Nous revenons à nos conventions antérieures et supposons donc que tous les corps considérés dans ce numéro sont de caractéristique p>o.
Lemme (21.8.1). — Soient K un corps, k un sous-corps de K, (Â:Jaçi une famille filtrante décroissante de sous-corps de K telle que k=== H ^. Soient V un espace vectoriel sur K, (^)i^^
a£ 1
267
172 A . G R O T H E N D I E C K Chap. o une famille finie de vecteurs de V; si la famille (^) est libre sur k, il existe un indice y tel qu'elle soit aussi libre sur k^.
Soit r le rang de la famille (fl,)i^^n sur K, et raisonnons par récurrence sur n—r\
la proposition est évidente pour n = r, car alors la famille (^)i^^r est libre sur K, donc sur tout sous-corps de K. Supposons par exemple que (û^)^^ soit libre sur K, et
r
écrivons û , , i = = S \a, avec \eK; la famille (â^^,+i étant libre sur À:, les \ ne t==i
peuvent tous appartenir à k\ supposons par exemple que \^k. Alors il existe un indice P tel que \^k^\ on en conclut que la famille (û^^^y+i est libre sur k^ $ en effet, comme la famille {a^^^y est libre sur tout sous-corps de K, si la famille (^)i^^r+i n'était pas libre sur kn, a^^ serait égal à une combinaison linéaire des û, à coefficients dans ka, et comme ces coefficients sont nécessairement les \, on aboutit à une contradiction. Il suffit maintenant d'appliquer l'hypothèse de récurrence en remplaçant K par Ap et la famille (AJ^ei P^ ^a sous-famille des k^ contenus dans k^.
Lemme (21.8.2). — Soient K un corps, p son exposant caractéristique, ko un sous-corps de K, (^Jocei une famille filtrante décroissante de sous-corps de K telle que H Â;a(KP)=Â;o(KP). Si Wi<i<n est une famille finie d'éléments de K qui est p-libre sur ko, il existe un indice oc tel que (^) soit p-libre sur A^.
En effet, dire que la famille (^) est j^-libre sur un sous-corps A de K signifie que
n
la famille finie des monômes îl x^ avec o^m{i)<p est libre sur ^(K^); il suffit donc
i=Q
d'appliquer le lemme (21.8.1) à cette famille de monômes dans l'espace vectoriel V= K, et aux sous-corps ^(K?) et koÇ'K?) de K.
Théorème (21.8.3). — Soient K un corps de caractéristique p>o, ko un sous-corps de K, (Â;J une famille filtrante décroissante de sous-corps de K contenant ko. Les conditions suivantes sont équivalentes :
. a) n^,(K^)=Ao(K^).
b) Pour toute extension L de K telle que YL/K//CO solt un L-^fl^ vectoriel de rang fini [ce qui a lieu en particulier si L est une extension de type fini en vertu de ( 2 1 . 7 . 2 ) ) , il existe
ocel tel que k^ soit ko-admissible pour l'extension L de K.
b') Pour toute extension L==K{x) de K, avec ^eK, il existe ael tel que k^ soit ko-admissible pour l'extension L de K.
c) L'application canonique
(21.8.3. i ) ÛK/^ ->Hm ^K/^
a
est injective.
L'application canonique (21.8.3.1) est bien entendu obtenue par passage à la limite projective dans le système projectif d'homomorphismes ^t/fc,-^!/^ (20.5.3.3).
Nous allons prouver le théorème suivant le schéma logique c) =>b) =>b') =>a) =>c).
Dire que k^ est Ào-admissible pour l'extension L de K signifie que l'homomorphisme
§ 2i PRÉLIMINAIRES 173
canonique YL/K^^L/R/^ est injectif; or, si N^ est le noyau de cet homomorphisme, les N^ forment un système filtrant décroissant de sous-espaces vectoriels de YL/K/A; ? et comme YL/K/^ est Par hypothèse de rang fini, il revient au même de dire que l'un des Na est o ou que leur intersection est o. Mais cette intersection n'est autre que le noyau de l'homomorphisme limite projective ^^->\im T^^. Or, on a le diagramme
commutatif a
YL/K/AO ~^ lim Y^K//^
^AL -> Hm^K/^0^
où la flèche verticale de gauche est injective par définition. Pour prouver que c ) entraîne b), il suffit donc de montrer que c ) entraîne que l'application canonique
(21.8.3.2) "KAV -> Um(^®KV)
est injective pour tout espace vectoriel V sur K (et en particulier pour V = L ) . Or cela est évident si V == K" puisque alors W®^ == W" pour tout espace vectoriel sur K et que les produits et limites projectives commutent. D'autre part, pour tout élément ^ du premier membre de (21.8.3.2) il existe un sous-espace V de V de rang fini tel que ^^K^®^' (identifié canoniquement à un sous-espace de Û^®^V); si ^+o, son image dans lim(Q^ ®K^') "'est donc pas nulle; comme le foncteur lim est exact
a
à gauche, l'image de ^ dans le second membre de (21.8.3.2) est donc aussi =f= o, ce qui achève de montrer que c) implique b).
Il est trivial que b) entraîne b ' ) \ montrons que b ' ) entraîne a). Avec les notations de b ' ) , on peut supposer que L=j=K. Il résulte alors de (21.4.7) que l'on a
^ YL/K/^^^ ^/K^ I- Si YL/K/^=O il n'y a rien à démontrer en vertu de (21.6.1.1).
Sinon, YL/K//C. s'identifie canoniquement à YL/K et si l'on pose a = ^ Y^/K a une base formée du seul élément d^a®î (21.4.7); YL/K/A., a donc une base formée du seul élément d^{a)®î, et dire qu'un sous-corps k^ est Ao-admissible pour l'extension L de K signifie que l'on a d^{a) =t=o, ou encore (21.4.5) que a^k^K.^. Or, pour tout
^^(K^), on a â?K/fc,(âO=^=o et K^û^+K, donc on peut appliquer b ' } , qui prouve l'existence d'un a tel que a^k^K^; autrement dit b ' ) implique a).
Reste à montrer que a) implique c ) . Soit (^)^çn une j&-base de K sur Ao; alors, les û?K/A;o(^) forment une base du K-espace vectoriel £i^ (21.4.5)3 et la condition c) signifie que pour toute partie finie J de l'ensemble d'indices M, il existe un ael tel que les d-^^x^) pour (lej soient linéairement indépendants dans û^ ; mais cela signifie aussi (21.4.5) que les ^ pour ^ej forment une famille j^-libre sur k^, et l'existence d'un a ayant cette propriété découle de (21.8.2) et de l'hypothèse a).
269
174 A . G R O T H E N D I E C K Ghap. o Corollaire (21.8.4). — Soient K un corps de caractéristique p>o, ko un sous-corps de K, (^a)aei une famille filtrante décroissante de sous-corps de K, contenant ko, telle que
n^{KP)=ko(KP).
Soient L une extension de K telle que YL/K//CO soît un ^'^pace vectoriel de rang fini; alors, pour tout corps K' tel que KcK'CL, il existe ael tel que k^ soit ko-admissible pour l'extension L de K'.
Il suffit d'appliquer (21.8.3) et (21.6.6).
Corollaire (21.8.5). — Soient K un corps de caractéristique p>o, ko un sous-corps de K, (^a)aei une famille filtrante décroissante de sous-corps de K contenant ko, telle que
n^(KP)=koW.
Alors, pour toute extension L de K telle que YL/K^, solt un ^-espace vectoriel de rang fini, on a n^{LP)==ko{U).
Supposons en effet que M soit une extension de L telle que YM/L/A-O solt un M-espace vectoriel de rang fini. La suite exacte (21.6.1.1)
O^YL/K//Co0LM^YM/K//Co^TM/L/fco
et l'hypothèse montrent alors que Yj^/fco est aussl un M-espace vectoriel de rang fini. Il existe donc un indice a tel que k^ soit /admissible pour l'extension M de K (21.8.3), donc aussi pour l'extension M de L (21.6.6) ; cela ayant lieu pour toute extension M de L telle que Y^//co s01^ de rang fini, le corollaire résulte de l'équi-valence de a) et b) dans (21.8.3).
Corollaire (21.8.6). — Soient K un corps, p son exposant caractéristique, ko un sous-corps de K. Si L est une extension de K telle que Y^/K/fc, s01^ un ^'espace vectoriel de rang fini, il existe un sous-corps k de K, contenant k^tV^), tel que [K : k\ soit fini, et qui soit k^-admissible pour l'extension L de K.
Il suffit en effet, en vertu de (21.8.3), de construire une famille filtrante décroissante (^a)aei de sous-corps de K, contenant K^ et ko, pour lesquels [K : ky\<i +00 et n^^^oÇK^). Pour cela on considère une ^-base (^)^çj de K sur ko et, pour toute
a
partie finie H de J, on considère le sous-corps k^ de K engendré par ^(K^) et les x^
d'indice X e J — H ; il résulte de cette définition que (^)^çn est une J^-base de K sur k^, et on en conclut aussitôt que les Ag vérifient les conditions voulues.
Remarques (21.8.7). — (i) On a déjà vu (21.7.2) que si L est une extension de type fini de K, Y^/K/fc, est de rang fini pour tout sous-corps ko de K. Il en est de même si L est une extension sêparable de K, car en vertu de (20.6.19), on a YL/K/A-O == °- Enfin, si L est une extension de type fini d'une extension sêparable L,o de K, le même raisonnement que dans (21.8.5) montre que Y^/fe., est encore de rang fini (et en fait est isomorphe à un sous-espace de
Y^^)-270
§ 2i PRÉLIMINAIRES ^5
(ii) Dans l'énoncé de (21.8.5), et par suite aussi dans celui de (21.8.3, b)), on ne peut omettre l'hypothèse que Y^K/^ est de rang fini sur L. Prenons pour k^ le corps premier Fy, pour K un corps tel que [K : K^] soit infini dénombrable (par exemple le corps de fractions rationnelles F^(Xi, . . ., X^, . . .) à une infinité d'indéterminées);
le procédé de construction de (21.8.6) montre aussitôt qu'il existe une suite infinie strictement décroissante (KJ de sous-corps de K telle que K Q = K et ^K^=KP. Nous allons construire une suite croissante d'extensions finies M^ de K, telle que si M est la réunion des M^, l'extension L=M11P de K mette (21.8.5) en défaut. Pour cela, soit x un élément de K—K^, posons M^K^ et M^K^a^, a^x, . . . , û ^ ) pour 7^1, où les a^ sont construits par récurrence de façon que a^eK^ et a^^M^x) pour tout n : cela est possible, car M^{x) est de degré fini sur K^, tandis qu'il n'en est pas de même de K^.
On en conclut aussitôt que x^ M = LP, mais comme x== [a^x)a^1, on a xeK^M) = K^LP) pour tout n.
Proposition (21.8.8). — Soit k un corps de caractéristique p>o, et soient A==Â:[[Ti, .. ., TJ] Panneau des séries formelles à r indéterminées sur k, K=A;((Ti, . . ., T^)) son corps des fractions. Alors il existe une famille filtrante décroissante (AJ de sous-anneaux noethériens de A telle que A soit un ^-module libre de type fini pour tout a et que, si K^ est le corps
des fractions de A^, on ait riK^=K^.
a
On peut écrire Kp=kp({^^ . . ., TP) ) ; on a vu dans la démonstration de (21.8.6) qu'il existe une famille décroissante (ÂJ de sous-corps de k telle que [k : AJ soit fini pour tout a et Hk^^kP; il est clair que si l'on pose A^=^[[Tf, . . ., T?]], A est un A^-module libre de type fini', tout revient donc à prouver la relation
( 2 1 . 8 . 8 . 1 ) n/;,((Tf, ...,T^))=P((Tf, ...,T?)).
Comme Çtk^^k19, cela va résulter des deux lemmes suivants :
a
Lemme ( 2 1 . 8 . 8 . 2 ) . — Si k' est une extension d^un corps k, on a
^'[[Ti, ..., TJjn^Ti, .. ., TJ) =^[[T,, . .., TJ].
En effet, posons C=k[[T^ .. ., TJ], D=/;'[[Ti, . . . , T J ] ; comme A((T,, . . . , T , ) ) est le corps des fractions de G, il suffira de prouver que D est un C-module fidèlement plat (Bourbaki, Alg. comm., chap. I, § 3, n° 5, prop. 10). Or, G et D sont des anneaux locaux noethériens, et si m est l'idéal maximal de G, on a D/m^'D^ (G/mQ®^', donc D/m^D est un (C/mO-module plat; il suffit donc d'appliquer (Om, 10.2.1) et (0^, 6.6.2).
Lemme (21.8.8.3). — Soient k un corps, (AJ une famille filtrante décroissante de sous-corps de k, et posons kç== fU^. On suppose qu'il existe une puissance q de l'exposant caractéristique de k telle que kqCkQ. Alors on a
(21.8.8.4) n^((T,, ..., T,))==/;o((T,, ..., T,)).
Il suffit de prouver qu'un élément /+o du premier membre de (21.8.8.4) appartient au second membre. Soient y un indice, ^^[[Ti, . . ., TJ] tel 271
176 A . G R O T H E N D I E C K Chap. o
que gfe^[[rT^, ...,T,.]]; quitte à remplacer g par ^, on peut supposer que geko[[T^, ...,Ty]]. Alors, pour tout oc^y? on a
^.[[Ti, . .., TJ]n^((T,, . .., T,)) ==À;J[T,, . . . , T,]]
en vertu du lemme (21.8.8.2). Mais il est clair que l'intersection des anneaux
^[[Ti, ...,T,]] n'estautreque ^[[T^ ...,TJ], et l'on a donc bien fek^T^ ...,T,)).