Les contraintes d’intervalles

Nous présentons maintenant la définition de l’extension aux intervalles d’une contrainte réelle. Définition 3.12 (Extension aux intervalles d’une contrainte réelle). Soit c : Rn _{→ B (où B représente} l’ensemble des booléens) une contrainte réelle et C : In _{→ B une contrainte d’intervalles. C est une} extension aux intervalles de c si et seulement si : ∀B ∈ In_,

∃x ∈ B, c(x)

=_{⇒ C(B)} (3.2)

Exemple 3.7 (Extension aux intervalles d’une inéquation réelle). Soit c la contrainte réelle définie par c(x) ≡ f(x) ≤ 0 et F une fonction d’inclusion de f. L’extension aux intervalles C de c set définie par :

• C(B) est faux si F (B) > 0, • C(B) est vrai sinon.

Comme nous l’avons présentée en introduction, l’arithmétique des intervalles est une solution qui permet de prendre en compte les problèmes d’arrondis inhérents à la résolution de contraintes numé- riques. Les méthodes classiques de résolution de relations (équations ou inéquations, linéaires ou non) peuvent être adaptées à l’arithmétique des intervalles. Ainsi, il existe des versions intervalles des mé- thodes de Newton-Raphson ou de Gauss-Seidel permettant la résolution de contraintes d’intervalles. De même, des opérateurs spécifiques (Krawczyk ou Hansen-Segupta par exemple) ont été étendus aux in- tervalles, permettant ainsi leur utilisation.

Les extensions intervalles de ces algorithmes numériques présentent un certain nombre de propriétés avantageuses :

• la complétude,

• la preuve d’existence de solutions (voire même d’unicité dans certains cas),

• l’assurance de convergence pour les algorithmes itératifs modulo l’existence d’un point-fixe dans le domaine d’entrée.

Mais elles souffrent également de certains inconvénients : • leur efficacité est généralement faible,

• la notion de préférence dans la prise en compte des contraintes (ces techniques sont plus efficaces sur certains types de contraintes que sur d’autres),

62 CHAPITRE 3 — Une approche numérique pour le placement de caméra

3.2.4 Consistances locales

Les notions de consistances locales sont issues de l’intelligence artificielle, on y trouve en particulier la notion d’arc consistance [Mac77, Bes94]. Un filtrage par consistance d’arc consiste à éliminer les éléments des domaines des variables qui ne peuvent satisfaire une contrainte prise indépendamment des autres. Nous supprimons de chaque domaine toutes les valeurs sans support. Une valeur di d’un domaine Di a un support dj dans le domaine Dj si le couple (di, dj) est autorisé par les contraintes liant les variables Vi et Vj. Appliquées à la résolution de problèmes de satisfaction de contraintes, elles consistent en l’élimination des domaines de définition des variables (c.-à-d. des pavés) des valeurs ne permettant la satisfaction des contraintes du problème. La consistance d’arc (ou arc-consistance) ne pouvant être obtenue pour des nombres flottants, la communauté de programmation par contraintes a défini de nouvelles consistances locales, approximations de la consistance d’arc.

La définition d’une consistance correspond en l’approximation d’une relation réelle ρ par une boîte en assurant de ne perdre aucune des solutions de ρ. L’élimination des valeurs inconsistantes se fait par application d’un opérateur d’approximation extérieure (ou opérateur de contraction), qui doit vérifier les propriétés de contractance, monotonie et de correction. Nous pouvons bien évidemment définir plusieurs approximations extérieures pour une même contrainte en fonction de la consistance prise en compte. Nous proposons dans la suite une définition d’un opérateur d’approximation extérieure, avant de présen- ter les deux principales consistances locales spécifiques aux problèmes de satisfaction de contraintes : la hull-consistance[LvE93, Lho93, BO97] et la box-consistance [BMvH94].

3.2.4.1 Approximations extérieures

Éliminer toutes les valeurs inconsistantes d’une boîte est un problème insoluble pour un système de contraintes réelles. Les méthodes de consistance locales reposent donc sur l’application d’opérateurs de contractance extérieure qui éliminent des valeurs d’une boîte en fonction d’une consistance donnée. Définition 3.13 (Opérateur d’approximation extérieure). Soit c une contrainte n-aire, et ω une consis- tance donnée. Un opérateur d’approximation extérieure pour c est une fonction Outerω

c : In → Inqui élimine des valeurs de In_{en fonction de ω.}

Nous présentons maintenant deux consistances locales utilisées en programmation par contraintes, la figure 3.7 illustre les différences entre la consistance d’arc, la hull-consistance et la box-consistance. 3.2.4.2 Hull-consistance

La notion de hull-consistance (aussi appelée 2B-consistance) consiste, pour une contrainte numérique c, sa relation réelle sous-jacente ρC et un pavé de recherche B, à calculer le plus petit pavé qui contient l’intersection du pavé initial de recherche et de la relation ρC.

Définition 3.14 (Hull-consistance). Soit c(x1, . . . , xn) une contrainte réelle et ρcla relation associée. La contrainte c est dite hull-consistante par rapport au pavé I ssi ∀i ∈ {1, . . . , n} :

Ii= Hull Ii∩ai ∈ R | ∀j ∈ {1, . . . , n} \ {i} : ∃aj ∈ Ij t.q. (a1, . . . , an)∈ ρc

Le filtrage par hull-consistance d’un pavé B pour une contrainte c, consiste à calculer le pavé P ⊆ B tel que c soit hull-consistante par rapport à P.

Nous pouvons remarquer que le filtrage par hull-consistance ne peut être facilement calculé que pour les contraintes décomposées. Une contrainte décomposée est une contrainte dans laquelle toute variable

CHAPITRE 3 — Une approche numérique pour le placement de caméra 63 quasi-z´ero hull-consistance arc-consistance union-consistance box-consistance f

Figure 3.7 – Illustration de différentes consistances locales, d’après Goualard [Gou00].

apparaît en occurrence simple. Si une variable possède des occurrences multiples dans la contrainte, ces dernières sont supprimées par introduction de nouvelles variables à domaines similaires et par ajout d’une nouvelle contrainte d’égalité entre ces nouvelles variables et la variable originale. Ce procédé de décomposition introduit donc une surévaluation des domaines calculés.

3.2.4.3 Box-consistance

Définition 3.15 (Box-consistance). Soit c une contrainte n-aire sur les réels, C une extension naturelle aux intervalles de c et B = I1× · · · × Inun pavé. La contrainte c est box-consistante par rapport à B ssi ∀i ∈ {1, . . . , n} :

Ii = Hull(Ii∩ {r ∈ R | C(I1, . . . , Ii−1, Hull({r}), Ii+1, . . . , In)})

Le filtrage par box-consistance d’un pavé B pour une contrainte c, consiste à calculer le plus grand pavé P ⊆ B tel que c soit box-consistante par rapport à P.

Bien que le filtrage par box-consistance soit une relaxation plus faible que le filtrage par hull- consistance, cette première ne nécessite pas de décomposer entièrement le système de contraintes. En effet, à chaque application du filtrage par box-consistance, toutes les variables de la contrainte c sauf unesont remplacées par leurs intervalles de définitions. Cela limite ainsi le problème de surévaluation des domaines. Collavizza et al. [CDR99a] ont ainsi démontré formellement que le filtrage par hull- consistance sans décomposition du système de contraintes (qui n’est pas calculable en règle générale) est plus performant que le filtrage par box-consistance, qui est lui même plus performant que le filtrage par hull-consistance sur le système de contraintes décomposé.