîne b) ; on sait déjà que a) entraîne que Bo est une A-algèbre formel-lement lisse (19.3.5, (iii))? donc tout revient à prouver que B est un A-module plat.

Il revient au même d'établir que Ê est un À-module plat (Bourbaki, Alg. comm., chap. III,

§ 5, n° 4, prop. 4), et l'on sait que Ê est une Â-algèbre formellement lisse (19.3.6); on peut donc se borner au cas où A et B sont complets. Gomme Bo est une A-algèbre formel-lement lisse, c'est un anneau régulier (19.6.5) et complet (Oi, 6.3.5); appliquant (19.7.1.3)5 on voit qu'il existe une A-algèbre B' qui est un anneau local noethérien complet et un A-module plat, un homomorphisme local A-^B' et un A-isomorphisme BO^B^B'®^. Il suffit alors d'appliquer (19.7.1.5) en prenant pour 3 l'idéal maximal de A, pour obtenir que B est A-isomorphe à B', donc est un A-module plat. C.Q.F.D.

Théorème (19.7.2). — Soient A un anneau local noethérien^ 3 un idéal contenu dans V idéal maximal de A, Ao=A/3? Bo un anneau local noethérien complet^ AQ—^BO un homomorphisme local faisant de B() une A^-algèbre formellement lisse. Alors il existe un anneau local noethérien complet B, un homomorphisme local A->B faisant de B un A-module plat, et un Ao-isomorphisme u : B®^A(j2^Bo. Si (B', u') est un couple satisfaisant aux mêmes conditions que (B, ^), il existe un A-isomorphisme v : BC^B' rendant commutatif le diagramme

BOO.Ao ^ B^Ao

Bo

§ 19 PRÉLIMINAIRES 109

Soit m l'idéal maximal de A, de sorte que mo==m/3 est l'idéal maximal de Ao, A et \ ayant le même corps résiduel k. Posons Boo= B()®^Â:; comme BçQ est une A-algèbre formellement lisse (19.3.5, (iii)), c'est un anneau local régulier (19.6.5); en appli-quant (19.7.1.3), on voit qu'il existe une A-algèbre topologique B qui est un anneau local noethérien complet, un A-module plat, et pour laquelle on a un A-isomorphisme UQQ : B^À^BOO. Notons qu'en vertu de (19.7. i), B est une A-algèbre formellement lisse, donc B®^Ao=B/3B est une Aç-algèbre formellement lisse (19.3.5, (iii)) et un anneau local noethérien complet; en outre, Bo est un Aç-module plat en vertu de l'hypothèse et de (19.7.1); comme on a un Â:-isomorphisme UQQ : 1à®^k== (B®^A()) (S^A^Bo®^' == Boç, on déduit de (19.7. i .5), appliqué en y remplaçant A par \ et 3 par mç, qu'il existe un Ap-isomorphisme u : B^Ao^Bg tel que UQQ==U®I. Quant à l'assertion d'unicité, notons que les idéaux ^B (resp. ^B') sont fermés dans B (resp. B') (Oi, 7.3.5), donc B et B⁷ sont séparés et complets pour les topologies 3-préadiques (Bourbaki, Top. gén,, chap. III, 3e éd., § 3, n° 5, cor. 2 de la prop. 9) ; on a par hypothèse un Aç-isomorphisme VQ : BO^AO^B'CX^AO tel que u'ov^u, comme B est une A-algèbre formellement lisse et B' un A-module plat, on peut appliquer (19.7.1.5), d'où l'existence du A-isomor-phisme v répondant à la question.

Remarques (19.7.3). — (i) On notera que l'assertion d'unicité dans ( 1 9 . 7 . 2 ) est encore valable si l'on suppose seulement que B et B' sont complets pour les topologies

^-préadiques. Nous ignorons si l'on peut améliorer de même l'assertion d'existence, autrement dit si l'on peut se dispenser de supposer l'anneau local Bg complet (pour sa topo-logie îto-préadique, en désignant par riç son idéal maximal) en exigeant seulement que B soit complet pour la fopologie ^-préadique. Lorsque Aç est complet pour la topologie m-préa-dique, on peut voir que ce problème revient au suivant : si Bo est un anneau local noethérien régulier (non nécessairement complet) contenant le corps premier Fy== Z/pZ, existe-t-il pour tout n> i une (Z/j^Z) -algèbre plate B telle que B/^B soit isomorphe à Bo?

(ii) On notera qu'en général, l'isomorphisme v dont l'existence est affirmée dans (19.7.2) n'est pas unique (cf. (19.8.7)).

19.8. Algèbres de Cohen et p-anneaux de Cohen; application à la structure