Extensions d'un anneau par un bimodule

(18.2.1) Soient E un A-anneau augmenté sur B, /:E->B F augmentation, 3 == Ker(/) Fidéal d'augmentation. Si l'on a 32 == o, 3 est non seulement un E-bimodule mais aussi un S-bimodule puisque B est isomorphe à E/3; de façon précise, tout éeB est de la forme f{x) avec xeE, et si ^, ^ sont dans 3 ^{on a} [^x + ^}^ ^{= x}^ (resp. ^(x +^)== ^x) de sorte que la valeur de x^ (resp. ^ x ) ne dépend pas de l'élément ^e/"1^), et peut s'écrire b^' (resp. ^ ' b ) ce qui définit la structure de B-bimodule considérée. Inversement, si 3 est muni d'une structure de B-bimodule telle que x^==f{x)^ et ^x=^f{x) pour xeE et ^'e3, il est clair que 3^2:==0•

(18.2.2) On appelle A-extension d'un A-anneau B par un K-bimodule L une suite exacte d'homomorphismes de A-bimodules

o - > L — ^ E - > B - > o

où E est un A-anneau, / un A-homomorphisme d'anneaux et l'on a, pour xeE et <s;eL,

j{fW

^), jWW) =J^

d'où résulte (18.2.1) que j(L) est un idéal bilatère de carré nul de E. Par abus de langage on dira aussi que E est une extension de B par L. On dit que deux A-extensions E, E' de B par L sont A-équivalentes s'il existe un isomorphisme de A-anneaux u : E^ÏE' (dit aussi A-équivalence de A-extensions) rendant commutatif le diagramme

/ ^E \

(18.2.2.1) o->L "^ B->o

E'

150

§ I8 PRÉLIMINAIRES

(18.2.3) On dit qu'une A-extension E de B par un B-bimodule L est A-triviale si E est un A-anneau augmenté (sur B) trivial (18.1.4). On définit sur le A-bimodule produit B x L une structure de A-anneau en posant (x, s ) ( ^ t ) = (^, xt+sy), comme on le vérifie aussitôt, et il est immédiat que les applications canoniques j : L->BxL et /: B x L — B définissent une A-extension de B par L qui est A-triviale, l'application canonique g : B->BxL étant un A-homomorphisme inverse à droite de/. On dit que cette extension est Y extension triviale type de B par L et on la note Dp(L) ; il est immédiat que toute A-extension A-triviale de B par L est A-équivalente à D^L).

On notera que toute extension du A-anneau A lui-même par un A-bimodule est nécessairement A-triviale.

(18.2.4) Étant données deux A-extensions L -'> E -i B, L' -^ E' -^/» B', unmorphisme de la première dans la seconde est par définition un triplet d'homomorphismes de A-bimodules (u, v, w) tel que le diagramme

o —> L —> E -/-. B —> o ( 1 8 . 2 . 4 . 1 ) ^ J

o —> L' —> E' —> B' —> o i' f

soit commutatif, u et v étant des A-homomorphismes Panneaux et w étant tel que w{b^)=v(b)w{^ et w^b)=w^)v(b) pour ^eL et èeB (en d'autres termes, le couple {v, w) constitue un di-homomorphisme du B-bimodule L dans le B'-bimodule L') ; il est clair que si ( u ' , y', w ' ) est un morphisme de L'-^E^B' dans une A-extension L//->E'/-.B", (u'QU, v ' o v , w'ow) est encore un morphisme, ce qui justifie la terminologie.

La considération des deux carrés commutatifs du diagramme (18.2.4.1) va nous conduire à deux opérations sur les extensions de A-anneaux.

(18.2.5) En premier lieu, considérons une A-extension E' de B' par L' o -> L' -^ E' -^ B' -> o

et un A-homomorphisme d'anneaux v : B—B', et soit F ^ E ' X p ' B V image réciproque par v du A-anneau augmenté E' (18. i .5), de sorte que l'on a un diagramme commutatif

o — > L o — > F - ^ B - ^ o

o —> L' —> E' —> B' —> o

i ' r

dont les lignes sont exactes, p^ et p^ étant les homomorphismes canoniques; on a vu (18. i .3) que i est bijectif et il résulte aussi de la définition (18. i .2) que L^==o, de sorte que l'on peut considérer que F est une A-extension de B par L', que l'on appelle image réciproque par v de l'extension E' de B' par I/ (L/ étant naturellement considéré comme B-bimodule au moyen de l'homomorphisme d'anneaux v). Le caractère fbnc-151

56 A . G R O T H E N D I E C K Chap. o

toriel du produit fibre vis-à-vis de chacun des facteurs montre en outre que si l'on a un morphisme de deux extensions de B'

o —> L[ —> E[ —> B' —> o

o —^ H —> E; —> B' —> o on en déduit un morphisme image réciproque par v

o -> L[ -> E^XB'B -> B -> o

h ^XB'IB | ? IB y y y

o -> H -> E^XB'B -> B -^ o

En particulier, si E^ et Eg sont des A-extensions A-équivalentes de B' par L/, leurs images réciproques par v sont des A-extensions A-équivalentes de B par L\

La définition du produit fibre montre que lorsque l'on a un morphisme (18.2.4. i) de A-extensions, il se factorise à travers l'image réciproque de E' par y$ de façon précise, il existe un A-homomorphisme unique UQ : E-^F ==E'XB'B rendant commutatif le diagramme

o —> L -^ E -^ B —> o

W» KO IB

Y Y Y

o — ^ L g —> F ^ > B —> o

iî[ Î'J | » Y Y Y

o —> L' —> E' —> B' —> o

7" /'

où ^o est la restriction de UQ à L et P^OUQ==U, iowQ=w.

(18.2.6) Étudions en particulier les images réciproques d'extensions par des A-homomorphismes surjectifs. Considérons un A-homomorphisme surjectif v : B—^B', une A-extension F de B par un B-bimodule L, et l'idéal bilatère S{ de B, noyau de v (qui peut être considéré comme F-bimodule au moyen de l'augmentation F —B) ; on a vu ( 18. i . 7) que tout homomorphisme de F-bimodules 6 : ^->F rendant commutatif le diagramme

y / ^ i

détermine une extension E' de B'==B/^ par L dont l'image réciproque par •o : B->B' est équivalente à F, et que toute A-extension E' de B' par L ayant cette dernière propriété s'obtient ainsi (à une A-équivalence près). En outre, pour que deux homomorphismes O^, 6g de F-bimodules de K dans F donnent deux A-extensions A-équivalentes de B par L, il faut et il suffit qu'il existe une A-équivalence u de la A-extension F sur elle-même telle que 152

§ I8 PRÉLIMINAIRES

57

Q^=uoQ^ cela résulte aussitôt de ce qu'on a vu dans (18.2.5) et de la définition de la bijection canonique de F sur le produit fibre E'Xp'B (18.1.7).

( 18.2.7) Considérons maintenant le carré de gauche de (18.2.4. i), et rappelons d'abord la notion de somme amalgamée dans la catégorie des A-bimodules : étant donnés trois A-bimodules X, Y, Z et deux A-homomorphismes /: X->Y, g : X—Z, la somme amalgamée Y®xZ est limite inductive du système inductif formé par X, Y, Z et les A-homomorphismes/, g dans la catégorie des A-bimodules (Om, 8. i . n). On définit ce A-bimodule comme quotient du produit Y x Z par le sous-A-bimodule M image de X par l'homomorphisme x^>Çf{x), —g{x)). Sa propriété caractéristique est que, pour tout couple d'homomorphismes de A-bimodules u : Y->T, v : Z-^T tels que uof==vog, il existe un homomorphisme et un seul w : Y®xZ->T tel que u==woj\ et u==woj^ où ji:Y-»Y®xZ et j\:Z-^Y@^Z sont les applications canoniques.

(18.2.8) Considérons maintenant une A-extension E de B par un B-bimodule L : o - > L - > " E — > - B - » o

et soit d'autre part w : L ->L' un homomorphisme de fî-bimodules. Soit H le A-bimodule somme amalgamée E^L'; montrons comment on peut munir ce A-bimodule d'une structure de A-anneau et définir une A-extension

o->I/—H->B-.o.

Notons pour cela que L' est muni d'une structure de E-bimodule au moyen de l'homomorphisme d'augmentation E->B; on peut donc former la A-extension triviale type G=DE(I/) (18.2.3). Considérons alors l'application 6 : Z->(j(^), —w(^)) de L dans G; c'est un homomorphisme de G-bimodules (L étant considéré comme G-bimodule au moyen de l'homomorphisme canonique p : G -»E). En effet, pour {x, ^) eG et ^eL, on a U^).—^)^^f)=(j{^x,J\^^—w{^x)s, orj(^)^=/(j(^)^=o par définition de la structure de E-bimodule sur I/, et J\^)x==j{^f{x)) et w^)x==w^f{x))', on vérifie de même que 6 est un homomorphisme de G-module à gauche. On peut alors appliquer au diagramme commutatif

r\

o —> L' —> G —> E —> o p ,

f

le résultat de (18.1.7). Comme H=G/6(L) par définition, notre assertion est une conséquence immédiate de (18.1.7).

153

8

58 A. G R O T H E N D I E C K Chap. o

On dit que la A-extension H de B par L/ est déduite de E au moyen de V homomorphisme w : L->L/. Le caractère fonctoriel de la somme amalgamée en chacun des sommandes montre en outre que si l'on a un morphisme d'extensions

L E, B.

^ 4

> L ->• Eg Bo on en déduit canoniquement un morphisme d'extensions

o -> L' -> Ei®iL' -> Bi ->

^ l ? ^L'^ 4

o -> L' -> Eo®TL' -> Bo -^E^iL'

En particulier, si E^ et Eg sont des A-extensions A-équivalentes de B par L, les extensions de B par L' qu'on en déduit au moyen de w sont A-équivalentes.

Lorsque l'on a un morphisme (18.2.4.1) de A-extensions, il se factorise à travers la A-extension H de B par L' déduite de E au moyen de l'homomorphisme w : L^L' (L' étant considéré comme B-bimodule au moyen de l'homomorphisme y : B - > B ' ) : en effet, la définition de la somme amalgamée montre qu'il existe un A-homomorphisme unique U Q ' . Ï Î ^ Î L ' de A-bimodules, rendant commutatif le diagramme

o - . L - ^ E - ^ B - ^ o

^1 [

^h d ¹ "

o - > L n — ^ H - > B - > o

0 h /o

^i i" ⁰ [ ^v

o -> L7 -> E' -> B' -> o f /'

avec U=UQOJ^, W==JQOWQ^ ji etj'2 étant les homomorphismes canoniques; on vérifie immé-diatement que UQ est aussi un homomorphisme d'anneaux.

Notons enfin les propriétés fonctorielles relatives aux extensions triviales : Proposition (18.2.9). — Soient B, B' deux A'anneaux, L un 'S-bimodule, L' un B'-bimodule, v : B—^B' un A-homomorphisme d'anneaux, w : L-^L' un homomorphisme de A-bimodules tel que (y, w) soit un di-homomorphisme de bimodules. Alors, il existe un A-homomorphisme unique d'anneaux u : D^L) -^DB'(L') rendant commutatif les diagrammes

D^(L) ^ DB,(L') Dp(L) ^ D^(L') t

B ———> B' L

v

où les flèches verticales sont les injections canoniques.

J54

L'

§ 18 PRÉLIMINAIRES 59

En effet, u ne peut être que l'application (x, s)->(v(x), w(s)) et il reste à vérifier que c'est un A-homomorphisme d'anneaux, ce qui résulte trivialement de la défini-tion (18.2.3). On notera que u rend aussi commutatif le diagramme

D^(L) ^ D^(L')

B ——> B'

v

où cette fois les flèches verticales sont les augmentations.

Proposition (18.2.10). — Soient B un A-anneau, L un K-bimodule, E une A-extension de B par L. On définit une application bijective de l'ensemble G des homomorphismes de ^-anneaux de B dans E (autrement dit, l'ensemble des A-homomorphismes inverses à droite de l'augmentation E->B) sur r ensemble G' des A-équivalences de Dg(L) sur E en faisant pondre à tout g(=G la A-équivalence g ' : (x, s)->g(x)+s', l'application réciproque/ait corres-pondre à tout g ' e G ' le B-homomorphisme x-^g'Çx, o).

Ceci résulte aussitôt des définitions.