Une extension continue du cadre de la recherche locale

Notre approche MAX-NCSP (cf. algorithme 3.6) nécessite, pour être performant, d’obtenir le plus rapidement possible un « bon » point de départ en termes de satisfaction des contraintes du problème. Nous proposons donc d’instancier la méthode récupèreConfiguration de l’algorithme 3.6 par une pro- cédure de recherche locale continue, instanciée au cadre des intervalles à bornes flottantes.

Avant de décrire en détails le cadre continu que nous avons proposé pour adapter les procédures classiques de recherche locale discrète, nous consacrons une sous-section à un état de l’art concis des méthodes incomplètes de résolution de contraintes dans les domaines discrets et continus, dont fait partie la recherche locale. Nous détaillons ensuite l’adaptation continue que nous proposons pour chacune des entités clés d’un algorithme de recherche locale, puis nous présentons l’algorithme de recherche taboue continue utilisé dans la méthode de résolution MAX-NCSP des problèmes de placement de caméra en environnements virtuels.

CHAPITRE 3 — Une approche numérique pour le placement de caméra 79 B’ B [⌊B|v1,⌊B ′_| v1] [⌊B ′_| v1,⌈B ′_| v1] [⌈B ′_| v1,⌈B|v1] Variable v1 V ari ab le v2 B₃ B₂ B₁ B₄ [⌈B′_| v2,⌈B|v2] [⌊B′_| v2,⌈B ′_| v2] [⌊B|v2,⌊B ′_| v2]

Figure 3.14 – Différence entre deux boîtes B et B′_{en deux dimensions.}

3.2.11.1 État de l’art des méthodes de recherches incomplètes

Les méthodes de résolution incomplètes ont été appliquées avec succès à un grand nombre de CSP et de problèmes d’optimisation à domaines discrets, citons par exemple les articles de Hao et al. [HGH98] ou plus récemment de Blum et Roli [BR03]. Parmi elles, les algorithmes de recherche locale sont basés sur un processus itératif d’amélioration d’une configuration initiale choisie aléatoirement. L’amélioration d’une configuration est relative à une notion de fonction de pénalité f (aussi appelée fonction de coût ou fonction d’erreur), qui représente le plus souvent dans le cadre des CSPs, le nombre de contraintes violées par la configuration courante (selon l’idée du Min-Conflict [MJPL92]). La recherche locale est de plus en plus considérée comme une solution de choix pour la résolution de problèmes de satisfaction de contraintes, et ce en particulier grâce au développement du système COMET[MvH02].

Le principe des algorithmes de recherche locale est de choisir une configuration initiale aléatoire, d’explorer un voisinage de cette configuration et de modifier cette dernière sous certaines conditions (p. ex. combinaison d’amélioration de la pénalité et d’une métaheuristique). Ces étapes sont répétées jusqu’à satisfaction d’une condition de terminaison de l’algorithme (une solution a été trouvée ou un nombre maximum d’itérations a été atteint).

La recherche locale (ou plus généralement les métaheuristiques) est guidée par deux notions complé- mentaires : l’intensification et la diversification. La dernière consiste à garantir que la recherche explore le plus largement possible l’espace de recherche, sans délaisser des zones au profit d’autres. Ceci est généralement assuré par une réinitialisation aléatoire de la configuration de départ de l’algorithme. A contrario, l’intensification consiste à approfondir la recherche de solutions dans une zone supposée pro- metteuse.

80 CHAPITRE 3 — Une approche numérique pour le placement de caméra

Afin d’éviter un « bouclage » de l’algorithme de recherche locale, c.-à-d. de retomber sur des configu- rations déjà explorées, une partie métaheuristique peut être ajoutée. Elle permet alors d’assurer certaines propriétés à l’algorithme par rapport à l’espace de recherche (et donc au niveau de l’intensification et de la diversification). L’une des métaheuristiques les plus efficaces est certainement la recherche taboue proposée par Glover [Glo86, GL97] et séparément par Hansen [Han86]. Elle consiste en la création d’une liste à court terme stockant les configurations récemment étudiées. Celles-ci sont alors interdites pendant un nombre fixe d’itérations correspondant à la taille de la liste taboue (tabu tenure). L’algorithme évite alors de boucler en étudiant d’autres régions de l’espace de recherche amenant à la création d’autres voisinages.

Bien qu’étant très répandues dans les domaines discrets, l’application des métaheuristiques aux CSPs à domaines continus reste très marginale. Toutefois, des travaux ont été proposés concernant l’adaptation de méthodes populationnistes aux domaines continus, en particulier les travaux de Michalewicz [Mic95]. Chelouah et Siarry ont étendus de nombreuses métaheuristiques au cas continu, en particulier ils ont pro- posé une version continue de la recherche taboue : ECTS – Enhanced Continuous Tabu Search – [CS00]. Une des difficultés liées à la transposition des méthodes discrètes aux domaines continus réside dans la prise en compte de la taille des domaines des variables, ceux-ci étant bien plus vastes dans le cas continu que dans le cas discret. Pour résoudre ce problème, ECTS utilise une métrique définissant des rectangles n-dimensionnels concentriques autour de la configuration courante, dans lesquels les configu- rations voisines sont déterminées aléatoirement. Les mêmes auteurs ont également proposé la méthode CHA[CS03] (Continuous Hybrid Algorithm) qui hybride un algorithme génétique avec une méthode de recherche locale de type du simplexe de Nelder-Mead.

Une autre adaptation continue de la recherche taboue a été proposée par Battiti et Tecchiolli [BT96] par le biais d’un algorithme hybride. Dans cette approche, les domaines continus sont traités par discré- tisation comme une grille de points recouvrant l’espace de recherche Rn_{. Anglada et al. [ACZ04] pro-} posent également un algorithme continu proche de la recherche taboue : la recherche adaptative. Dans leur solution, le choix de la variable à modifier dépend de la satisfaction des contraintes. Chacune des contraintes est associée à une fonction de coût représentant le degré de satisfaction de la contrainte par la configuration courante. Une fois toutes les contraintes évaluées par leurs fonctions d’erreur respectives, les auteurs combinent pour chaque variable toutes les fonctions d’erreur des contraintes dans lesquelles cette variable apparaît. Enfin, la variable d’erreur maximale est désignée comme variable « coupable » et sa valeur est modifiée. La nouvelle valeur est celle pour laquelle l’erreur totale de la prochaine affec- tation complète des variables est minimale (à la manière d’une descente sous gradients). Afin de ne pas tomber dans des minima locaux, la recherche adaptative est munie d’une mémoire stockant les variables interdites, comme pour une recherche taboue.

L’heuristique GRASP a également été très largement utilisée pour résoudre des problèmes d’optimi- sation discrets. GRASP (Greedy Randomized Adaptative Search Procedures) a été proposée par Feo et Resende [FR89, FR95] et consiste en un processus d’applications successives (ou de redémarrages suc- cessifs à partir d’un nouveau point de départ) d’une itération elle même décomposée en deux phases. La première est une phase de construction lors de laquelle une solution réalisable est construite. La deuxième correspond en une étape de recherche locale dans laquelle un optimum local appartenant au voisinage de la solution courante est recherché. La métaheuristique consiste donc en l’application successives de ces deux phases à partir de points de départ différents. La meilleure solution globale est finalement retournée comme résultat. Hirsch et al. [HMPR07] ont proposé une adaptation continue de GRASP, Continuous- GRASP , ou plus simplement C-GRASP pour le domaine de l’optimisation continue. L’ensemble des configurations continues dans C-GRASP est de la forme S = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : l ≤ x ≤ u} avec l, u ∈ Rn_{et tels que l ≤ u. Le problème consiste ensuite à trouver la configuration optimale dans}

CHAPITRE 3 — Une approche numérique pour le placement de caméra 81

S par rapport à une fonction de coût f. Le principe de C-GRASP est identique à celui de GRASP, C-GRASP est une métaheuristique appliquée à une recherche stochastique multiple utilisant une pro- cédure aléatoire gloutonne pour générer les points de départ de la recherche. La différence principale réside dans la composition d’une itération de C-GRASP. En effet, une itération de GRASP consiste comme nous l’avons dit en une construction unique gloutonne aléatoire d’un point de départ suivie d’une procédure d’amélioration locale. Au contraire, dans C-GRASP, une itération consiste plutôt en une série de cycles de construction de solution et d’améliorations locales imbriquées. Comme dans GRASP, la solution générée lors de la construction est ensuite améliorée localement, puis sert de point de départ à la construction d’une nouvelle solution. L’amélioration locale est donc réutilisée directement dans la boucle afin d’obtenir une nouvelle solution. Dans GRASP un point de départ unique donne lieu à une série d’améliorations locales, alors que dans C-GRASP, un point de départ donne lieu à une améliora- tion qui entraîne à son tour la construction d’une nouvelle solution. L’algorithme que nous présentons (cf. section 3.2.13.4) est assez proche de l’idée de la métaheuristique GRASP, il contient également une double boucle de génération-amélioration des méthodes, mais contrairement à C-GRASP, notre approche est basée sur une représentation continue des réels (c.-à-d. les intervalles).

Dans les travaux sus-cités, les configurations étudiées sont, comme dans le cas discret, des affec- tations complètes (continues) de variables, c.-à-d. des points de Rn_{. Les notions de voisinage et de} métaheuristiques des algorithmes discrets doivent donc être réécrites pour tenir compte des spécificités des domaines continus (leur très grande taille, c.-à-d. R discrétisé). Nous proposons une approche or- thogonale. En effet, pour les besoins de notre application (le placement de caméra en environnements virtuels), nous devons considérer les configurations non pas comme des points de Rn_{, mais comme des} intervalles de In_{. Nous avons donc redéfini les notions de configurations, de voisinage et d’évaluation des} algorithmes classiques afin de prendre en compte la nature continue des contraintes et des configurations utilisées. Notre méthode peut être rapprochée des travaux de Barichard et Hao [BH03] qui proposent PICPA, une méthode hybride de résolution de problèmes sous contraintes, dont la partie métaheuristique

est gérée par un algorithme génétique. Dans PICPA, les individus sont des boîtes sélectionnées selon un

critère multi-objectif, dans notre méthode les configurations sont des pavés sélectionnés selon différents critères.